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Theorem plyaddlem1 19611
Description: Derive the coefficient function for the sum of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyaddlem.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyaddlem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
plyaddlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyaddlem.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyaddlem.b2  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyaddlem.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plyaddlem.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plyaddlem1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, M    k, N    z,
k, ph
Allowed substitution hints:    A( z, k)    B( z)    S( z, k)    F( z, k)    G( z, k)    M( z)    N( z)

Proof of Theorem plyaddlem1
StepHypRef Expression
1 cnex 8834 . . . 4  |-  CC  e.  _V
21a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
3 sumex 12176 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
43a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V )
5 sumex 12176 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
65a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V )
7 plyaddlem.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
8 plyaddlem.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
92, 4, 6, 7, 8offval2 6111 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  =  ( z  e.  CC  |->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
10 fzfid 11051 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  e. 
Fin )
11 elfznn0 10838 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
12 plyaddlem.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  A : NN0
--> CC )
14 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
1513, 14sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
16 expcl 11137 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
1716adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
z ^ k )  e.  CC )
1815, 17mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
1911, 18sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
20 plyaddlem.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
2120adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  B : NN0
--> CC )
22 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( B : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B `  k
)  e.  CC )
2321, 22sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
2423, 17mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
2511, 24sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
2610, 19, 25fsumadd 12227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  +  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
27 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
2812, 27syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN0 )
29 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  B  Fn  NN0 )
3020, 29syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  Fn  NN0 )
31 nn0ex 9987 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
3231a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
33 inidm 3391 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
34 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  k ) )
35 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  k ) )
3628, 30, 32, 32, 33, 34, 35ofval 6103 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A  o F  +  B
) `  k )  =  ( ( A `
 k )  +  ( B `  k
) ) )
3736adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A  o F  +  B ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  +  ( B `
 k ) ) )
3837oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  +  ( B `
 k ) )  x.  ( z ^
k ) ) )
3915, 23, 17adddird 8876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A `  k )  +  ( B `  k ) )  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  +  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
4038, 39eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  +  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
4111, 40sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )  ->  (
( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  +  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
4241sumeq2dv 12192 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ( ( ( A  o F  +  B ) `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  +  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
43 plyaddlem.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4443nn0zd 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
45 plyaddlem.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
46 ifcl 3614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  NN0 )
4745, 43, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  NN0 )
4847nn0zd 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ZZ )
4943nn0red 10035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
5045nn0red 10035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
51 max1 10530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )
5249, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )
53 eluz2 10252 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
5444, 48, 52, 53syl3anbrc 1136 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
55 fzss2 10847 . . . . . . . 8  |-  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
5654, 55syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  C_  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
5756adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
58 elfznn0 10838 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... M )  ->  k  e.  NN0 )
5958, 18sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
60 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M ) )
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  ->  -.  k  e.  (
0 ... M ) )
62 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
6362, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  NN0 )
6463adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
65 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
66 peano2nn0 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
6743, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
6867, 65syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
69 uzsplit 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0 ... ( ( M  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7165, 70syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( ( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7243nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
73 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
74 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
7572, 73, 74sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
7675oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... M ) )
7776uneq1d 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( ( M  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7871, 77eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7978ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  ->  NN0  =  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8064, 79eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
k  e.  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
81 elun 3329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... M
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8280, 81sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... M )  \/  k  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
8382ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( -.  k  e.  ( 0 ... M
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8461, 83mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
85 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  Fun 
A )
8612, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  A )
87 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  C_  (
( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
8887, 71syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  NN0 )
89 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  dom 
A  =  NN0 )
9012, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  A  =  NN0 )
9188, 90sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  dom  A )
92 funfvima2 5770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
9386, 91, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  -> 
( A `  k
)  e.  ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
9493ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( k  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  -> 
( A `  k
)  e.  ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
9584, 94mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( A `  k
)  e.  ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
96 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
9796ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
9895, 97eleqtrd 2372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( A `  k
)  e.  { 0 } )
99 elsni 3677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A `  k )  e.  { 0 }  ->  ( A `  k )  =  0 )
10098, 99syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( A `  k
)  =  0 )
101100oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( 0  x.  ( z ^
k ) ) )
10263, 17sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
103102mul02d 9026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( 0  x.  (
z ^ k ) )  =  0 )
104101, 103eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  0 )
10557, 59, 104, 10fsumss 12214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
10645nn0zd 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
107 max2 10532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )
10849, 50, 107syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )
109 eluz2 10252 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ZZ  /\  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
110106, 48, 108, 109syl3anbrc 1136 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  (
ZZ>= `  N ) )
111 fzss2 10847 . . . . . . . 8  |-  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
112110, 111syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
113112adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
114 elfznn0 10838 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
115114, 24sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
116 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N ) )
117116adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  ->  -.  k  e.  (
0 ... N ) )
118 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
119118, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
120119adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
121 peano2nn0 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
12245, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
123122, 65syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
124 uzsplit 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
125123, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
12665, 125syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
12745nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
128 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
129127, 73, 128sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
130129oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
131130uneq1d 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
132126, 131eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
133132ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
134120, 133eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
k  e.  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
135 elun 3329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
136134, 135sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... N )  \/  k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ) )
137136ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( -.  k  e.  ( 0 ... N
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
138117, 137mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )
139 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  Fun 
B )
14020, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  B )
141 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  C_  (
( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )
142141, 126syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  NN0 )
143 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  dom 
B  =  NN0 )
14420, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  B  =  NN0 )
145142, 144sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  dom  B )
146 funfvima2 5770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  B  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  B )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( B `  k )  e.  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
147140, 145, 146syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  -> 
( B `  k
)  e.  ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
148147ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  -> 
( B `  k
)  e.  ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
149138, 148mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( B `  k
)  e.  ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
150 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
151150ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
152149, 151eleqtrd 2372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( B `  k
)  e.  { 0 } )
153 elsni 3677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B `  k )  e.  { 0 }  ->  ( B `  k )  =  0 )
154152, 153syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( B `  k
)  =  0 )
155154oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( 0  x.  ( z ^
k ) ) )
156119, 17sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
157156mul02d 9026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( 0  x.  (
z ^ k ) )  =  0 )
158155, 157eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  0 )
159113, 115, 158, 10fsumss 12214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
160105, 159oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
16126, 42, 1603eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ( ( ( A  o F  +  B ) `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
162161mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  (
sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
1639, 162eqtr4d 2331 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   ^cexp 11120   sum_csu 12174  Polycply 19582
This theorem is referenced by:  plyaddlem  19613  coeaddlem  19646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
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