MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyss Structured version   Unicode version

Theorem plyss 20118
Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyss  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  C_  (Poly `  T )
)

Proof of Theorem plyss
Dummy variables  k 
a  n  z  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  T  C_  CC )
2 cnex 9071 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
3 ssexg 4349 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
41, 2, 3sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  T  e.  _V )
5 snex 4405 . . . . . . 7  |-  { 0 }  e.  _V
6 unexg 4710 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  _V  /\  { 0 }  e.  _V )  ->  ( T  u.  { 0 } )  e. 
_V )
74, 5, 6sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( T  u.  {
0 } )  e. 
_V )
8 unss1 3516 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  T  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  ( T  u.  { 0 } ) )
98adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( S  u.  {
0 } )  C_  ( T  u.  { 0 } ) )
10 mapss 7056 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  ( S  u.  { 0 } ) 
C_  ( T  u.  { 0 } ) )  ->  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
117, 9, 10syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
12 ssrexv 3408 . . . . 5  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  ->  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1413reximdv 2817 . . 3  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1514ss2abdv 3416 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) }  C_  { f  |  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
16 sstr 3356 . . 3  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  S  C_  CC )
17 plyval 20112 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  (Poly `  S )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  =  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
19 plyval 20112 . . 3  |-  ( T 
C_  CC  ->  (Poly `  T )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
2019adantl 453 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  T )  =  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
2115, 18, 203sstr4d 3391 1  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  C_  (Poly `  T )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    u. cun 3318    C_ wss 3320   {csn 3814    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   CCcc 8988   0cc0 8990    x. cmul 8995   NN0cn0 10221   ...cfz 11043   ^cexp 11382   sum_csu 12479  Polycply 20103
This theorem is referenced by:  plyssc  20119  elqaa  20239  aacjcl  20244  aalioulem3  20251  itgoss  27345  cnsrplycl  27349
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-map 7020  df-nn 10001  df-n0 10222  df-ply 20107
  Copyright terms: Public domain W3C validator