MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyss Unicode version

Theorem plyss 19634
Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyss  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  C_  (Poly `  T )
)

Proof of Theorem plyss
Dummy variables  k 
a  n  z  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  T  C_  CC )
2 cnex 8863 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
3 ssexg 4197 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
41, 2, 3sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  T  e.  _V )
5 snex 4253 . . . . . . 7  |-  { 0 }  e.  _V
6 unexg 4558 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  _V  /\  { 0 }  e.  _V )  ->  ( T  u.  { 0 } )  e. 
_V )
74, 5, 6sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( T  u.  {
0 } )  e. 
_V )
8 unss1 3378 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  T  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  ( T  u.  { 0 } ) )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( S  u.  {
0 } )  C_  ( T  u.  { 0 } ) )
10 mapss 6853 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  ( S  u.  { 0 } ) 
C_  ( T  u.  { 0 } ) )  ->  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
117, 9, 10syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
12 ssrexv 3272 . . . . 5  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  ->  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1413reximdv 2688 . . 3  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1514ss2abdv 3280 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) }  C_  { f  |  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
16 sstr 3221 . . 3  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  S  C_  CC )
17 plyval 19628 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  (Poly `  S )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
1816, 17syl 15 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  =  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
19 plyval 19628 . . 3  |-  ( T 
C_  CC  ->  (Poly `  T )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
2019adantl 452 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  T )  =  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
2115, 18, 203sstr4d 3255 1  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  C_  (Poly `  T )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   {cab 2302   E.wrex 2578   _Vcvv 2822    u. cun 3184    C_ wss 3186   {csn 3674    e. cmpt 4114   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ^m cmap 6815   CCcc 8780   0cc0 8782    x. cmul 8787   NN0cn0 10012   ...cfz 10829   ^cexp 11151   sum_csu 12205  Polycply 19619
This theorem is referenced by:  plyssc  19635  elqaa  19755  aacjcl  19760  aalioulem3  19767  itgoss  26516  cnsrplycl  26520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-map 6817  df-nn 9792  df-n0 10013  df-ply 19623
  Copyright terms: Public domain W3C validator