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Theorem plymullem1 20125
Description: Derive the coefficient function for the product of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyaddlem.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyaddlem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
plyaddlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyaddlem.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyaddlem.b2  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyaddlem.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plyaddlem.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plymullem1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    k, n, B    k, M, n    k, N, n    z,
k, ph, n
Allowed substitution hints:    A( z, k)    B( z)    S( z, k, n)    F( z, k, n)    G( z, k, n)    M( z)    N( z)

Proof of Theorem plymullem1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9063 . . . 4  |-  CC  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
3 sumex 12473 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V )
5 sumex 12473 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V )
7 plyaddlem.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
8 plyaddlem.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
92, 4, 6, 7, 8offval2 6314 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  =  ( z  e.  CC  |->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
10 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( B `  m )  =  ( B `  n ) )
11 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
z ^ m )  =  ( z ^
n ) )
1210, 11oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
( B `  m
)  x.  ( z ^ m ) )  =  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )
1312oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) )
14 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  -  k )  ->  ( B `  m )  =  ( B `  ( n  -  k
) ) )
15 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  -  k )  ->  (
z ^ m )  =  ( z ^
( n  -  k
) ) )
1614, 15oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  -  k )  ->  (
( B `  m
)  x.  ( z ^ m ) )  =  ( ( B `
 ( n  -  k ) )  x.  ( z ^ (
n  -  k ) ) ) )
1716oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  -  k )  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  ( n  -  k
) )  x.  (
z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
18 elfznn0 11075 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  k  e.  NN0 )
19 plyaddlem.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2019adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  A : NN0
--> CC )
2120ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
22 expcl 11391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
2322adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
z ^ k )  e.  CC )
2421, 23mulcld 9100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
2518, 24sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
26 elfznn0 11075 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k
) )  ->  n  e.  NN0 )
27 plyaddlem.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
2827adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  B : NN0
--> CC )
2928ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( B `  n )  e.  CC )
30 expcl 11391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( z ^ n
)  e.  CC )
3130adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
z ^ n )  e.  CC )
3229, 31mulcld 9100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC )
3326, 32sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC )
3425, 33anim12dan 811 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC  /\  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC ) )
35 mulcl 9066 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  e.  CC  /\  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  e.  CC )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  e.  CC )
3713, 17, 36fsum0diag2 12558 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  (
n  -  k ) )  x.  ( z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
38 plyaddlem.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
3938nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
4039ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  CC )
41 plyaddlem.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4241nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4342ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  N  e.  CC )
44 elfznn0 11075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... M )  ->  k  e.  NN0 )
4544adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  k  e.  NN0 )
4645nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  k  e.  CC )
4740, 43, 46addsubd 9424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M  +  N
)  -  k )  =  ( ( M  -  k )  +  N ) )
48 fznn0sub 11077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  k )  e.  NN0 )
4948adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  -  k )  e.  NN0 )
50 nn0uz 10512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5149, 50syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  -  k )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
5241nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5352ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  N  e.  ZZ )
54 eluzadd 10506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  -  k
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  -  k
)  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  N ) ) )
5551, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M  -  k
)  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  N ) ) )
5647, 55eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M  +  N
)  -  k )  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  N ) ) )
5743addid2d 9259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0  +  N )  =  N )
5857fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ZZ>=
`  ( 0  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  N )
)
5956, 58eleqtrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M  +  N
)  -  k )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
60 fzss2 11084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  k )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )
6244, 24sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
6362adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
64 elfznn0 11075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  NN0 )
6564, 32sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC )
6665adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( B `  n )  x.  ( z ^ n
) )  e.  CC )
6763, 66mulcld 9100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  e.  CC )
68 eldifn 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  -.  n  e.  ( 0 ... N ) )
6968adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  -.  n  e.  ( 0 ... N
) )
70 eldifi 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )
7170, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  n  e.  NN0 )
7271adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
73 peano2nn0 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
7441, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
7574, 50syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
76 uzsplit 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
7850, 77syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
79 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
80 pncan 9303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
8142, 79, 80sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
8281oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
8382uneq1d 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
8478, 83eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
8584ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N
)  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
8672, 85eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) )
87 elun 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  \/  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
8886, 87sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  \/  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
8988ord 367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( -.  n  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
9069, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
91 ffun 5585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  Fun 
B )
9227, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Fun  B )
93 ssun2 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  C_  (
( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )
9493, 78syl5sseqr 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  NN0 )
95 fdm 5587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  dom 
B  =  NN0 )
9627, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  B  =  NN0 )
9794, 96sseqtr4d 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  dom  B )
98 funfvima2 5966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  B  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  B )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( B `  n )  e.  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
9992, 97, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  -> 
( B `  n
)  e.  ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
10099ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( B `  n )  e.  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
10190, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( B `  n )  e.  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
102 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
103102ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
104101, 103eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( B `  n )  e.  {
0 } )
105 elsni 3830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B `  n )  e.  { 0 }  ->  ( B `  n )  =  0 )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( B `  n )  =  0 )
107106oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  n )  x.  ( z ^ n
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ n ) ) )
108 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  z  e.  CC )
109108, 71, 30syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( z ^ n )  e.  CC )
110109mul02d 9256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
n ) )  =  0 )
111107, 110eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  n )  x.  ( z ^ n
) )  =  0 )
112111oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  =  ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  0 ) )
11362adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
114113mul01d 9257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  0 )  =  0 )
115112, 114eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  =  0 )
116 fzfid 11304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  e. 
Fin )
11761, 67, 115, 116fsumss 12511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k
) ) ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) ) )
118117sumeq2dv 12489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) ) )
119 fzfid 11304 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... M )  e. 
Fin )
120 fzfid 11304 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... N )  e. 
