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Theorem plyco0 20116
Description: Two ways to say that a function on the nonnegative integers has finite support. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyco0  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem plyco0
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( A `  k )  =/=  0
)
2 ffun 5596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  Fun 
A )
32adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  Fun  A )
4 peano2nn0 10265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
54adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  NN0 )
6 eluznn0 10551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
76ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 ) )
85, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 ) )
98ssrdv 3356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  C_  NN0 )
10 fdm 5598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  dom 
A  =  NN0 )
1110adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  dom  A  =  NN0 )
129, 11sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  C_  dom  A )
13 funfvima2 5977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
143, 12, 13syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
1514ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
16 nn0z 10309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
1716adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  N  e.  ZZ )
1817peano2zd 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ZZ )
1918ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
20 nn0z 10309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
2120ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  e.  ZZ )
22 eluz 10504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
k ) )
2319, 21, 22syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( N  +  1 )  <_  k )
)
24 simplr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
2524eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
( A `  k
)  e.  { 0 } ) )
26 fvex 5745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A `
 k )  e. 
_V
2726elsnc 3839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A `  k )  e.  { 0 }  <-> 
( A `  k
)  =  0 )
2825, 27syl6bb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
( A `  k
)  =  0 ) )
2915, 23, 283imtr3d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( N  +  1 )  <_  k  ->  ( A `  k )  =  0 ) )
3029necon3ad 2639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  k ) )
311, 30mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  k )
32 nn0re 10235 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
3332ad2antrl 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  e.  RR )
3418zred 10380 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  RR )
3534ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
3633, 35ltnled 9225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  <  ( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_ 
k ) )
3731, 36mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  <  ( N  +  1 ) )
3817ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  N  e.  ZZ )
39 zleltp1 10331 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  <_  N  <->  k  <  ( N  + 
1 ) ) )
4021, 38, 39syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  <_  N  <->  k  <  ( N  +  1 ) ) )
4137, 40mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  <_  N )
4241expr 600 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
4342ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
44 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) )
45 eluznn0 10551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  ->  n  e.  NN0 )
465, 44, 45syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
47 nn0re 10235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
4847adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  N  e.  RR )
4948adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  e.  RR )
5034adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
5146nn0red 10280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
5249ltp1d 9946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
53 eluzle 10503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  n )
5453ad2antll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  n )
5549, 50, 51, 52, 54ltletrd 9235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  <  n )
5649, 51ltnled 9225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  <  n  <->  -.  n  <_  N ) )
5755, 56mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  -.  n  <_  N )
58 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
59 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( A `  k )  =  ( A `  n ) )
6059neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  <->  ( A `  n )  =/=  0 ) )
61 breq1 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  <_  N  <->  n  <_  N ) )
6260, 61imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  ( ( A `  n
)  =/=  0  ->  n  <_  N ) ) )
6362rspcva 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  N )
)  ->  ( ( A `  n )  =/=  0  ->  n  <_  N ) )
6446, 58, 63syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  ->  n  <_  N ) )
6564necon1bd 2674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( -.  n  <_  N  -> 
( A `  n
)  =  0 ) )
6657, 65mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( A `  n )  =  0 )
67 ffn 5594 . . . . . . . . 9  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
6867ad2antlr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  A  Fn  NN0 )
69 fniniseg 5854 . . . . . . . 8  |-  ( A  Fn  NN0  ->  ( n  e.  ( `' A " { 0 } )  <-> 
( n  e.  NN0  /\  ( A `  n
)  =  0 ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( `' A " { 0 } )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ( A `
 n )  =  0 ) ) )
7146, 66, 70mpbir2and 890 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( `' A " { 0 } ) )
7271expr 600 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  n  e.  ( `' A " { 0 } ) ) )
7372ssrdv 3356 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  ( `' A " { 0 } ) )
74 funimass3 5849 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) 
C_  { 0 }  <-> 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  ( `' A " { 0 } ) ) )
753, 12, 74syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  C_  { 0 }  <->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  C_  ( `' A " { 0 } ) ) )
7675adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  (
( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) 
C_  { 0 }  <-> 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  ( `' A " { 0 } ) ) )
7773, 76mpbird 225 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  C_  { 0 } )
7848ltp1d 9946 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
7948, 34ltnled 9225 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  < 
( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
8078, 79mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  N )
8180adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  -.  ( N  +  1
)  <_  N )
82 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( N  +  1
) ) )
8382neeq1d 2616 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  <->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0 ) )
84 breq1 4218 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
k  <_  N  <->  ( N  +  1 )  <_  N ) )
8583, 84imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  ( ( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0  -> 
( N  +  1 )  <_  N )
) )
8685rspcva 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  N )
)  ->  ( ( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( N  +  1 )  <_  N ) )
875, 86sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  (
( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0  -> 
( N  +  1 )  <_  N )
)
8887necon1bd 2674 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( -.  ( N  +  1 )  <_  N  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =  0 ) )
8981, 88mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =  0 )
90 uzid 10505 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
9118, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) )
92 funfvima2 5977 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
933, 12, 92syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  ( N  +  1
) )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
9491, 93mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( A `  ( N  +  1
) )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
9594adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
9689, 95eqeltrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  0  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) )
9796snssd 3945 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  { 0 }  C_  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
9877, 97eqssd 3367 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )
9943, 98impbida 807 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   "cima 4884   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493
This theorem is referenced by:  elply2  20120  plyeq0lem  20134  coeeulem  20148  dgrlem  20153  dgrub2  20159  dgrlb  20160  coeeq2  20166  dgrle  20167  coeaddlem  20172  coemullem  20173  coe1termlem  20181  dgreq0  20188  coecj  20201  basellem2  20869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494
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