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Theorem pmapjat1 30042
Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapjat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pmapjat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pmapjat.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
pmapjat.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapjat1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( ( M `
 X )  .+  ( M `  Q ) ) )

Proof of Theorem pmapjat1
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  HL )
2 pmapjat.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 pmapjat.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29479 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
543ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  Q  e.  B )
6 pmapjat.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( pmap `  K
)
72, 3, 6pmapssat 29948 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  B )  ->  ( M `  Q
)  C_  A )
81, 5, 7syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  Q
)  C_  A )
9 pmapjat.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( + P `  K
)
103, 9padd02 30001 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( M `  Q ) 
C_  A )  -> 
( (/)  .+  ( M `  Q ) )  =  ( M `  Q
) )
111, 8, 10syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( (/)  .+  ( M `
 Q ) )  =  ( M `  Q ) )
1211adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (/)  .+  ( M `  Q )
)  =  ( M `
 Q ) )
13 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( M `  X )  =  ( M `  ( 0. `  K ) ) )
14 hlatl 29550 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
15143ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  AtLat )
16 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
1716, 6pmap0 29954 . . . . . 6  |-  ( K  e.  AtLat  ->  ( M `  ( 0. `  K
) )  =  (/) )
1815, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  ( 0. `  K ) )  =  (/) )
1913, 18sylan9eqr 2337 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  X )  =  (/) )
2019oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( M `
 X )  .+  ( M `  Q ) )  =  ( (/)  .+  ( M `  Q
) ) )
21 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( X  .\/  Q )  =  ( ( 0. `  K )  .\/  Q
) )
22 hlol 29551 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
23223ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  OL )
24 pmapjat.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
252, 24, 16olj02 29416 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Q  e.  B )  ->  ( ( 0. `  K )  .\/  Q
)  =  Q )
2623, 5, 25syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( 0. `  K )  .\/  Q
)  =  Q )
2721, 26sylan9eqr 2337 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( X  .\/  Q )  =  Q )
2827fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( M `
 Q ) )
2912, 20, 283eqtr4rd 2326 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( ( M `  X ) 
.+  ( M `  Q ) ) )
30 simpll1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  K  e.  HL )
3130adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  K  e.  HL )
32 simpll2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  X  e.  B )
3332adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  X  e.  B )
34 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  p  e.  A )
35 simpll3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  Q  e.  A )
3635adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  Q  e.  A )
3733, 34, 363jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  ( X  e.  B  /\  p  e.  A  /\  Q  e.  A )
)
38 simpllr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  X  =/=  ( 0. `  K
) )
39 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )
40 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
412, 40, 24, 16, 3cvrat42 29633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  p  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  =/=  ( 0. `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q ) )  ->  E. q  e.  A  ( q ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) ) ) )
4241imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  p  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( X  =/=  ( 0. `  K )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) ) )  ->  E. q  e.  A  ( q ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) ) )
4331, 37, 38, 39, 42syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  E. q  e.  A  ( q
( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) ( q  .\/  Q ) ) )
4443ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  (
p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q )  ->  E. q  e.  A  ( q ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) ) ) )
452, 40, 3, 6elpmap 29947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( q  e.  ( M `  X )  <-> 
( q  e.  A  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
46453adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( q  e.  ( M `  X )  <-> 
( q  e.  A  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
47 df-rex 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  ( M `
 Q ) p ( le `  K
) ( q  .\/  r )  <->  E. r
( r  e.  ( M `  Q )  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) )
483, 6elpmapat 29953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  ( r  e.  ( M `  Q )  <-> 
r  =  Q ) )
49483adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( r  e.  ( M `  Q )  <-> 
r  =  Q ) )
5049anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( r  e.  ( M `  Q
)  /\  p ( le `  K ) ( q  .\/  r ) )  <->  ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q  .\/  r
) ) ) )
5150exbidv 1612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. r ( r  e.  ( M `
 Q )  /\  p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  <->  E. r ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q  .\/  r
) ) ) )
5247, 51syl5rbb 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. r ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  <->  E. r  e.  ( M `  Q )
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) ) )
53 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  Q  ->  (
q  .\/  r )  =  ( q  .\/  Q ) )
5453breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  Q  ->  (
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r )  <->  p ( le `  K ) ( q  .\/  Q ) ) )
