Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydiveu Unicode version

Theorem plydiveu 19694
 Description: Lemma for plydivalg 19695. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl
plydiv.tm
plydiv.rc
plydiv.m1
plydiv.f Poly
plydiv.g Poly
plydiv.z
plydiv.r
plydiveu.q Poly
plydiveu.qd deg deg
plydiveu.t
plydiveu.p Poly
plydiveu.pd deg deg
Assertion
Ref Expression
plydiveu
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem plydiveu
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idd 21 . . . 4
2 plydiveu.q . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
3 plydiv.pl . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 plydiv.tm . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 plydiv.rc . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 plydiv.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly
8 plydiv.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly
9 plydiv.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10 plydiv.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10plydivlem2 19690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
122, 11mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
13 plydiveu.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
14 plydiveu.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17
153, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14plydivlem2 19690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
1613, 15mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
1712, 16, 3, 4, 6plysub 19617 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly
18 dgrcl 19631 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 deg
2019nn0red 10035 . . . . . . . . . . . 12 deg
21 dgrcl 19631 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg
2216, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 deg
2322nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . 13 deg
24 dgrcl 19631 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg
2512, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 deg
2625nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . 13 deg
27 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg deg deg deg deg
2823, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 deg deg deg deg
29 dgrcl 19631 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg
308, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 deg
3130nn0red 10035 . . . . . . . . . . . 12 deg
32 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg
33 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg
3432, 33dgrsub 19669 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly deg deg deg deg deg
3512, 16, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 deg deg deg deg deg
36 plydiveu.pd . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
37 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coeff coeff
3833, 37dgrlt 19663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg deg deg deg deg coeffdeg
3916, 30, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg deg deg coeffdeg
4036, 39mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg coeffdeg
4140simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg
42 plydiveu.qd . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
43 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coeff coeff
4432, 43dgrlt 19663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg deg deg deg deg coeffdeg
4512, 30, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg deg deg coeffdeg
4642, 45mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg coeffdeg
4746simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg
48 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg
49 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg
5048, 49ifboth 3609 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg deg deg deg deg deg deg deg
5141, 47, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 deg deg deg deg deg
5220, 28, 31, 35, 51letrd 8989 . . . . . . . . . . 11 deg deg
5352adantr 451 . . . . . . . . . 10 deg deg
5413, 2, 3, 4, 6plysub 19617 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly
55 dgrcl 19631 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 deg
57 nn0addge1 10026 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg deg deg deg
5831, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 deg deg deg
5958adantr 451 . . . . . . . . . . 11 deg deg deg
60 plyf 19596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly
617, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6361, 62sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
648, 2, 3, 4plymul 19616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly
65 plyf 19596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6866, 67sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
698, 13, 3, 4plymul 19616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly
70 plyf 19596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7371, 72sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7463, 68, 73nnncan1d 9207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 cnex 8834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7776a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7863, 68subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7963, 73subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8061feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8166feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8277, 63, 68, 80, 81offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8310, 82syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8471feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8577, 63, 73, 80, 84offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8614, 85syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8777, 78, 79, 83, 86offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8877, 73, 68, 84, 81offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8975, 87, 883eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . . . 15
90 plyf 19596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly
918, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
92 plyf 19596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly
9313, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 plyf 19596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly
952, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 subdi 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9877, 91, 93, 95, 97caofdi 6129 . . . . . . . . . . . . . . 15
9989, 98eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14
10099fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg
101100adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
1028adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
1039adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
10454adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
105 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
106 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg
107 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg
108106, 107dgrmul 19667 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly deg deg deg
109102, 103, 104, 105, 108syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12 deg deg deg
110101, 109eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11 deg deg deg
11159, 110breqtrrd 4065 . . . . . . . . . 10 deg deg
11220, 31letri3d 8977 . . . . . . . . . . 11 deg deg deg deg deg deg
113112adantr 451 . . . . . . . . . 10 deg deg deg deg deg deg
11453, 111, 113mpbir2and 888 . . . . . . . . 9 deg deg
115114fveq2d 5545 . . . . . . . 8 coeff deg coeff deg
11643, 37coesub 19654 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly coeff coeff coeff
11712, 16, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff coeff
118117fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11 coeff deg coeff coeffdeg
11943coef3 19630 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly coeff
120 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14 coeff coeff
12112, 119, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 coeff
12237coef3 19630 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly coeff
123 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14 coeff coeff
12416, 122, 1233syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 coeff
125 nn0ex 9987 . . . . . . . . . . . . . 14
126125a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
127 inidm 3391 . . . . . . . . . . . . 13
12846simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14 coeffdeg
129128adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13 deg coeffdeg
13040simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14 coeffdeg
131130adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13 deg coeffdeg
132121, 124, 126, 126, 127, 129, 131ofval 6103 . . . . . . . . . . . 12 deg coeff coeffdeg
13330, 132mpdan 649 . . . . . . . . . . 11 coeff coeffdeg
134118, 133eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10 coeff deg
135 0cn 8847 . . . . . . . . . . 11
136135subidi 9133 . . . . . . . . . 10
137134, 136syl6eq 2344 . . . . . . . . 9 coeff deg
138137adantr 451 . . . . . . . 8 coeff deg
139115, 138eqtrd 2328 . . . . . . 7 coeff deg
140 eqid 2296 . . . . . . . . . 10 deg deg
141 eqid 2296 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
142140, 141dgreq0 19662 . . . . . . . . 9 Poly coeff deg
14317, 142syl 15 . . . . . . . 8 coeff deg
144143biimpar 471 . . . . . . 7 coeff deg
145139, 144syldan 456 . . . . . 6
146145ex 423 . . . . 5
147 plymul0or 19677 . . . . . . 7 Poly Poly
1488, 54, 147syl2anc 642 . . . . . 6
14999eqeq1d 2304 . . . . . 6
1509neneqd 2475 . . . . . . 7
151 biorf 394 . . . . . . 7
152150, 151syl 15 . . . . . 6
153148, 149, 1523bitr4d 276 . . . . 5
154146, 153sylibd 205 . . . 4
1551, 154pm2.61dne 2536 . . 3
156 df-0p 19041 . . 3
157155, 156syl6eq 2344 . 2
158 ofsubeq0 9759 . . 3
15977, 93, 95, 158syl3anc 1182 . 2
160157, 159mpbid 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  cvv 2801  cif 3578  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cxp 4703   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cneg 9054   cdiv 9439  cn0 9981  c0p 19040  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585 This theorem is referenced by:  plydivalg  19695 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589
 Copyright terms: Public domain W3C validator