MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmltpc Unicode version

Theorem pmltpc 19304
Description: Any function on the reals is either increasing, decreasing, or has a triple of points in a vee formation. (This theorem was created on demand by Mario Carneiro for the 6PCM conference in Bialystok, 1-Jul-2014.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
pmltpc  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
)  \/  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, x, y, A    F, a, b, c, x, y

Proof of Theorem pmltpc
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexanali 2716 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  -.  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
21rexbii 2695 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  A  -.  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
3 rexnal 2681 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  -.  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
42, 3bitri 241 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
5 rexanali 2716 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  A  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) )  <->  -.  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z )
) )
65rexbii 2695 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) )  <->  E. z  e.  A  -.  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z )
) )
7 rexnal 2681 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  A  -.  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z ) )  <->  -.  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z )
) )
8 breq1 4179 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
z  <_  w  <->  x  <_  w ) )
9 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
109breq2d 4188 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  w
)  <_  ( F `  z )  <->  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
118, 10imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  <_  w  ->  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) )  <->  ( x  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) ) )
12 breq2 4180 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
x  <_  w  <->  x  <_  y ) )
13 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( F `  w )  =  ( F `  y ) )
1413breq1d 4186 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
( F `  w
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
1512, 14imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  <_  w  ->  ( F `  w
)  <_  ( F `  x ) )  <->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) ) )
1611, 15cbvral2v 2904 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
177, 16xchbinx 302 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  A  -.  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z ) )  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
186, 17bitri 241 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) )  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
194, 18anbi12i 679 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  <-> 
( -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) ) )
20 reeanv 2839 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  A  ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  /\  E. w  e.  A  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  <-> 
( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )
21 ioran 477 . . . . 5  |-  ( -.  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )  <->  ( -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  /\  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) ) )
2219, 20, 213bitr4i 269 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  A  ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  /\  E. w  e.  A  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  <->  -.  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) ) )
23 reeanv 2839 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  E. w  e.  A  (
( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  /\  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w )  <_  ( F `  z
) ) )  <->  ( E. y  e.  A  (
x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  /\  E. w  e.  A  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )
24 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F ) )
2524simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  F  e.  ( RR  ^pm  RR ) )
2624simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  A  C_  dom  F )
27 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  z  e.  A ) )
2827simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  x  e.  A )
29 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  y  e.  A )
3027simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  z  e.  A )
31 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  w  e.  A )
32 simprll 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  x  <_  y )
33 simprrl 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  z  <_  w )
34 simprlr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )
35 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  -.  ( F `  w )  <_  ( F `  z
) )
3625, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35pmltpclem2 19303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
3736ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
3837rexlimdvva 2801 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F
)  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  A  E. w  e.  A  ( ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  /\  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w )  <_  ( F `  z )
) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
3923, 38syl5bir 210 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F
)  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
4039rexlimdvva 2801 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( E. x  e.  A  E. z  e.  A  ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
4122, 40syl5bir 210 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( -.  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  \/ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
4241orrd 368 . 2  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )  \/  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  (
a  <  b  /\  b  <  c  /\  (
( ( F `  a )  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c
)  <  ( F `  b ) )  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b
)  <  ( F `  c ) ) ) ) ) )
43 df-3or 937 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  \/ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  x ) )  \/ 
E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )  <->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  \/ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) )  \/  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  < 
b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `  a )  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
4442, 43sylibr 204 1  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
)  \/  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284   class class class wbr 4176   dom cdm 4841   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    ^pm cpm 6982   RRcr 8949    < clt 9080    <_ cle 9081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-er 6868  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086
  Copyright terms: Public domain W3C validator