5554ceqsexgv 2900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  A  ->  ( E. r ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q  .\/  r
) )  <->  p ( le `  K ) ( q  .\/  Q ) ) )
56553ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. r ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  <-> 
p ( le `  K ) ( q 
.\/  Q ) ) )
5752, 56bitr3d 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r )  <-> 
p ( le `  K ) ( q 
.\/  Q ) ) )
5846, 57anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( q  e.  ( M `  X
)  /\  E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) )  <->  ( ( q  e.  A  /\  q
( le `  K
) X )  /\  p ( le `  K ) ( q 
.\/  Q ) ) ) )
59 anass 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  A  /\  q ( le `  K ) X )  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) )  <->  ( q  e.  A  /\  ( q ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) ( q  .\/  Q ) ) ) )
6058, 59syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( q  e.  ( M `  X
)  /\  E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) )  <->  ( q  e.  A  /\  ( q ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) ( q  .\/  Q ) ) ) ) )
6160rexbidv2 2566 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r )  <->  E. q  e.  A  ( q ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) ) ) )
6261ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  ( E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Q )
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r )  <->  E. q  e.  A  ( q
( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) ( q  .\/  Q ) ) ) )
6344, 62sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  (
p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q )  ->  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Q )
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) ) )
6463imdistanda 674 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( p  e.  A  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  (
p  e.  A  /\  E. q  e.  ( M `
 X ) E. r  e.  ( M `
 Q ) p ( le `  K
) ( q  .\/  r ) ) ) )
65 hllat 29553 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
66653ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
67 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  X  e.  B )
682, 24latjcl 14156 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( X  .\/  Q
)  e.  B )
6966, 67, 5, 68syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( X  .\/  Q
)  e.  B )
702, 40, 3, 6elpmap 29947 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( p  e.  ( M `  ( X 
.\/  Q ) )  <-> 
( p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q ) ) ) )
711, 69, 70syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( p  e.  ( M `  ( X 
.\/  Q ) )  <-> 
( p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q ) ) ) )
7271adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( p  e.  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  <-> 
( p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q ) ) ) )
732, 3, 6pmapssat 29948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  C_  A )
74733adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  X
)  C_  A )
7566, 74, 83jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( K  e.  Lat  /\  ( M `  X
)  C_  A  /\  ( M `  Q ) 
C_  A ) )
7675adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( K  e. 
Lat  /\  ( M `  X )  C_  A  /\  ( M `  Q
)  C_  A )
)
772, 16, 6pmapeq0 29955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  =  (/)  <->  X  =  ( 0. `  K ) ) )
78773adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  X )  =  (/)  <->  X  =  ( 0. `  K ) ) )
7978necon3bid 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  X )  =/=  (/)  <->  X  =/=  ( 0. `  K ) ) )
8079biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  X )  =/=  (/) )
81 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  Q  e.  A )
8216, 3atn0 29498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  Q  e.  A )  ->  Q  =/=  ( 0. `  K
) )
8315, 81, 82syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  Q  =/=  ( 0.
`  K ) )
842, 16, 6pmapeq0 29955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  B )  ->  ( ( M `  Q )  =  (/)  <->  Q  =  ( 0. `  K ) ) )
851, 5, 84syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  Q )  =  (/)  <->  Q  =  ( 0. `  K ) ) )
8685necon3bid 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  Q )  =/=  (/)  <->  Q  =/=  ( 0. `  K ) ) )
8783, 86mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  Q
)  =/=  (/) )
8887adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  Q )  =/=  (/) )
8940, 24, 3, 9elpaddn0 29989 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( M `  X
)  C_  A  /\  ( M `  Q ) 
C_  A )  /\  ( ( M `  X )  =/=  (/)  /\  ( M `  Q )  =/=  (/) ) )  -> 
( p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Q ) )  <->  ( p  e.  A  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) )
9076, 80, 88, 89syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Q )
)  <->  ( p  e.  A  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) )
9164, 72, 903imtr4d 259 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( p  e.  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  ->  p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Q ) ) ) )
9291ssrdv 3185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  C_  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Q
) ) )
932, 24, 6, 9pmapjoin 30041 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Q )
)  C_  ( M `  ( X  .\/  Q
) ) )
9466, 67, 5, 93syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Q )
)  C_  ( M `  ( X  .\/  Q
) ) )
9594adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( M `
 X )  .+  ( M `  Q ) )  C_  ( M `  ( X  .\/  Q
) ) )
9692, 95eqssd 3196 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( ( M `  X ) 
.+  ( M `  Q ) ) )
9729, 96pm2.61dane 2524 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( ( M `
 X )  .+  ( M `  Q ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   0.cp0 14143   Latclat 14151   OLcol 29364   Atomscatm 29453   AtLatcal 29454   HLchlt 29540   pmapcpmap 29686   + Pcpadd 29984
This theorem is referenced by:  pmapjat2  30043  pmapjlln1  30044  atmod1i2  30048  paddatclN  30138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-pmap 29693  df-padd 29985
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