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Theorem pmaple 29950
Description: The projective map of a Hilbert lattice preserves ordering. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmaple.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmaple.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pmaple.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmaple  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( M `  X )  C_  ( M `  Y )
) )

Proof of Theorem pmaple
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlpos 29555 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
2 pmaple.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
42, 3atbase 29479 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
5 pmaple.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .<_  =  ( le `  K )
62, 5postr 14087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
76exp4b 590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
873expd 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( p  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( p  .<_  X  ->  ( X  .<_  Y  ->  p 
.<_  Y ) ) ) ) ) )
98com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( p  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( p  .<_  X  ->  ( X  .<_  Y  ->  p 
.<_  Y ) ) ) ) ) )
109com34 77 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  (
p  e.  B  -> 
( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) ) ) )
11103imp 1145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
p  e.  B  -> 
( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
124, 11syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  ->  (
p  .<_  X  ->  ( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
1312com34 77 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( X  .<_  Y  ->  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
1413com23 72 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  ->  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
1514ralrimdv 2632 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K )
( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
161, 15syl3an1 1215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) ( p  .<_  X  ->  p 
.<_  Y ) ) )
17 ss2rab 3249 . . . 4  |-  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  <->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) ( p 
.<_  X  ->  p  .<_  Y ) )
1816, 17syl6ibr 218 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
) )
19 hlclat 29548 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
20 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  C_  ( Atoms `  K )
212, 3atssbase 29480 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  C_  B
2220, 21sstri 3188 . . . . . . . 8  |-  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  C_  B
23 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
242, 5, 23lubss 14225 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y }  C_  B  /\  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  ->  ( ( lub `  K ) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) )
2522, 24mp3an2 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  ->  ( ( lub `  K ) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) )
2625ex 423 . . . . . 6  |-  ( K  e.  CLat  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) ) )
2719, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) ) )
28273ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) ) )
29 hlomcmat 29554 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
) )
30293ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat ) )
31 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
322, 5, 23, 3atlatmstc 29509 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  =  X )
3330, 31, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  =  X )
34 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
352, 5, 23, 3atlatmstc 29509 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  =  Y )
3630, 34, 35syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  =  Y )
3733, 36breq12d 4036 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  <->  X  .<_  Y ) )
3828, 37sylibd 205 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  X  .<_  Y )
)
3918, 38impbid 183 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
) )
40 pmaple.m . . . . 5  |-  M  =  ( pmap `  K
)
412, 5, 3, 40pmapval 29946 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)
42413adant3 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  X
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)
432, 5, 3, 40pmapval 29946 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)
44433adant2 974 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)
4542, 44sseq12d 3207 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
) )
4639, 45bitr4d 247 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( M `  X )  C_  ( M `  Y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   lubclub 14076   CLatccla 14213   OMLcoml 29365   Atomscatm 29453   AtLatcal 29454   HLchlt 29540   pmapcpmap 29686
This theorem is referenced by:  pmap11  29951  hlmod1i  30045  paddunN  30116  pmapojoinN  30157  pl42N  30172
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-pmap 29693
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