MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymullem Structured version   Unicode version

Theorem plymullem 20127
Description: Lemma for plymul 20129. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
plyadd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
plyadd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.a2  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.b2  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plyadd.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plymul.x  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
plymullem  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, B    x, F, y, z    S, k, x, y, z    x, A, y, z    x, G, y, z    ph, k, x, y, z    k, M, z    k, N, z
Allowed substitution hints:    A( k)    F( k)    G( k)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem plymullem
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 plyadd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
3 plyadd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 plyadd.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
5 plyadd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
6 plybss 20105 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  S  C_  CC )
71, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
8 0cn 9076 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
98a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
109snssd 3935 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
117, 10unssd 3515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
12 cnex 9063 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
13 ssexg 4341 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
1411, 12, 13sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
15 nn0ex 10219 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
16 elmapg 7023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1714, 15, 16sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
185, 17mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
19 fss 5591 . . . . 5  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  A : NN0 --> CC )
2018, 11, 19syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
21 plyadd.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
22 elmapg 7023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2314, 15, 22sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2421, 23mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
25 fss 5591 . . . . 5  |-  ( ( B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  B : NN0 --> CC )
2624, 11, 25syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
27 plyadd.a2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
28 plyadd.b2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
29 plyadd.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
30 plyadd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
311, 2, 3, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 30plymullem1 20125 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) ) )
323, 4nn0addcld 10270 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  NN0 )
33 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( S  u.  { 0 } )  =  ( S  u.  { 0 } )
34 plyadd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
357, 33, 34un0addcl 10245 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  y  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
36 fzfid 11304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... n
)  e.  Fin )
37 elfznn0 11075 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
38 ffvelrn 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
3918, 37, 38syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
40 fznn0sub 11077 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  k )  e.  NN0 )
41 ffvelrn 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( n  -  k )  e. 
NN0 )  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4224, 40, 41syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4339, 42jca 519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  (
( A `  k
)  e.  ( S  u.  { 0 } )  /\  ( B `
 ( n  -  k ) )  e.  ( S  u.  {
0 } ) ) )
44 plymul.x . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
457, 33, 44un0mulcl 10246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  y  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  (
x  x.  y )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4645caovclg 6231 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  ( B `  ( n  -  k ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4743, 46syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
48 ssun2 3503 . . . . . . . 8  |-  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } )
49 c0ex 9077 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
5049snss 3918 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } ) )
5148, 50mpbir 201 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( S  u.  {
0 } )
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
5311, 35, 36, 47, 52fsumcllem 12518 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
5453adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
5511, 32, 54elplyd 20113 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) )  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
5631, 55eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
57 plyun0 20108 . 2  |-  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) )  =  (Poly `  S )
5856, 57syl6eleq 2525 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806    e. cmpt 4258   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    ^m cmap 7010   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   NN0cn0 10213   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035   ^cexp 11374   sum_csu 12471  Polycply 20095
This theorem is referenced by:  plymul  20129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-ply 20099
  Copyright terms: Public domain W3C validator