Fin )
121119, 120, 62, 65fsum2mul 12564 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) )
12239, 42addcomd 9260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  =  ( N  +  M ) )
12341, 50syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
12438nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
125 eluzadd 10506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )
126123, 124, 125syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) ) )
12739addid2d 9259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  +  M
)  =  M )
128127fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
129126, 128eleqtrd 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
130122, 129eqeltrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
131 fzss2 11084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
132130, 131syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  C_  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
133132adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
13462adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
13533adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) )  ->  ( ( B `  n )  x.  ( z ^ n
) )  e.  CC )
136134, 135mulcld 9100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  e.  CC )
137116, 136fsumcl 12519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  e.  CC )
138 eldifn 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M ) )
139138adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M
) )
140 eldifi 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
141140, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  NN0 )
142141adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
143 peano2nn0 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
14438, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
145144, 50syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
146 uzsplit 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0 ... ( ( M  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
14850, 147syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( ( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
149 pncan 9303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
15039, 79, 149sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
151150oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... M ) )
152151uneq1d 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( ( M  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
153148, 152eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
154153ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  NN0  =  ( ( 0 ... M
)  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
155142, 154eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  k  e.  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
156 elun 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... M
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
157155, 156sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... M
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
158157ord 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 0 ... M )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
159139, 158mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
160 ffun 5585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  Fun 
A )
16119, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Fun  A )
162 ssun2 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  C_  (
( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
163162, 148syl5sseqr 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  NN0 )
164 fdm 5587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  dom 
A  =  NN0 )
16519, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  A  =  NN0 )
166163, 165sseqtr4d 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  dom  A )
167 funfvima2 5966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
168161, 166, 167syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  -> 
( A `  k
)  e.  ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
169168ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )
170159, 169mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
171 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
172171ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
173170, 172eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  {
0 } )
174 elsni 3830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A `  k )  e.  { 0 }  ->  ( A `  k )  =  0 )
175173, 174syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  =  0 )
176175oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ k ) ) )
177141, 23sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
178177mul02d 9256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
k ) )  =  0 )
179176, 178eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  0 )
180179adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  0 )
181180oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) )
18233adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC )
183182mul02d 9256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
0  x.  ( ( B `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  0 )
184181, 183eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  0 )
185184sumeq2dv 12489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k
) ) 0 )
186 fzfid 11304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  e. 
Fin )
187186olcd 383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( (
0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  C_  ( ZZ>= `  0 )  \/  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  e.  Fin )
)
188 sumz 12508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  e. 
Fin )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) 0  =  0 )
189187, 188syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) 0  =  0 )
190185, 189eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  0 )
191 fzfid 11304 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin )
192133, 137, 190, 191fsumss 12511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) ) )
193118, 121, 1923eqtr3d 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k
) ) ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) ) )
194 fzfid 11304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
0 ... n )  e. 
Fin )
195 elfznn0 11075 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  n  e.  NN0 )
196195, 31sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
z ^ n )  e.  CC )
197 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  ph )
198 elfznn0 11075 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
19919ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
200197, 198, 199syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
201 fznn0sub 11077 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  k )  e.  NN0 )
20227ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  -  k )  e. 
NN0 )  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  e.  CC )
203197, 201, 202syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( B `  ( n  -  k
) )  e.  CC )
204200, 203mulcld 9100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
205194, 196, 204fsummulc1 12560 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^
n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) ) )
206 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  z  e.  CC )
207206, 198, 22syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
208 expcl 11391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  ( n  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( z ^ (
n  -  k ) )  e.  CC )
209206, 201, 208syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( z ^ ( n  -  k ) )  e.  CC )
210200, 207, 203, 209mul4d 9270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 ( n  -  k ) )  x.  ( z ^ (
n  -  k ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
( z ^ k
)  x.  ( z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
211206adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  z  e.  CC )
212201adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( n  -  k )  e. 
NN0 )
213198adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  k  e.  NN0 )
214211, 212, 213expaddd 11517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( z ^ ( k  +  ( n  -  k
) ) )  =  ( ( z ^
k )  x.  (
z ^ ( n  -  k ) ) ) )
215213nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  k  e.  CC )
216195ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  n  e.  NN0 )
217216nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  n  e.  CC )
218215, 217pncan3d 9406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( k  +  ( n  -  k ) )  =  n )
219218oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( z ^ ( k  +  ( n  -  k
) ) )  =  ( z ^ n
) )
220214, 219eqtr3d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( (
z ^ k )  x.  ( z ^
( n  -  k
) ) )  =  ( z ^ n
) )
221220oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  x.  ( ( z ^ k )  x.  ( z ^ (
n  -  k ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) ) )
222210, 221eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 ( n  -  k ) )  x.  ( z ^ (
n  -  k ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) ) )
223222sumeq2dv 12489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  ( n  -  k
) )  x.  (
z ^ ( n  -  k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) )
224205, 223eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^
n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  (
n  -  k ) )  x.  ( z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
225224sumeq2dv 12489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  (
n  -  k ) )  x.  ( z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
22637, 193, 2253eqtr4rd 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) )
227 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( B `  n )  =  ( B `  k ) )
228 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
z ^ n )  =  ( z ^
k ) )
229227, 228oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  =  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
230229cbvsumv 12482 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )
231230oveq2i 6084 . . . 4  |-  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
232226, 231syl6eq 2483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
233232mpteq2dva 4287 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
2349, 233eqtr4d 2470 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   "cima 4873   Fun wfun 5440   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   Fincfn 7101   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035   ^cexp 11374   sum_csu 12471  Polycply 20095
This theorem is referenced by:  plymullem  20127  coemullem  20160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472
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