Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmltpc Structured version   Unicode version

Theorem pmltpc 19352
 Description: Any function on the reals is either increasing, decreasing, or has a triple of points in a vee formation. (This theorem was created on demand by Mario Carneiro for the 6PCM conference in Bialystok, 1-Jul-2014.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
pmltpc
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,

Proof of Theorem pmltpc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexanali 2753 . . . . . . . 8
21rexbii 2732 . . . . . . 7
3 rexnal 2718 . . . . . . 7
42, 3bitri 242 . . . . . 6
5 rexanali 2753 . . . . . . . 8
65rexbii 2732 . . . . . . 7
7 rexnal 2718 . . . . . . . 8
8 breq1 4218 . . . . . . . . . 10
9 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11
109breq2d 4227 . . . . . . . . . 10
118, 10imbi12d 313 . . . . . . . . 9
12 breq2 4219 . . . . . . . . . 10
13 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11
1413breq1d 4225 . . . . . . . . . 10
1512, 14imbi12d 313 . . . . . . . . 9
1611, 15cbvral2v 2942 . . . . . . . 8
177, 16xchbinx 303 . . . . . . 7
186, 17bitri 242 . . . . . 6
194, 18anbi12i 680 . . . . 5
20 reeanv 2877 . . . . 5
21 ioran 478 . . . . 5
2219, 20, 213bitr4i 270 . . . 4
23 reeanv 2877 . . . . . 6
24 simplll 736 . . . . . . . . . 10
2524simpld 447 . . . . . . . . 9
2624simprd 451 . . . . . . . . 9
27 simpllr 737 . . . . . . . . . 10
2827simpld 447 . . . . . . . . 9
29 simplrl 738 . . . . . . . . 9
3027simprd 451 . . . . . . . . 9
31 simplrr 739 . . . . . . . . 9
32 simprll 740 . . . . . . . . 9
33 simprrl 742 . . . . . . . . 9
34 simprlr 741 . . . . . . . . 9
35 simprrr 743 . . . . . . . . 9
3625, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35pmltpclem2 19351 . . . . . . . 8
3736ex 425 . . . . . . 7
3837rexlimdvva 2839 . . . . . 6
3923, 38syl5bir 211 . . . . 5
4039rexlimdvva 2839 . . . 4
4122, 40syl5bir 211 . . 3
4241orrd 369 . 2
43 df-3or 938 . 2
4442, 43sylibr 205 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 359   wa 360   w3o 936   w3a 937   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   wss 3322   class class class wbr 4215   cdm 4881  cfv 5457  (class class class)co 6084   cpm 7022  cr 8994   clt 9125   cle 9126 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131
 Copyright terms: Public domain W3C validator