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Theorem pmltpc 18914
Description: Any function on the reals is either increasing, decreasing, or has a triple of points in a vee formation. (This theorem was created on demand by Mario Carneiro for the 6PCM conference in Bialystok, 1-Jul-2014.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
pmltpc  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
)  \/  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, x, y, A    F, a, b, c, x, y

Proof of Theorem pmltpc
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexanali 2665 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  -.  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
21rexbii 2644 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  A  -.  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
3 rexnal 2630 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  -.  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
42, 3bitri 240 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
5 rexanali 2665 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  A  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) )  <->  -.  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z )
) )
65rexbii 2644 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) )  <->  E. z  e.  A  -.  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z )
) )
7 rexnal 2630 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  A  -.  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z ) )  <->  -.  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z )
) )
8 breq1 4107 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
z  <_  w  <->  x  <_  w ) )
9 fveq2 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
109breq2d 4116 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  w
)  <_  ( F `  z )  <->  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
118, 10imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  <_  w  ->  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) )  <->  ( x  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) ) )
12 breq2 4108 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
x  <_  w  <->  x  <_  y ) )
13 fveq2 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( F `  w )  =  ( F `  y ) )
1413breq1d 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
( F `  w
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
1512, 14imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  <_  w  ->  ( F `  w
)  <_  ( F `  x ) )  <->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) ) )
1611, 15cbvral2v 2848 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
177, 16xchbinx 301 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  A  -.  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z ) )  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
186, 17bitri 240 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) )  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
194, 18anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  <-> 
( -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) ) )
20 reeanv 2783 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  A  ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  /\  E. w  e.  A  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  <-> 
( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )
21 ioran 476 . . . . 5  |-  ( -.  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )  <->  ( -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  /\  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) ) )
2219, 20, 213bitr4i 268 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  A  ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  /\  E. w  e.  A  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  <->  -.  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) ) )
23 reeanv 2783 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  E. w  e.  A  (
( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  /\  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w )  <_  ( F `  z
) ) )  <->  ( E. y  e.  A  (
x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  /\  E. w  e.  A  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )
24 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F ) )
2524simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  F  e.  ( RR  ^pm  RR ) )
2624simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  A  C_  dom  F )
27 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  z  e.  A ) )
2827simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  x  e.  A )
29 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  y  e.  A )
3027simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  z  e.  A )
31 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  w  e.  A )
32 simprll 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  x  <_  y )
33 simprrl 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  z  <_  w )
34 simprlr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )
35 simprrr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  -.  ( F `  w )  <_  ( F `  z
) )
3625, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35pmltpclem2 18913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
3736ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
3837rexlimdvva 2750 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F
)  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  A  E. w  e.  A  ( ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  /\  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w )  <_  ( F `  z )
) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
3923, 38syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F
)  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
4039rexlimdvva 2750 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( E. x  e.  A  E. z  e.  A  ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
4122, 40syl5bir 209 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( -.  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  \/ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
4241orrd 367 . 2  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )  \/  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  (
a  <  b  /\  b  <  c  /\  (
( ( F `  a )  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c
)  <  ( F `  b ) )  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b
)  <  ( F `  c ) ) ) ) ) )
43 df-3or 935 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  \/ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  x ) )  \/ 
E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )  <->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  \/ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) )  \/  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  < 
b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `  a )  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
4442, 43sylibr 203 1  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
)  \/  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   dom cdm 4771   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    ^pm cpm 6861   RRcr 8826    < clt 8957    <_ cle 8958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-er 6747  df-pm 6863  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963
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