Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyun0 Structured version   Unicode version

Theorem plyun0 20109
 Description: The set of polynomials is unaffected by the addition of zero. (This is built into the definition because all higher powers of a polynomial are effectively zero, so we require that the coefficient field contain zero to simplify some of our closure theorems.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyun0 Poly Poly

Proof of Theorem plyun0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9077 . . . . . . 7
2 snssi 3935 . . . . . . 7
31, 2ax-mp 8 . . . . . 6
43biantru 492 . . . . 5
5 unss 3514 . . . . 5
64, 5bitr2i 242 . . . 4
7 unass 3497 . . . . . . . 8
8 unidm 3483 . . . . . . . . 9
98uneq2i 3491 . . . . . . . 8
107, 9eqtri 2456 . . . . . . 7
1110oveq1i 6084 . . . . . 6
1211rexeqi 2902 . . . . 5
1312rexbii 2723 . . . 4
146, 13anbi12i 679 . . 3
15 elply 20107 . . 3 Poly
16 elply 20107 . . 3 Poly
1714, 15, 163bitr4i 269 . 2 Poly Poly
1817eqriv 2433 1 Poly Poly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2699   cun 3311   wss 3313  csn 3807   cmpt 4259  cfv 5447  (class class class)co 6074   cmap 7011  cc 8981  cc0 8983   cmul 8988  cn0 10214  cfz 11036  cexp 11375  csu 12472  Polycply 20096 This theorem is referenced by:  elplyd  20114  ply1term  20116  ply0  20120  plyaddlem  20127  plymullem  20128  plyco  20153  plycj  20188 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-nn 9994  df-n0 10215  df-ply 20100
 Copyright terms: Public domain W3C validator