Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyremlem Structured version   Unicode version

Theorem plyremlem 20213
 Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
plyrem.1
Assertion
Ref Expression
plyremlem Poly deg

Proof of Theorem plyremlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyrem.1 . . 3
2 ssid 3359 . . . . 5
3 ax-1cn 9040 . . . . 5
4 plyid 20120 . . . . 5 Poly
52, 3, 4mp2an 654 . . . 4 Poly
6 plyconst 20117 . . . . 5 Poly
72, 6mpan 652 . . . 4 Poly
8 plysubcl 20133 . . . 4 Poly Poly Poly
95, 7, 8sylancr 645 . . 3 Poly
101, 9syl5eqel 2519 . 2 Poly
11 negcl 9298 . . . . . . . . 9
12 addcom 9244 . . . . . . . . 9
1311, 12sylan 458 . . . . . . . 8
14 negsub 9341 . . . . . . . . 9
1514ancoms 440 . . . . . . . 8
1613, 15eqtrd 2467 . . . . . . 7
1716mpteq2dva 4287 . . . . . 6
18 cnex 9063 . . . . . . . 8
1918a1i 11 . . . . . . 7
20 negex 9296 . . . . . . . 8
2120a1i 11 . . . . . . 7
22 simpr 448 . . . . . . 7
23 fconstmpt 4913 . . . . . . . 8
2423a1i 11 . . . . . . 7
25 df-idp 20100 . . . . . . . . 9
26 mptresid 5187 . . . . . . . . 9
2725, 26eqtr4i 2458 . . . . . . . 8
2827a1i 11 . . . . . . 7
2919, 21, 22, 24, 28offval2 6314 . . . . . 6
30 simpl 444 . . . . . . 7
31 fconstmpt 4913 . . . . . . . 8
3231a1i 11 . . . . . . 7
3319, 22, 30, 28, 32offval2 6314 . . . . . 6
3417, 29, 333eqtr4d 2477 . . . . 5
3534, 1syl6eqr 2485 . . . 4
3635fveq2d 5724 . . 3 deg deg
37 plyconst 20117 . . . . 5 Poly
382, 11, 37sylancr 645 . . . 4 Poly
395a1i 11 . . . 4 Poly
40 0dgr 20156 . . . . . 6 deg
4111, 40syl 16 . . . . 5 deg
42 0lt1 9542 . . . . 5
4341, 42syl6eqbr 4241 . . . 4 deg
44 eqid 2435 . . . . 5 deg deg
45 dgrid 20174 . . . . . 6 deg
4645eqcomi 2439 . . . . 5 deg
4744, 46dgradd2 20178 . . . 4 Poly Poly deg deg
4838, 39, 43, 47syl3anc 1184 . . 3 deg
4936, 48eqtr3d 2469 . 2 deg
501, 33syl5eq 2479 . . . . . . . . . . 11
5150fveq1d 5722 . . . . . . . . . 10
5251adantr 452 . . . . . . . . 9
53 ovex 6098 . . . . . . . . . 10
54 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
5554fvmpt2 5804 . . . . . . . . . 10
5622, 53, 55sylancl 644 . . . . . . . . 9
5752, 56eqtrd 2467 . . . . . . . 8
5857eqeq1d 2443 . . . . . . 7
59 subeq0 9319 . . . . . . . 8
6059ancoms 440 . . . . . . 7
6158, 60bitrd 245 . . . . . 6
6261pm5.32da 623 . . . . 5
63 plyf 20109 . . . . . . 7 Poly
64 ffn 5583 . . . . . . 7
6510, 63, 643syl 19 . . . . . 6
66 fniniseg 5843 . . . . . 6
6765, 66syl 16 . . . . 5
68 eleq1a 2504 . . . . . 6
6968pm4.71rd 617 . . . . 5
7062, 67, 693bitr4d 277 . . . 4
71 elsn 3821 . . . 4
7270, 71syl6bbr 255 . . 3
7372eqrdv 2433 . 2
7410, 49, 733jca 1134 1 Poly deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   wss 3312  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cid 4485   cxp 4868  ccnv 4869   cres 4872  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295  cc 8980  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   clt 9112   cmin 9283  cneg 9284  Polycply 20095  cidp 20096  degcdgr 20098 This theorem is referenced by:  plyrem  20214  facth  20215  fta1lem  20216  vieta1lem1  20219  vieta1lem2  20220  taylply2  20276  ftalem7  20853 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099  df-idp 20100  df-coe 20101  df-dgr 20102
 Copyright terms: Public domain W3C validator