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Theorem plymul 19704
Description: The product of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
plymul.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
plymul  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    x, y, F    x, S, y    x, G, y    ph, x, y

Proof of Theorem plymul
Dummy variables  k  m  n  z  a 
b  j  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 elply2 19682 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. m  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
32simprbi 450 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. m  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
5 plyadd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
6 elply2 19682 . . . 4  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
76simprbi 450 . . 3  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
85, 7syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
9 reeanv 2783 . . 3  |-  ( E. m  e.  NN0  E. n  e.  NN0  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  <-> 
( E. m  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
10 reeanv 2783 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) E. b  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  ( ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  <->  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
11 simp1l 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ph )
1211, 1syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
1311, 5syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
1511, 14sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )
)  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
16 simp1rl 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
17 simp1rr 1021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
18 simp2l 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )
19 simp2r 982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )
20 simp3ll 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
21 simp3rl 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
22 simp3lr 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
23 oveq1 5952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
z ^ k )  =  ( w ^
k ) )
2423oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( a `
 k )  x.  ( w ^ k
) ) )
2524sumeq2sdv 12274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( w ^ k ) ) )
26 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
a `  k )  =  ( a `  j ) )
27 oveq2 5953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
w ^ k )  =  ( w ^
j ) )
2826, 27oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( a `  k
)  x.  ( w ^ k ) )  =  ( ( a `
 j )  x.  ( w ^ j
) ) )
2928cbvsumv 12266 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( w ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) )
3025, 29syl6eq 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
3130cbvmptv 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
3222, 31syl6eq 2406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  F  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) ) )
33 simp3rr 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
3423oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( b `
 k )  x.  ( w ^ k
) ) )
3534sumeq2sdv 12274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( w ^ k ) ) )
36 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
b `  k )  =  ( b `  j ) )
3736, 27oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( b `  k
)  x.  ( w ^ k ) )  =  ( ( b `
 j )  x.  ( w ^ j
) ) )
3837cbvsumv 12266 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( w ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) )
3935, 38syl6eq 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
4039cbvmptv 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
4133, 40syl6eq 2406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  G  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) ) )
42 plymul.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
4311, 42sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )
)  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
4412, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41, 43plymullem 19702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
45443expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  -> 
( ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  ( ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
4645rexlimdvva 2750 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e. 
NN0 ) )  -> 
( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  ( ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
4710, 46syl5bir 209 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
4847rexlimdvva 2750 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m  e. 
NN0  E. n  e.  NN0  ( E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
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z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
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n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
499, 48syl5bir 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
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m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
504, 8, 49mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620    u. cun 3226    C_ wss 3228   {csn 3716    e. cmpt 4158   "cima 4774   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    o Fcof 6163    ^m cmap 6860   CCcc 8825   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    x. cmul 8832   NN0cn0 10057   ZZ>=cuz 10322   ...cfz 10874   ^cexp 11197   sum_csu 12255  Polycply 19670
This theorem is referenced by:  plysub  19705  plymulcl  19707  plyco  19727  plydivlem2  19778  plydivlem4  19780  plydiveu  19782  mpaaeu  26678  rngunsnply  26701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-sum 12256  df-ply 19674
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