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Theorem plymul 20090
Description: The product of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
plymul.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
plymul  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    x, y, F    x, S, y    x, G, y    ph, x, y

Proof of Theorem plymul
Dummy variables  k  m  n  z  a 
b  j  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 elply2 20068 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. m  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
32simprbi 451 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. m  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
5 plyadd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
6 elply2 20068 . . . 4  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
76simprbi 451 . . 3  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
85, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
9 reeanv 2835 . . 3  |-  ( E. m  e.  NN0  E. n  e.  NN0  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  <-> 
( E. m  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
10 reeanv 2835 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) E. b  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  ( ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  <->  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
11 simp1l 981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ph )
1211, 1syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
1311, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
1511, 14sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )
)  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
16 simp1rl 1022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
17 simp1rr 1023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
18 simp2l 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )
19 simp2r 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )
20 simp3ll 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
21 simp3rl 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
22 simp3lr 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
23 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
z ^ k )  =  ( w ^
k ) )
2423oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( a `
 k )  x.  ( w ^ k
) ) )
2524sumeq2sdv 12453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( w ^ k ) ) )
26 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
a `  k )  =  ( a `  j ) )
27 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
w ^ k )  =  ( w ^
j ) )
2826, 27oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( a `  k
)  x.  ( w ^ k ) )  =  ( ( a `
 j )  x.  ( w ^ j
) ) )
2928cbvsumv 12445 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( w ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) )
3025, 29syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
3130cbvmptv 4260 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
3222, 31syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  F  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) ) )
33 simp3rr 1031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
3423oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( b `
 k )  x.  ( w ^ k
) ) )
3534sumeq2sdv 12453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( w ^ k ) ) )
36 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
b `  k )  =  ( b `  j ) )
3736, 27oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( b `  k
)  x.  ( w ^ k ) )  =  ( ( b `
 j )  x.  ( w ^ j
) ) )
3837cbvsumv 12445 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( w ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) )
3935, 38syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
4039cbvmptv 4260 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
4133, 40syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  G  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) ) )
42 plymul.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
4311, 42sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )
)  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
4412, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41, 43plymullem 20088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
45443expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  -> 
( ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  ( ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
4645rexlimdvva 2797 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e. 
NN0 ) )  -> 
( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  ( ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
4710, 46syl5bir 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
4847rexlimdvva 2797 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m  e. 
NN0  E. n  e.  NN0  ( E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
499, 48syl5bir 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
504, 8, 49mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    u. cun 3278    C_ wss 3280   {csn 3774    e. cmpt 4226   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    ^m cmap 6977   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   ^cexp 11337   sum_csu 12434  Polycply 20056
This theorem is referenced by:  plysub  20091  plymulcl  20093  plyco  20113  plydivlem2  20164  plydivlem4  20166  plydiveu  20168  mpaaeu  27223  rngunsnply  27246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-ply 20060
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