Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivlem4 Unicode version

Theorem plydivlem4 19676
 Description: Lemma for plydivex 19677. Induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl
plydiv.tm
plydiv.rc
plydiv.m1
plydiv.f Poly
plydiv.g Poly
plydiv.z
plydiv.r
plydiv.d
plydiv.e
plydiv.fz
plydiv.u
plydiv.h
plydiv.al Poly deg Poly deg
plydiv.a coeff
plydiv.b coeff
plydiv.m deg
plydiv.n deg
Assertion
Ref Expression
plydivlem4 Poly deg
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)   (,,,)   (,)   (,,,,,)   (,,)

Proof of Theorem plydivlem4
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . 4 Poly
2 plybss 19576 . . . . . . 7 Poly
31, 2syl 15 . . . . . 6
4 plydiv.pl . . . . . . . . . . . 12
5 plydiv.tm . . . . . . . . . . . 12
6 plydiv.rc . . . . . . . . . . . 12
7 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . 12
84, 5, 6, 7plydivlem1 19673 . . . . . . . . . . 11
9 plydiv.a . . . . . . . . . . . 12 coeff
109coef2 19613 . . . . . . . . . . 11 Poly
111, 8, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
12 plydiv.m . . . . . . . . . . 11 deg
13 dgrcl 19615 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
141, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11 deg
1512, 14syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10
16 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10
1711, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . . . 9
183, 17sseldd 3181 . . . . . . . 8
19 plydiv.g . . . . . . . . . . 11 Poly
20 plydiv.b . . . . . . . . . . . 12 coeff
2120coef2 19613 . . . . . . . . . . 11 Poly
2219, 8, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
23 plydiv.n . . . . . . . . . . 11 deg
24 dgrcl 19615 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
2519, 24syl 15 . . . . . . . . . . 11 deg
2623, 25syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10
27 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10
2822, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . 9
293, 28sseldd 3181 . . . . . . . 8
30 plydiv.z . . . . . . . . 9
3123, 20dgreq0 19646 . . . . . . . . . . 11 Poly
3219, 31syl 15 . . . . . . . . . 10
3332necon3bid 2481 . . . . . . . . 9
3430, 33mpbid 201 . . . . . . . 8
3518, 29, 34divrecd 9539 . . . . . . 7
36 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11
37 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . 14
38 neeq1 2454 . . . . . . . . . . . . . 14
3937, 38anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13
4039anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12
41 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13
4241eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12
4340, 42imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11
4436, 43, 6vtocl 2838 . . . . . . . . . 10
4544ex 423 . . . . . . . . 9
4628, 34, 45mp2and 660 . . . . . . . 8
475, 17, 46caovcld 6013 . . . . . . 7
4835, 47eqeltrd 2357 . . . . . 6
49 plydiv.d . . . . . 6
50 plydiv.h . . . . . . 7
5150ply1term 19586 . . . . . 6 Poly
523, 48, 49, 51syl3anc 1182 . . . . 5 Poly
5352, 19, 4, 5plymul 19600 . . . 4 Poly
541, 53, 4, 5, 7plysub 19601 . . 3 Poly
55 plydiv.al . . 3 Poly deg Poly deg
56 eqid 2283 . . . . . . 7 deg deg
5712, 56dgrsub 19653 . . . . . 6 Poly Poly deg deg deg
581, 53, 57syl2anc 642 . . . . 5 deg deg deg
59 plydiv.fz . . . . . . . . . . . . 13
6012, 9dgreq0 19646 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
611, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
6261necon3bid 2481 . . . . . . . . . . . . 13
6359, 62mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12
6418, 29, 63, 34divne0d 9552 . . . . . . . . . . 11
653, 48sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . 13
