Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul0or Unicode version

Theorem plymul0or 19677
 Description: Polynomial multiplication has no zero divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plymul0or Poly Poly

Proof of Theorem plymul0or
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcl 19631 . . . . . . 7 Poly deg
2 dgrcl 19631 . . . . . . 7 Poly deg
3 nn0addcl 10015 . . . . . . 7 deg deg deg deg
41, 2, 3syl2an 463 . . . . . 6 Poly Poly deg deg
5 c0ex 8848 . . . . . . 7
65fvconst2 5745 . . . . . 6 deg deg deg deg
74, 6syl 15 . . . . 5 Poly Poly deg deg
8 fveq2 5541 . . . . . . . 8 coeff coeff
9 coe0 19653 . . . . . . . 8 coeff
108, 9syl6eq 2344 . . . . . . 7 coeff
1110fveq1d 5543 . . . . . 6 coeff deg deg deg deg
1211eqeq1d 2304 . . . . 5 coeff deg deg deg deg
137, 12syl5ibrcom 213 . . . 4 Poly Poly coeff deg deg
14 eqid 2296 . . . . . . 7 coeff coeff
15 eqid 2296 . . . . . . 7 coeff coeff
16 eqid 2296 . . . . . . 7 deg deg
17 eqid 2296 . . . . . . 7 deg deg
1814, 15, 16, 17coemulhi 19651 . . . . . 6 Poly Poly coeff deg deg coeffdeg coeffdeg
1918eqeq1d 2304 . . . . 5 Poly Poly coeff deg deg coeffdeg coeffdeg
2014coef3 19630 . . . . . . . 8 Poly coeff
2120adantr 451 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
221adantr 451 . . . . . . 7 Poly Poly deg
23 ffvelrn 5679 . . . . . . 7 coeff deg coeffdeg
2421, 22, 23syl2anc 642 . . . . . 6 Poly Poly coeffdeg
2515coef3 19630 . . . . . . . 8 Poly coeff
2625adantl 452 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
272adantl 452 . . . . . . 7 Poly Poly deg
28 ffvelrn 5679 . . . . . . 7 coeff deg coeffdeg
2926, 27, 28syl2anc 642 . . . . . 6 Poly Poly coeffdeg
3024, 29mul0ord 9434 . . . . 5 Poly Poly coeffdeg coeffdeg coeffdeg coeffdeg
3119, 30bitrd 244 . . . 4 Poly Poly coeff deg deg coeffdeg coeffdeg
3213, 31sylibd 205 . . 3 Poly Poly coeffdeg coeffdeg
3316, 14dgreq0 19662 . . . . 5 Poly coeffdeg
3433adantr 451 . . . 4 Poly Poly coeffdeg
3517, 15dgreq0 19662 . . . . 5 Poly coeffdeg
3635adantl 452 . . . 4 Poly Poly coeffdeg
3734, 36orbi12d 690 . . 3 Poly Poly coeffdeg coeffdeg
3832, 37sylibrd 225 . 2 Poly Poly
39 cnex 8834 . . . . . . 7
4039a1i 10 . . . . . 6 Poly Poly
41 plyf 19596 . . . . . . 7 Poly
4241adantl 452 . . . . . 6 Poly Poly
43 0cn 8847 . . . . . . 7
4443a1i 10 . . . . . 6 Poly Poly
45 mul02 9006 . . . . . . 7
4645adantl 452 . . . . . 6 Poly Poly
4740, 42, 44, 44, 46caofid2 6124 . . . . 5 Poly Poly
48 id 19 . . . . . . . 8
49 df-0p 19041 . . . . . . . 8
5048, 49syl6eq 2344 . . . . . . 7
5150oveq1d 5889 . . . . . 6
5251eqeq1d 2304 . . . . 5
5347, 52syl5ibrcom 213 . . . 4 Poly Poly
54 plyf 19596 . . . . . . 7 Poly
5554adantr 451 . . . . . 6 Poly Poly
56 mul01 9007 . . . . . . 7
5756adantl 452 . . . . . 6 Poly Poly
5840, 55, 44, 44, 57caofid1 6123 . . . . 5 Poly Poly
59 id 19 . . . . . . . 8
6059, 49syl6eq 2344 . . . . . . 7
6160oveq2d 5890 . . . . . 6
6261eqeq1d 2304 . . . . 5
6358, 62syl5ibrcom 213 . . . 4 Poly Poly
6453, 63jaod 369 . . 3 Poly Poly
6549eqeq2i 2306 . . 3
6664, 65syl6ibr 218 . 2 Poly Poly
6738, 66impbid 183 1 Poly Poly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801  csn 3653   cxp 4703  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cc 8751  cc0 8753   caddc 8756   cmul 8758  cn0 9981  c0p 19040  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585 This theorem is referenced by:  plydiveu  19694  quotcan  19705  vieta1lem1  19706  vieta1lem2  19707 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589
 Copyright terms: Public domain W3C validator