MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm110.643ALT Structured version   Unicode version

Theorem pm110.643ALT 8051
Description: Alternate proof of pm110.643 8050. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pm110.643ALT  |-  ( 1o 
+c  1o )  ~~  2o

Proof of Theorem pm110.643ALT
StepHypRef Expression
1 1on 6724 . . 3  |-  1o  e.  On
21onordi 4679 . . . 4  |-  Ord  1o
3 ordirr 4592 . . . 4  |-  ( Ord 
1o  ->  -.  1o  e.  1o )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  -.  1o  e.  1o
5 cda1en 8048 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  -.  1o  e.  1o )  ->  ( 1o  +c  1o )  ~~  suc  1o )
61, 4, 5mp2an 654 . 2  |-  ( 1o 
+c  1o )  ~~  suc  1o
7 df-2o 6718 . 2  |-  2o  =  suc  1o
86, 7breqtrri 4230 1  |-  ( 1o 
+c  1o )  ~~  2o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1725   class class class wbr 4205   Ord word 4573   Oncon0 4574   suc csuc 4576  (class class class)co 6074   1oc1o 6710   2oc2o 6711    ~~ cen 7099    +c ccda 8040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-suc 4580  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1o 6717  df-2o 6718  df-er 6898  df-en 7103  df-cda 8041
  Copyright terms: Public domain W3C validator