6650coe1term 19640 . . . . . . . . . . . . 13 coeff
6765, 49, 49, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12 coeff
68 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13
69 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
7167, 70syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11 coeff
72 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . . 13
7372fvconst2 5729 . . . . . . . . . . . 12
7449, 73syl 15 . . . . . . . . . . 11
7564, 71, 743netr4d 2473 . . . . . . . . . 10 coeff
76 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
77 coe0 19637 . . . . . . . . . . . . 13 coeff
7876, 77syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12 coeff
7978fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11 coeff
8079necon3i 2485 . . . . . . . . . 10 coeff
8175, 80syl 15 . . . . . . . . 9
82 eqid 2283 . . . . . . . . . 10 deg deg
8382, 23dgrmul 19651 . . . . . . . . 9 Poly Poly deg deg
8452, 81, 19, 30, 83syl22anc 1183 . . . . . . . 8 deg deg
8550dgr1term 19641 . . . . . . . . . . . 12 deg
8665, 64, 49, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11 deg
87 plydiv.e . . . . . . . . . . 11
8886, 87eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10 deg
8988oveq1d 5873 . . . . . . . . 9 deg
9015nn0cnd 10020 . . . . . . . . . 10
9126nn0cnd 10020 . . . . . . . . . 10
9290, 91npcand 9161 . . . . . . . . 9
9389, 92eqtrd 2315 . . . . . . . 8 deg
9484, 93eqtrd 2315 . . . . . . 7 deg
9594ifeq1d 3579 . . . . . 6 deg deg deg
96 ifid 3597 . . . . . 6 deg
9795, 96syl6eq 2331 . . . . 5 deg deg
9858, 97breqtrd 4047 . . . 4 deg
99 eqid 2283 . . . . . . . 8 coeff coeff
1009, 99coesub 19638 . . . . . . 7 Poly Poly coeff coeff
1011, 53, 100syl2anc 642 . . . . . 6 coeff coeff
102101fveq1d 5527 . . . . 5 coeff coeff
1039coef3 19614 . . . . . . . 8 Poly
104 ffn 5389 . . . . . . . 8
1051, 103, 1043syl 18 . . . . . . 7
10699coef3 19614 . . . . . . . 8 Poly coeff
107 ffn 5389 . . . . . . . 8 coeff coeff
10853, 106, 1073syl 18 . . . . . . 7 coeff
109 nn0ex 9971 . . . . . . . 8
110109a1i 10 . . . . . . 7
111 inidm 3378 . . . . . . 7
112 eqidd 2284 . . . . . . 7
113 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
114113, 20, 82, 23coemulhi 19635 . . . . . . . . . 10 Poly Poly coeff deg coeffdeg
11552, 19, 114syl2anc 642 . . . . . . . . 9 coeff deg coeffdeg
11693fveq2d 5529 . . . . . . . . 9 coeff deg coeff
11786fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12 coeffdeg coeff
118117, 71eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11 coeffdeg
119118oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10 coeffdeg
12018, 29, 34divcan1d 9537 . . . . . . . . . 10
121119, 120eqtrd 2315 . . . . . . . . 9 coeffdeg
122115, 116, 1213eqtr3d 2323 . . . . . . . 8 coeff
123122adantr 451 . . . . . . 7 coeff
124105, 108, 110, 110, 111, 112, 123ofval 6087 . . . . . 6 coeff
12515, 124mpdan 649 . . . . 5 coeff
12618subidd 9145 . . . . 5
127102, 125, 1263eqtrd 2319 . . . 4 coeff
128 dgrcl 19615 . . . . . . . . . 10 Poly deg
12954, 128syl 15 . . . . . . . . 9 deg
130129nn0red 10019 . . . . . . . 8 deg
13115nn0red 10019 . . . . . . . 8
13226nn0red 10019 . . . . . . . 8
133130, 131, 132ltsub1d 9381 . . . . . . 7 deg deg
13487breq2d 4035 . . . . . . 7 deg deg
135133, 134bitrd 244 . . . . . 6 deg deg
136135orbi2d 682 . . . . 5 deg deg
137 eqid 2283 . . . . . . 7 deg deg
138 eqid 2283 . . . . . . 7 coeff coeff
139137, 138dgrlt 19647 . . . . . 6 Poly deg deg coeff
14054, 15, 139syl2anc 642 . . . . 5 deg deg coeff
141136, 140bitr3d 246 . . . 4 deg deg coeff
14298, 127, 141mpbir2and 888 . . 3 deg
143 eqeq1 2289 . . . . . 6
144 fveq2 5525 . . . . . . . 8 deg deg
145144oveq1d 5873 . . . . . . 7 deg deg
