Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyrem Unicode version

Theorem plyrem 19900
 Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 12929). If a polynomial is divided by the linear factor , the remainder is equal to , the evaluation of the polynomial at (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyrem.1
plyrem.2 quot
Assertion
Ref Expression
plyrem Poly

Proof of Theorem plyrem
StepHypRef Expression
1 plyssc 19797 . . . . . . . 8 Poly Poly
2 simpl 443 . . . . . . . 8 Poly Poly
31, 2sseldi 3264 . . . . . . 7 Poly Poly
4 plyrem.1 . . . . . . . . . 10
54plyremlem 19899 . . . . . . . . 9 Poly deg
65adantl 452 . . . . . . . 8 Poly Poly deg
76simp1d 968 . . . . . . 7 Poly Poly
86simp2d 969 . . . . . . . . 9 Poly deg
9 ax-1ne0 8953 . . . . . . . . . 10
109a1i 10 . . . . . . . . 9 Poly
118, 10eqnetrd 2547 . . . . . . . 8 Poly deg
12 fveq2 5632 . . . . . . . . . 10 deg deg
13 dgr0 19858 . . . . . . . . . 10 deg
1412, 13syl6eq 2414 . . . . . . . . 9 deg
1514necon3i 2568 . . . . . . . 8 deg
1611, 15syl 15 . . . . . . 7 Poly
17 plyrem.2 . . . . . . . 8 quot
1817quotdgr 19898 . . . . . . 7 Poly Poly deg deg
193, 7, 16, 18syl3anc 1183 . . . . . 6 Poly deg deg
20 0lt1 9443 . . . . . . . 8
2120, 8syl5breqr 4161 . . . . . . 7 Poly deg
22 fveq2 5632 . . . . . . . . 9 deg deg
2322, 13syl6eq 2414 . . . . . . . 8 deg
2423breq1d 4135 . . . . . . 7 deg deg deg
2521, 24syl5ibrcom 213 . . . . . 6 Poly deg deg
26 pm2.62 398 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
2719, 25, 26sylc 56 . . . . 5 Poly deg deg
2827, 8breqtrd 4149 . . . 4 Poly deg
29 quotcl2 19897 . . . . . . . . . 10 Poly Poly quot Poly
303, 7, 16, 29syl3anc 1183 . . . . . . . . 9 Poly quot Poly
31 plymulcl 19818 . . . . . . . . 9 Poly quot Poly quot Poly
327, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . 8 Poly quot Poly
33 plysubcl 19819 . . . . . . . 8 Poly quot Poly quot Poly
343, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . 7 Poly quot Poly
3517, 34syl5eqel 2450 . . . . . 6 Poly Poly
36 dgrcl 19830 . . . . . 6 Poly deg
3735, 36syl 15 . . . . 5 Poly deg
38 nn0lt10b 10229 . . . . 5 deg deg deg
3937, 38syl 15 . . . 4 Poly deg deg
4028, 39mpbid 201 . . 3 Poly deg
41 0dgrb 19843 . . . 4 Poly deg
4235, 41syl 15 . . 3 Poly deg
4340, 42mpbid 201 . 2 Poly
4443fveq1d 5634 . . . . 5 Poly
4517fveq1i 5633 . . . . . . 7 quot
46 plyf 19795 . . . . . . . . . . 11 Poly
4746adantr 451 . . . . . . . . . 10 Poly
48 ffn 5495 . . . . . . . . . 10
4947, 48syl 15 . . . . . . . . 9 Poly
50 plyf 19795 . . . . . . . . . . . 12 Poly
517, 50syl 15 . . . . . . . . . . 11 Poly
52 ffn 5495 . . . . . . . . . . 11
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . 10 Poly
54 plyf 19795 . . . . . . . . . . . 12 quot Poly quot
5530, 54syl 15 . . . . . . . . . . 11 Poly quot
56 ffn 5495 . . . . . . . . . . 11 quot quot
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . 10 Poly quot
58 cnex 8965 . . . . . . . . . . 11
5958a1i 10 . . . . . . . . . 10 Poly
60 inidm 3466 . . . . . . . . . 10
6153, 57, 59, 59, 60offn 6216 . . . . . . . . 9 Poly quot
62 eqidd 2367 . . . . . . . . 9 Poly
636simp3d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
64 ssun1 3426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 quot
6564a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly quot
6663, 65eqsstr3d 3299 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly quot
67 snssg 3847 . . . . . . . . . . . . . . 15 quot quot
6867adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly quot quot
6966, 68mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13 Poly quot
70 ofmulrt 19877 . . . . . . . . . . . . . 14 quot quot quot
7159, 51, 55, 70syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13 Poly quot quot
7269, 71eleqtrrd 2443 . . . . . . . . . . . 12 Poly quot
73 fniniseg 5753 . . . . . . . . . . . . 13 quot quot quot
7461, 73syl 15 . . . . . . . . . . . 12 Poly quot quot
7572, 74mpbid 201 . . . . . . . . . . 11 Poly quot
7675simprd 449 . . . . . . . . . 10 Poly quot
7776adantr 451 . . . . . . . . 9 Poly quot
7849, 61, 59, 59, 60, 62, 77ofval 6214 . . . . . . . 8 Poly quot
7978anabss3 796 . . . . . . 7 Poly quot
8045, 79syl5eq 2410 . . . . . 6 Poly
81 ffvelrn 5770 . . . . . . . 8
8246, 81sylan 457 . . . . . . 7 Poly
8382subid1d 9293 . . . . . 6 Poly
8480, 83eqtrd 2398 . . . . 5 Poly
85 fvex 5646 . . . . . . 7
8685fvconst2 5847 . . . . . 6
8786adantl 452 . . . . 5 Poly
8844, 84, 873eqtr3d 2406 . . . 4 Poly
8988sneqd 3742 . . 3 Poly
9089xpeq2d 4816 . 2 Poly
9143, 90eqtr4d 2401 1 Poly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 935   wceq 1647   wcel 1715   wne 2529  cvv 2873   cun 3236   wss 3238  csn 3729   class class class wbr 4125   cxp 4790  ccnv 4791  cima 4795   wfn 5353  wf 5354  cfv 5358  (class class class)co 5981   cof 6203  cc 8882  cc0 8884  c1 8885   cmul 8889   clt 9014   cmin 9184  cn0 10114  c0p 19239  Polycply 19781  cidp 19782  degcdgr 19784   quot cquot 19885 This theorem is referenced by:  facth  19901 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-0p 19240  df-ply 19785  df-idp 19786  df-coe 19787  df-dgr 19788  df-quot 19886
 Copyright terms: Public domain W3C validator