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Theorem plyadd 20128
Description: The sum of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
Assertion
Ref Expression
plyadd  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    x, y, F    x, S, y    x, G, y    ph, x, y

Proof of Theorem plyadd
Dummy variables  k  m  n  z  a 
b  j  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 elply2 20107 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. m  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
32simprbi 451 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. m  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
5 plyadd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
6 elply2 20107 . . . 4  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
76simprbi 451 . . 3  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
85, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
9 reeanv 2867 . . 3  |-  ( E. m  e.  NN0  E. n  e.  NN0  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  <-> 
( E. m  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
10 reeanv 2867 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) E. b  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  ( ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  <->  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
11 simp1l 981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ph )
1211, 1syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
1311, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
1511, 14sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )
)  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
16 simp1rl 1022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
17 simp1rr 1023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
18 simp2l 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )
19 simp2r 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )
20 simp3ll 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
21 simp3rl 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
22 simp3lr 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
23 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
z ^ k )  =  ( w ^
k ) )
2423oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( a `
 k )  x.  ( w ^ k
) ) )
2524sumeq2sdv 12490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( w ^ k ) ) )
26 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
a `  k )  =  ( a `  j ) )
27 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
w ^ k )  =  ( w ^
j ) )
2826, 27oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( a `  k
)  x.  ( w ^ k ) )  =  ( ( a `
 j )  x.  ( w ^ j
) ) )
2928cbvsumv 12482 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( w ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) )
3025, 29syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
3130cbvmptv 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
3222, 31syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  F  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) ) )
33 simp3rr 1031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
3423oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( b `
 k )  x.  ( w ^ k
) ) )
3534sumeq2sdv 12490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( w ^ k ) ) )
36 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
b `  k )  =  ( b `  j ) )
3736, 27oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( b `  k
)  x.  ( w ^ k ) )  =  ( ( b `
 j )  x.  ( w ^ j
) ) )
3837cbvsumv 12482 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( w ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) )
3935, 38syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
4039cbvmptv 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
4133, 40syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  G  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) ) )
4212, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41plyaddlem 20126 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ( F  o F  +  G )  e.  (Poly `  S )
)
43423expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  -> 
( ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  ( ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( F  o F  +  G )  e.  (Poly `  S )
) )
4443rexlimdvva 2829 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e. 
NN0 ) )  -> 
( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  ( ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( F  o F  +  G )  e.  (Poly `  S )
) )
4510, 44syl5bir 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( F  o F  +  G )  e.  (Poly `  S )
) )
4645rexlimdvva 2829 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m  e. 
NN0  E. n  e.  NN0  ( E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
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z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( F  o F  +  G )  e.  (Poly `  S )
) )
479, 46syl5bir 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
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z ^ k ) ) ) )  /\  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( F  o F  +  G )  e.  (Poly `  S )
) )
484, 8, 47mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806    e. cmpt 4258   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    ^m cmap 7010   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   NN0cn0 10213   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035   ^cexp 11374   sum_csu 12471  Polycply 20095
This theorem is referenced by:  plysub  20130  plyaddcl  20131  plyco  20152  plydivlem4  20205  iaa  20234  rngunsnply  27346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-ply 20099
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