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Theorem plyaddlem1 20000
Description: Derive the coefficient function for the sum of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyaddlem.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyaddlem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
plyaddlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyaddlem.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyaddlem.b2  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyaddlem.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plyaddlem.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plyaddlem1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, M    k, N    z,
k, ph
Allowed substitution hints:    A( z, k)    B( z)    S( z, k)    F( z, k)    G( z, k)    M( z)    N( z)

Proof of Theorem plyaddlem1
StepHypRef Expression
1 cnex 9005 . . . 4  |-  CC  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
3 sumex 12409 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V )
5 sumex 12409 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V )
7 plyaddlem.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
8 plyaddlem.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
92, 4, 6, 7, 8offval2 6262 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  =  ( z  e.  CC  |->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
10 fzfid 11240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  e. 
Fin )
11 elfznn0 11016 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
12 plyaddlem.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
1312adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  A : NN0
--> CC )
1413ffvelrnda 5810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
15 expcl 11327 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
1615adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
z ^ k )  e.  CC )
1714, 16mulcld 9042 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
1811, 17sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
19 plyaddlem.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
2019adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  B : NN0
--> CC )
2120ffvelrnda 5810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
2221, 16mulcld 9042 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
2311, 22sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
2410, 18, 23fsumadd 12460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  +  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
25 ffn 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
2612, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN0 )
27 ffn 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  B  Fn  NN0 )
2819, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  Fn  NN0 )
29 nn0ex 10160 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
31 inidm 3494 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
32 eqidd 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  k ) )
33 eqidd 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  k ) )
3426, 28, 30, 30, 31, 32, 33ofval 6254 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A  o F  +  B
) `  k )  =  ( ( A `
 k )  +  ( B `  k
) ) )
3534adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A  o F  +  B ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  +  ( B `
 k ) ) )
3635oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  +  ( B `
 k ) )  x.  ( z ^
k ) ) )
3714, 21, 16adddird 9047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A `  k )  +  ( B `  k ) )  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  +  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
3836, 37eqtrd 2420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  +  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
3911, 38sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )  ->  (
( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  +  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
4039sumeq2dv 12425 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ( ( ( A  o F  +  B ) `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  +  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
41 plyaddlem.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4241nn0zd 10306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
43 plyaddlem.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
44 ifcl 3719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  NN0 )
4543, 41, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  NN0 )
4645nn0zd 10306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ZZ )
4741nn0red 10208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4843nn0red 10208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
49 max1 10706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )
5047, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )
51 eluz2 10427 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
5242, 46, 50, 51syl3anbrc 1138 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
53 fzss2 11025 . . . . . . . 8  |-  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
5452, 53syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  C_  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
5554adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
56 elfznn0 11016 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... M )  ->  k  e.  NN0 )
5756, 17sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
58 eldifn 3414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M ) )
5958adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  ->  -.  k  e.  (
0 ... M ) )
60 eldifi 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
6160, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  NN0 )
6261adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
63 nn0uz 10453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
64 peano2nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
6541, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
6665, 63syl6eleq 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
67 uzsplit 11049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0 ... ( ( M  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
6963, 68syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( ( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7041nn0cnd 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
71 ax-1cn 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
72 pncan 9244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
7370, 71, 72sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
7473oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... M ) )
7574uneq1d 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( ( M  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7669, 75eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7776ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  ->  NN0  =  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7862, 77eleqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
k  e.  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
79 elun 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... M
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8078, 79sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... M )  \/  k  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
8180ord 367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( -.  k  e.  ( 0 ... M
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8259, 81mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
83 ffun 5534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  Fun 
A )
8412, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  A )
85 ssun2 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  C_  (
( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
8685, 69syl5sseqr 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  NN0 )
87 fdm 5536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  dom 
A  =  NN0 )
8812, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  A  =  NN0 )
8986, 88sseqtr4d 3329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  dom  A )
90 funfvima2 5914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
9184, 89, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  -> 
( A `  k
)  e.  ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
9291ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( k  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  -> 
( A `  k
)  e.  ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
9382, 92mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( A `  k
)  e.  ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
94 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
9594ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
9693, 95eleqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( A `  k
)  e.  { 0 } )
97 elsni 3782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A `  k )  e.  { 0 }  ->  ( A `  k )  =  0 )
9896, 97syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( A `  k
)  =  0 )
9998oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( 0  x.  ( z ^
k ) ) )
10061, 16sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
101100mul02d 9197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( 0  x.  (
z ^ k ) )  =  0 )
10299, 101eqtrd 2420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... M
) ) )  -> 
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  0 )
10355, 57, 102, 10fsumss 12447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
10443nn0zd 10306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
105 max2 10708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )
10647, 48, 105syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )
107 eluz2 10427 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ZZ  /\  N  <_  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
108104, 46, 106, 107syl3anbrc 1138 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  (
ZZ>= `  N ) )
109 fzss2 11025 . . . . . . . 8  |-  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
110108, 109syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
111110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
112 elfznn0 11016 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
113112, 22sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
114 eldifn 3414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N ) )
115114adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  ->  -.  k  e.  (
0 ... N ) )
116 eldifi 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )
117116, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
118117adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
119 peano2nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
12043, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
121120, 63syl6eleq 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
122 uzsplit 11049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
123121, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
12463, 123syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
12543nn0cnd 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
126 pncan 9244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
127125, 71, 126sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
128127oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
129128uneq1d 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
130124, 129eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
131130ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
132118, 131eleqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
k  e.  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
133 elun 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
134132, 133sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... N )  \/  k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ) )
135134ord 367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( -.  k  e.  ( 0 ... N
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
136115, 135mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )
137 ffun 5534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  Fun 
B )
13819, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  B )
139 ssun2 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  C_  (
( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )
140139, 124syl5sseqr 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  NN0 )
141 fdm 5536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  dom 
B  =  NN0 )
14219, 141syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  B  =  NN0 )
143140, 142sseqtr4d 3329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  dom  B )
144 funfvima2 5914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  B  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  B )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( B `  k )  e.  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
145138, 143, 144syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  -> 
( B `  k
)  e.  ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
146145ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  -> 
( B `  k
)  e.  ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
147136, 146mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( B `  k
)  e.  ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
148 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
149148ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
150147, 149eleqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( B `  k
)  e.  { 0 } )
151 elsni 3782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B `  k )  e.  { 0 }  ->  ( B `  k )  =  0 )
152150, 151syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( B `  k
)  =  0 )
153152oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( 0  x.  ( z ^
k ) ) )
154117, 16sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
155154mul02d 9197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( 0  x.  (
z ^ k ) )  =  0 )
156153, 155eqtrd 2420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  \ 
( 0 ... N
) ) )  -> 
( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  0 )
157111, 113, 156, 10fsumss 12447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
158103, 157oveq12d 6039 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
15924, 40, 1583eqtr4d 2430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) ( ( ( A  o F  +  B ) `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
160159mpteq2dva 4237 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  (
sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
1619, 160eqtr4d 2423 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  o F  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    \ cdif 3261    u. cun 3262    C_ wss 3264   ifcif 3683   {csn 3758   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   dom cdm 4819   "cima 4822   Fun wfun 5389    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Fcof 6243   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    <_ cle 9055    - cmin 9224   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   ...cfz 10976   ^cexp 11310   sum_csu 12407  Polycply 19971
This theorem is referenced by:  plyaddlem  20002  coeaddlem  20035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-sum 12408
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