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Theorem plyf 19985
Description: The polynomial is a function on the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyf  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )

Proof of Theorem plyf
Dummy variables  k 
a  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 19982 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
21simprbi 451 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
3 fzfid 11240 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... n
)  e.  Fin )
4 plybss 19981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  S  C_  CC )
5 0cn 9018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
65a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  0  e.  CC )
76snssd 3887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  { 0 }  C_  CC )
84, 7unssd 3467 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( S  u.  { 0 } ) 
C_  CC )
98ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
109adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )
11 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
12 cnex 9005 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
13 ssexg 4291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
149, 12, 13sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
15 nn0ex 10160 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
16 elmapg 6968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1714, 15, 16sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1811, 17mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
19 elfznn0 11016 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
20 ffvelrn 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
a `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
2118, 19, 20syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( a `  k )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
2210, 21sseldd 3293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( a `  k )  e.  CC )
23 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
24 expcl 11327 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
2523, 19, 24syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( z ^
k )  e.  CC )
2622, 25mulcld 9042 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
273, 26fsumcl 12455 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) )  e.  CC )
28 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
2927, 28fmptd 5833 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  -> 
( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) : CC --> CC )
30 feq1 5517 . . . 4  |-  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  ( F : CC --> CC  <->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) : CC --> CC ) )
3129, 30syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  -> 
( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  F : CC
--> CC ) )
3231rexlimdvva 2781 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  F : CC
--> CC ) )
332, 32mpd 15 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    u. cun 3262    C_ wss 3264   {csn 3758    e. cmpt 4208   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^m cmap 6955   CCcc 8922   0cc0 8924    x. cmul 8929   NN0cn0 10154   ...cfz 10976   ^cexp 11310   sum_csu 12407  Polycply 19971
This theorem is referenced by:  plysub  20006  plyco  20028  0dgrb  20033  coe0  20042  coesub  20043  dgrsub  20058  dgrcolem1  20059  dgrcolem2  20060  dgrco  20061  plymul0or  20066  plyreres  20068  dvply2g  20070  dvnply2  20072  plycpn  20074  plydivlem3  20080  plydivlem4  20081  plydiveu  20083  plyremlem  20089  plyrem  20090  facth  20091  fta1lem  20092  fta1  20093  quotcan  20094  vieta1lem1  20095  vieta1lem2  20096  vieta1  20097  plyexmo  20098  elaa  20101  elqaalem3  20106  aannenlem1  20113  aalioulem2  20118  aalioulem3  20119  aalioulem4  20120  taylthlem2  20158  ftalem2  20724  ftalem3  20725  ftalem4  20726  ftalem5  20727  ftalem7  20729  basellem4  20734  basellem5  20735  mpaaeu  27025  rngunsnply  27048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-sum 12408  df-ply 19975
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