Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul Structured version   Unicode version

Theorem plymul 20142
 Description: The product of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plymul.4
Assertion
Ref Expression
plymul Poly
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem plymul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3 Poly
2 elply2 20120 . . . 4 Poly
32simprbi 452 . . 3 Poly
41, 3syl 16 . 2
5 plyadd.2 . . 3 Poly
6 elply2 20120 . . . 4 Poly
76simprbi 452 . . 3 Poly
85, 7syl 16 . 2
9 reeanv 2877 . . 3
10 reeanv 2877 . . . . 5
11 simp1l 982 . . . . . . . . 9
1211, 1syl 16 . . . . . . . 8 Poly
1311, 5syl 16 . . . . . . . 8 Poly
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9
1511, 14sylan 459 . . . . . . . 8
16 simp1rl 1023 . . . . . . . 8
17 simp1rr 1024 . . . . . . . 8
18 simp2l 984 . . . . . . . 8
19 simp2r 985 . . . . . . . 8
20 simp3ll 1029 . . . . . . . 8
21 simp3rl 1031 . . . . . . . 8
22 simp3lr 1030 . . . . . . . . 9
23 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13
2423oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . 12
2524sumeq2sdv 12503 . . . . . . . . . . 11
26 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13
27 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 27oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . 12
2928cbvsumv 12495 . . . . . . . . . . 11
3025, 29syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10
3130cbvmptv 4303 . . . . . . . . 9
3222, 31syl6eq 2486 . . . . . . . 8
33 simp3rr 1032 . . . . . . . . 9
3423oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . 12
3534sumeq2sdv 12503 . . . . . . . . . . 11
36 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13
3736, 27oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . 12
3837cbvsumv 12495 . . . . . . . . . . 11
3935, 38syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10
4039cbvmptv 4303 . . . . . . . . 9
4133, 40syl6eq 2486 . . . . . . . 8
42 plymul.4 . . . . . . . . 9
4311, 42sylan 459 . . . . . . . 8
4412, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41, 43plymullem 20140 . . . . . . 7 Poly
45443expia 1156 . . . . . 6 Poly
4645rexlimdvva 2839 . . . . 5 Poly
4710, 46syl5bir 211 . . . 4 Poly
4847rexlimdvva 2839 . . 3 Poly
499, 48syl5bir 211 . 2 Poly
504, 8, 49mp2and 662 1 Poly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708   cun 3320   wss 3322  csn 3816   cmpt 4269  cima 4884  cfv 5457  (class class class)co 6084   cof 6306   cmap 7021  cc 8993  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   cmul 9000  cn0 10226  cuz 10493  cfz 11048  cexp 11387  csu 12484  Polycply 20108 This theorem is referenced by:  plysub  20143  plymulcl  20145  plyco  20165  plydivlem2  20216  plydivlem4  20218  plydiveu  20220  mpaaeu  27346  rngunsnply  27369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-ply 20112
 Copyright terms: Public domain W3C validator