Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivalg Unicode version

Theorem plydivalg 20084
 Description: The division algorithm on polynomials over a subfield of the complex numbers. If and are polynomials over , then there is a unique quotient polynomial such that the remainder is either zero or has degree less than . (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl
plydiv.tm
plydiv.rc
plydiv.m1
plydiv.f Poly
plydiv.g Poly
plydiv.z
plydiv.r
Assertion
Ref Expression
plydivalg Poly deg deg
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem plydivalg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.pl . . 3
2 plydiv.tm . . 3
3 plydiv.rc . . 3
4 plydiv.m1 . . 3
5 plydiv.f . . 3 Poly
6 plydiv.g . . 3 Poly
7 plydiv.z . . 3
8 plydiv.r . . 3
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8plydivex 20082 . 2 Poly deg deg
10 simpll 731 . . . . . 6 Poly Poly deg deg deg deg
1110, 1sylan 458 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg
1210, 2sylan 458 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg
1310, 3sylan 458 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg
1410, 4syl 16 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg
1510, 5syl 16 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg Poly
1610, 6syl 16 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg Poly
1710, 7syl 16 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg
18 eqid 2388 . . . . 5
19 simplrr 738 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg Poly
20 simprr 734 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg deg deg
21 simplrl 737 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg Poly
22 simprl 733 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg deg deg
2311, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 8, 21, 22plydiveu 20083 . . . 4 Poly Poly deg deg deg deg
2423ex 424 . . 3 Poly Poly deg deg deg deg
2524ralrimivva 2742 . 2 Poly Poly deg deg deg deg
26 oveq2 6029 . . . . . . 7
2726oveq2d 6037 . . . . . 6
288, 27syl5eq 2432 . . . . 5
2928eqeq1d 2396 . . . 4
3028fveq2d 5673 . . . . 5 deg deg
3130breq1d 4164 . . . 4 deg deg deg deg
3229, 31orbi12d 691 . . 3 deg deg deg deg
3332reu4 3072 . 2 Poly deg deg Poly deg deg Poly Poly deg deg deg deg
349, 25, 33sylanbrc 646 1 Poly deg deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   wceq 1649   wcel 1717   wne 2551  wral 2650  wrex 2651  wreu 2652   class class class wbr 4154  cfv 5395  (class class class)co 6021   cof 6243  cc0 8924  c1 8925   caddc 8927   cmul 8929   clt 9054   cmin 9224  cneg 9225   cdiv 9610  c0p 19429  Polycply 19971  degcdgr 19974 This theorem is referenced by:  quotlem  20085 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-0p 19430  df-ply 19975  df-coe 19977  df-dgr 19978
 Copyright terms: Public domain W3C validator