146145breq1d 4033 . . . . . 6 deg deg
147143, 146orbi12d 690 . . . . 5 deg deg
148 plydiv.u . . . . . . . . 9
149 oveq1 5865 . . . . . . . . 9
150148, 149syl5eq 2327 . . . . . . . 8
151150eqeq1d 2291 . . . . . . 7
152150fveq2d 5529 . . . . . . . 8 deg deg
153152breq1d 4033 . . . . . . 7 deg deg
154151, 153orbi12d 690 . . . . . 6 deg deg
155154rexbidv 2564 . . . . 5 Poly deg Poly deg
156147, 155imbi12d 311 . . . 4 deg Poly deg deg Poly deg
157156rspcv 2880 . . 3 Poly Poly deg Poly deg deg Poly deg
15854, 55, 142, 157syl3c 57 . 2 Poly deg
15952adantr 451 . . . . . . 7 Poly Poly
160 simpr 447 . . . . . . 7 Poly Poly
1614adantlr 695 . . . . . . 7 Poly
162159, 160, 161plyadd 19599 . . . . . 6 Poly Poly
163162adantr 451 . . . . 5 Poly deg Poly
164 cnex 8818 . . . . . . . . . . 11
165164a1i 10 . . . . . . . . . 10 Poly
1661adantr 451 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
167 plyf 19580 . . . . . . . . . . 11 Poly
168166, 167syl 15 . . . . . . . . . 10 Poly
169 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . 12
170169adantl 452 . . . . . . . . . . 11 Poly
171 plyf 19580 . . . . . . . . . . . 12 Poly
172159, 171syl 15 . . . . . . . . . . 11 Poly
17319adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
174 plyf 19580 . . . . . . . . . . . 12 Poly
175173, 174syl 15 . . . . . . . . . . 11 Poly
176 inidm 3378 . . . . . . . . . . 11
177170, 172, 175, 165, 165, 176off 6093 . . . . . . . . . 10 Poly
178 plyf 19580 . . . . . . . . . . . 12 Poly
179178adantl 452 . . . . . . . . . . 11 Poly
180170, 175, 179, 165, 165, 176off 6093 . . . . . . . . . 10 Poly
181 subsub4 9080 . . . . . . . . . . 11
182181adantl 452 . . . . . . . . . 10 Poly
183165, 168, 177, 180, 182caofass 6111 . . . . . . . . 9 Poly
184 mulcom 8823 . . . . . . . . . . . . . 14
185184adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
186165, 172, 175, 185caofcom 6109 . . . . . . . . . . . 12 Poly
187186oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11 Poly
188 adddi 8826 . . . . . . . . . . . . 13
189188adantl 452 . . . . . . . . . . . 12 Poly
190165, 175, 172, 179, 189caofdi 6113 . . . . . . . . . . 11 Poly
191187, 190eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10 Poly
192191oveq2d 5874 . . . . . . . . 9 Poly
193183, 192eqtrd 2315 . . . . . . . 8 Poly
194193eqeq1d 2291 . . . . . . 7 Poly
195193fveq2d 5529 . . . . . . . 8 Poly deg deg
196195breq1d 4033 . . . . . . 7 Poly deg deg
197194, 196orbi12d 690 . . . . . 6 Poly deg deg
198197biimpa 470 . . . . 5 Poly deg deg
199 plydiv.r . . . . . . . . 9
200 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10
201200oveq2d 5874 . . . . . . . . 9
202199, 201syl5eq 2327 . . . . . . . 8
203202eqeq1d 2291 . . . . . . 7
204202fveq2d 5529 . . . . . . . 8 deg deg
205204breq1d 4033 . . . . . . 7 deg deg
206203, 205orbi12d 690 . . . . . 6 deg deg
207206rspcev 2884 . . . . 5 Poly deg Poly deg
208163, 198, 207syl2anc 642 . . . 4 Poly deg Poly deg
209208ex 423 . . 3 Poly deg Poly deg
210209rexlimdva 2667 . 2 Poly deg Poly deg
211158, 210mpd 14 1 Poly deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   wss 3152  cif 3565  csn 3640   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cxp 4687   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076  cc 8735  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cmul 8742   clt 8867   cle 8868   cmin 9037  cneg 9038   cdiv 9423  cn0 9965  cexp 11104  c0p 19024  Polycply 19566  coeffccoe 19568  degcdgr 19569 This theorem is referenced by:  plydivex  19677 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-0p 19025  df-ply 19570  df-coe 19572  df-dgr 19573
 Copyright terms: Public domain W3C validator