Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul0or Structured version   Unicode version

Theorem plymul0or 20190
 Description: Polynomial multiplication has no zero divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plymul0or Poly Poly

Proof of Theorem plymul0or
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcl 20144 . . . . . . 7 Poly deg
2 dgrcl 20144 . . . . . . 7 Poly deg
3 nn0addcl 10247 . . . . . . 7 deg deg deg deg
41, 2, 3syl2an 464 . . . . . 6 Poly Poly deg deg
5 c0ex 9077 . . . . . . 7
65fvconst2 5939 . . . . . 6 deg deg deg deg
74, 6syl 16 . . . . 5 Poly Poly deg deg
8 fveq2 5720 . . . . . . . 8 coeff coeff
9 coe0 20166 . . . . . . . 8 coeff
108, 9syl6eq 2483 . . . . . . 7 coeff
1110fveq1d 5722 . . . . . 6 coeff deg deg deg deg
1211eqeq1d 2443 . . . . 5 coeff deg deg deg deg
137, 12syl5ibrcom 214 . . . 4 Poly Poly coeff deg deg
14 eqid 2435 . . . . . . 7 coeff coeff
15 eqid 2435 . . . . . . 7 coeff coeff
16 eqid 2435 . . . . . . 7 deg deg
17 eqid 2435 . . . . . . 7 deg deg
1814, 15, 16, 17coemulhi 20164 . . . . . 6 Poly Poly coeff deg deg coeffdeg coeffdeg
1918eqeq1d 2443 . . . . 5 Poly Poly coeff deg deg coeffdeg coeffdeg
2014coef3 20143 . . . . . . . 8 Poly coeff
2120adantr 452 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
221adantr 452 . . . . . . 7 Poly Poly deg
2321, 22ffvelrnd 5863 . . . . . 6 Poly Poly coeffdeg
2415coef3 20143 . . . . . . . 8 Poly coeff
2524adantl 453 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
262adantl 453 . . . . . . 7 Poly Poly deg
2725, 26ffvelrnd 5863 . . . . . 6 Poly Poly coeffdeg
2823, 27mul0ord 9664 . . . . 5 Poly Poly coeffdeg coeffdeg coeffdeg coeffdeg
2919, 28bitrd 245 . . . 4 Poly Poly coeff deg deg coeffdeg coeffdeg
3013, 29sylibd 206 . . 3 Poly Poly coeffdeg coeffdeg
3116, 14dgreq0 20175 . . . . 5 Poly coeffdeg
3231adantr 452 . . . 4 Poly Poly coeffdeg
3317, 15dgreq0 20175 . . . . 5 Poly coeffdeg
3433adantl 453 . . . 4 Poly Poly coeffdeg
3532, 34orbi12d 691 . . 3 Poly Poly coeffdeg coeffdeg
3630, 35sylibrd 226 . 2 Poly Poly
37 cnex 9063 . . . . . . 7
3837a1i 11 . . . . . 6 Poly Poly
39 plyf 20109 . . . . . . 7 Poly
4039adantl 453 . . . . . 6 Poly Poly
41 0cn 9076 . . . . . . 7
4241a1i 11 . . . . . 6 Poly Poly
43 mul02 9236 . . . . . . 7
4443adantl 453 . . . . . 6 Poly Poly
4538, 40, 42, 42, 44caofid2 6327 . . . . 5 Poly Poly
46 id 20 . . . . . . . 8
47 df-0p 19554 . . . . . . . 8
4846, 47syl6eq 2483 . . . . . . 7
4948oveq1d 6088 . . . . . 6
5049eqeq1d 2443 . . . . 5
5145, 50syl5ibrcom 214 . . . 4 Poly Poly
52 plyf 20109 . . . . . . 7 Poly
5352adantr 452 . . . . . 6 Poly Poly
54 mul01 9237 . . . . . . 7
5554adantl 453 . . . . . 6 Poly Poly
5638, 53, 42, 42, 55caofid1 6326 . . . . 5 Poly Poly
57 id 20 . . . . . . . 8
5857, 47syl6eq 2483 . . . . . . 7
5958oveq2d 6089 . . . . . 6
6059eqeq1d 2443 . . . . 5
6156, 60syl5ibrcom 214 . . . 4 Poly Poly
6251, 61jaod 370 . . 3 Poly Poly
6347eqeq2i 2445 . . 3
6462, 63syl6ibr 219 . 2 Poly Poly
6536, 64impbid 184 1 Poly Poly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  csn 3806   cxp 4868  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295  cc 8980  cc0 8982   caddc 8985   cmul 8987  cn0 10213  c0p 19553  Polycply 20095  coeffccoe 20097  degcdgr 20098 This theorem is referenced by:  plydiveu  20207  quotcan  20218  vieta1lem1  20219  vieta1lem2  20220 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099  df-coe 20101  df-dgr 20102
 Copyright terms: Public domain W3C validator