MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyaddlem Unicode version

Theorem plyaddlem 19650
Description: Lemma for plyadd 19652. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
plyadd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
plyadd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.a2  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.b2  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plyadd.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plyaddlem  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, B    x, F, y, z    S, k, x, y, z    x, A, y, z    x, G, y, z    ph, k, x, y, z    k, M, z    k, N, z
Allowed substitution hints:    A( k)    F( k)    G( k)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem plyaddlem
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 plyadd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
3 plyadd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 plyadd.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
5 plyadd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
6 plybss 19629 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  S  C_  CC )
71, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
8 0cn 8876 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
98a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
109snssd 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
117, 10unssd 3385 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
12 cnex 8863 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
13 ssexg 4197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
1411, 12, 13sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
15 nn0ex 10018 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
16 elmapg 6828 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1714, 15, 16sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
185, 17mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
19 fss 5435 . . . . 5  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  A : NN0 --> CC )
2018, 11, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
21 plyadd.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
22 elmapg 6828 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2314, 15, 22sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2421, 23mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
25 fss 5435 . . . . 5  |-  ( ( B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  B : NN0 --> CC )
2624, 11, 25syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
27 plyadd.a2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
28 plyadd.b2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
29 plyadd.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
30 plyadd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
311, 2, 3, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 30plyaddlem1 19648 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
32 ifcl 3635 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  NN0 )
334, 3, 32syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  NN0 )
34 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( S  u.  { 0 } )  =  ( S  u.  { 0 } )
35 plyadd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
367, 34, 35un0addcl 10044 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  y  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
3715a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
38 inidm 3412 . . . . . 6  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
3936, 18, 24, 37, 37, 38off 6135 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  o F  +  B ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
40 elfznn0 10869 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
41 ffvelrn 5701 . . . . 5  |-  ( ( ( A  o F  +  B ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  o F  +  B ) `  k )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4239, 40, 41syl2an 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )  ->  (
( A  o F  +  B ) `  k )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4311, 33, 42elplyd 19637 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  e.  (Poly `  ( S  u.  {
0 } ) ) )
4431, 43eqeltrd 2390 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
45 plyun0 19632 . 2  |-  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) )  =  (Poly `  S )
4644, 45syl6eleq 2406 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822    u. cun 3184    C_ wss 3186   ifcif 3599   {csn 3674   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   "cima 4729   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    o Fcof 6118    ^m cmap 6815   CCcc 8780   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    <_ cle 8913   NN0cn0 10012   ZZ>=cuz 10277   ...cfz 10829   ^cexp 11151   sum_csu 12205  Polycply 19619
This theorem is referenced by:  plyadd  19652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-sum 12206  df-ply 19623
  Copyright terms: Public domain W3C validator