Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycj Structured version   Unicode version

Theorem plycj 20200
 Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on independently of .) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 deg
plycj.2
plycj.3
plycj.4 Poly
Assertion
Ref Expression
plycj Poly
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem plycj
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.4 . . . 4 Poly
2 plycj.1 . . . . 5 deg
3 plycj.2 . . . . 5
4 eqid 2438 . . . . 5 coeff coeff
52, 3, 4plycjlem 20199 . . . 4 Poly coeff
61, 5syl 16 . . 3 coeff
7 plybss 20118 . . . . . 6 Poly
81, 7syl 16 . . . . 5
9 0cn 9089 . . . . . . 7
109a1i 11 . . . . . 6
1110snssd 3945 . . . . 5
128, 11unssd 3525 . . . 4
13 dgrcl 20157 . . . . . 6 Poly deg
141, 13syl 16 . . . . 5 deg
152, 14syl5eqel 2522 . . . 4
164coef 20154 . . . . . . 7 Poly coeff
171, 16syl 16 . . . . . 6 coeff
18 elfznn0 11088 . . . . . 6
19 fvco3 5803 . . . . . 6 coeff coeff coeff
2017, 18, 19syl2an 465 . . . . 5 coeff coeff
21 ffvelrn 5871 . . . . . . 7 coeff coeff
2217, 18, 21syl2an 465 . . . . . 6 coeff
23 plycj.3 . . . . . . . . . . 11
2423ralrimiva 2791 . . . . . . . . . 10
25 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff
2625eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
2726rspccv 3051 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
2824, 27syl 16 . . . . . . . . 9 coeff coeff
29 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
3029fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff
31 cj0 11968 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
33 fvex 5745 . . . . . . . . . . . 12 coeff
3433elsnc 3839 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
3532, 34sylibr 205 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 coeff coeff
3728, 36orim12d 813 . . . . . . . 8 coeff coeff coeff coeff
38 elun 3490 . . . . . . . 8 coeff coeff coeff
39 elun 3490 . . . . . . . 8 coeff coeff coeff
4037, 38, 393imtr4g 263 . . . . . . 7 coeff coeff
4140adantr 453 . . . . . 6 coeff coeff
4222, 41mpd 15 . . . . 5 coeff
4320, 42eqeltrd 2512 . . . 4 coeff
4412, 15, 43elplyd 20126 . . 3 coeff Poly
456, 44eqeltrd 2512 . 2 Poly
46 plyun0 20121 . 2 Poly Poly
4745, 46syl6eleq 2528 1 Poly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   cun 3320   wss 3322  csn 3816   cmpt 4269   ccom 4885  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cc0 8995   cmul 9000  cn0 10226  cfz 11048  cexp 11387  ccj 11906  csu 12484  Polycply 20108  coeffccoe 20110  degcdgr 20111 This theorem is referenced by:  coecj  20201 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-0p 19565  df-ply 20112  df-coe 20114  df-dgr 20115
 Copyright terms: Public domain W3C validator