MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycn Unicode version

Theorem plycn 20140
Description: A polynomial is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plycn  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )

Proof of Theorem plycn
Dummy variables  z 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2412 . . . 4  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
2 eqid 2412 . . . 4  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
31, 2coeid 20118 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... (deg `  F
) ) ( ( (coeff `  F ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
4 eqid 2412 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54cnfldtopon 18778 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
)
7 fzfid 11275 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( 0 ... (deg `  F
) )  e.  Fin )
85a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
91coef3 20112 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (coeff `  F
) : NN0 --> CC )
10 elfznn0 11047 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  k  e.  NN0 )
11 ffvelrn 5835 . . . . . . 7  |-  ( ( (coeff `  F ) : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  F ) `  k )  e.  CC )
129, 10, 11syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( (coeff `  F ) `  k
)  e.  CC )
138, 8, 12cnmptc 17655 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( (coeff `  F ) `  k
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1410adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
154expcn 18863 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ k ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^
k ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
174mulcn 18858 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
198, 13, 16, 18cnmpt12f 17659 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( ( (coeff `  F ) `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
204, 6, 7, 19fsumcn 18861 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( ( (coeff `  F
) `  k )  x.  ( z ^ k
) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
213, 20eqeltrd 2486 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
224cncfcn1 18901 . 2  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
2321, 22syl6eleqr 2503 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    e. cmpt 4234   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   0cc0 8954    x. cmul 8959   NN0cn0 10185   ...cfz 11007   ^cexp 11345   sum_csu 12442   TopOpenctopn 13612  ℂfldccnfld 16666  TopOnctopon 16922    Cn ccn 17250    tX ctx 17553   -cn->ccncf 18867  Polycply 20064  coeffccoe 20066  degcdgr 20067
This theorem is referenced by:  plycpn  20167  taylthlem2  20251  ftalem3  20818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-0p 19523  df-ply 20068  df-coe 20070  df-dgr 20071
  Copyright terms: Public domain W3C validator