MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyssc Unicode version

Theorem plyssc 19582
Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyssc  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )

Proof of Theorem plyssc
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 3483 . . 3  |-  (/)  C_  (Poly `  CC )
2 sseq1 3199 . . 3  |-  ( (Poly `  S )  =  (/)  ->  ( (Poly `  S
)  C_  (Poly `  CC ) 
<->  (/)  C_  (Poly `  CC ) ) )
31, 2mpbiri 224 . 2  |-  ( (Poly `  S )  =  (/)  ->  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
)
4 n0 3464 . . 3  |-  ( (Poly `  S )  =/=  (/)  <->  E. f 
f  e.  (Poly `  S ) )
5 plybss 19576 . . . . 5  |-  ( f  e.  (Poly `  S
)  ->  S  C_  CC )
6 ssid 3197 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
7 plyss 19581 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC ) )
85, 6, 7sylancl 643 . . . 4  |-  ( f  e.  (Poly `  S
)  ->  (Poly `  S
)  C_  (Poly `  CC ) )
98exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  (Poly `  S )  ->  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC ) )
104, 9sylbi 187 . 2  |-  ( (Poly `  S )  =/=  (/)  ->  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC ) )
113, 10pm2.61ine 2522 1  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ` cfv 5255   CCcc 8735  Polycply 19566
This theorem is referenced by:  plyaddcl  19602  plymulcl  19603  plysubcl  19604  coeval  19605  coeeu  19607  dgrval  19610  coef3  19614  coeidlem  19619  coemulc  19636  coesub  19638  dgrmulc  19652  dgrsub  19653  dgrcolem1  19654  dgrcolem2  19655  dgrco  19656  coecj  19659  dvply2  19666  dvnply  19668  quotval  19672  quotlem  19680  quotcl2  19682  quotdgr  19683  plyrem  19685  facth  19686  fta1  19688  quotcan  19689  vieta1lem1  19690  vieta1  19692  plyexmo  19693  ftalem7  20316  dgrsub2  27339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-map 6774  df-nn 9747  df-n0 9966  df-ply 19570
  Copyright terms: Public domain W3C validator