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Theorem plymullem 20003
Description: Lemma for plymul 20005. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
plyadd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
plyadd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.a2  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.b2  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plyadd.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plymul.x  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
plymullem  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, B    x, F, y, z    S, k, x, y, z    x, A, y, z    x, G, y, z    ph, k, x, y, z    k, M, z    k, N, z
Allowed substitution hints:    A( k)    F( k)    G( k)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem plymullem
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 plyadd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
3 plyadd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 plyadd.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
5 plyadd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
6 plybss 19981 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  S  C_  CC )
71, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
8 0cn 9018 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
98a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
109snssd 3887 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
117, 10unssd 3467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
12 cnex 9005 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
13 ssexg 4291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
1411, 12, 13sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
15 nn0ex 10160 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
16 elmapg 6968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1714, 15, 16sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
185, 17mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
19 fss 5540 . . . . 5  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  A : NN0 --> CC )
2018, 11, 19syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
21 plyadd.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
22 elmapg 6968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2314, 15, 22sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2421, 23mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
25 fss 5540 . . . . 5  |-  ( ( B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  B : NN0 --> CC )
2624, 11, 25syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
27 plyadd.a2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
28 plyadd.b2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
29 plyadd.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
30 plyadd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
311, 2, 3, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 30plymullem1 20001 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) ) )
323, 4nn0addcld 10211 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  NN0 )
33 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( S  u.  { 0 } )  =  ( S  u.  { 0 } )
34 plyadd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
357, 33, 34un0addcl 10186 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  y  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
36 fzfid 11240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... n
)  e.  Fin )
37 elfznn0 11016 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
38 ffvelrn 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
3918, 37, 38syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
40 fznn0sub 11018 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  k )  e.  NN0 )
41 ffvelrn 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( n  -  k )  e. 
NN0 )  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4224, 40, 41syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4339, 42jca 519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  (
( A `  k
)  e.  ( S  u.  { 0 } )  /\  ( B `
 ( n  -  k ) )  e.  ( S  u.  {
0 } ) ) )
44 plymul.x . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
457, 33, 44un0mulcl 10187 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  y  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  (
x  x.  y )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4645caovclg 6179 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  ( B `  ( n  -  k ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4743, 46syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
48 ssun2 3455 . . . . . . . 8  |-  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } )
49 c0ex 9019 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
5049snss 3870 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } ) )
5148, 50mpbir 201 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( S  u.  {
0 } )
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
5311, 35, 36, 47, 52fsumcllem 12454 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
5453adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
5511, 32, 54elplyd 19989 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) )  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
5631, 55eqeltrd 2462 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
57 plyun0 19984 . 2  |-  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) )  =  (Poly `  S )
5856, 57syl6eleq 2478 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    u. cun 3262    C_ wss 3264   {csn 3758    e. cmpt 4208   "cima 4822   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Fcof 6243    ^m cmap 6955   CCcc 8922   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    - cmin 9224   NN0cn0 10154   ZZ>=cuz 10421   ...cfz 10976   ^cexp 11310   sum_csu 12407  Polycply 19971
This theorem is referenced by:  plymul  20005
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-sum 12408  df-ply 19975
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