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Theorem pmltpclem2 19338
Description: Lemma for pmltpc 19339. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pmltpc.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( RR 
^pm  RR ) )
pmltpc.2  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
pmltpc.3  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
pmltpc.4  |-  ( ph  ->  V  e.  A )
pmltpc.5  |-  ( ph  ->  W  e.  A )
pmltpc.6  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
pmltpc.7  |-  ( ph  ->  U  <_  V )
pmltpc.8  |-  ( ph  ->  W  <_  X )
pmltpc.9  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <_  ( F `  V )
)
pmltpc.10  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  X )  <_  ( F `  W )
)
Assertion
Ref Expression
pmltpclem2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, A    F, a,
b, c    V, b,
c    U, a, b, c    W, a, b, c    X, b, c
Allowed substitution hints:    ph( a, b, c)    V( a)    X( a)

Proof of Theorem pmltpclem2
StepHypRef Expression
1 pmltpc.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  A )
21ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  W  e.  A )
3 pmltpc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
43ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  U  e.  A )
5 pmltpc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  A )
65ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  V  e.  A )
7 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  W  <  U )
8 pmltpc.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( RR 
^pm  RR ) )
9 reex 9073 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
109, 9elpm2 7037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  <->  ( F : dom  F --> RR  /\  dom  F 
C_  RR ) )
118, 10sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> RR  /\  dom  F  C_  RR ) )
1211simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> RR )
13 pmltpc.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
1413, 5sseldd 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  e.  dom  F
)
1512, 14ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  V
)  e.  RR )
16 pmltpc.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <_  ( F `  V )
)
1713, 3sseldd 3341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  F
)
1812, 17ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
1915, 18ltnled 9212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  V )  <  ( F `  U )  <->  -.  ( F `  U
)  <_  ( F `  V ) ) )
2016, 19mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  V
)  <  ( F `  U ) )
2115, 20gtned 9200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  =/=  ( F `
 V ) )
22 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  U  ->  ( F `  V )  =  ( F `  U ) )
2322eqcomd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  U  ->  ( F `  U )  =  ( F `  V ) )
2423necon3i 2637 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  U )  =/=  ( F `  V )  ->  V  =/=  U )
2521, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =/=  U )
2611simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
2726, 17sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
2826, 14sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  RR )
29 pmltpc.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  <_  V )
3027, 28, 29leltned 9216 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  <  V  <->  V  =/=  U ) )
3125, 30mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <  V )
3231ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  U  <  V )
33 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )
3420ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  ( F `  V )  <  ( F `  U
) )
3533, 34jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  (
( F `  W
)  <  ( F `  U )  /\  ( F `  V )  <  ( F `  U
) ) )
3635orcd 382 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  (
( ( F `  W )  <  ( F `  U )  /\  ( F `  V
)  <  ( F `  U ) )  \/  ( ( F `  U )  <  ( F `  W )  /\  ( F `  U
)  <  ( F `  V ) ) ) )
372, 4, 6, 7, 32, 36pmltpclem1 19337 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
383ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  U  e.  A )
391ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  W  e.  A )
40 pmltpc.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
4140ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  X  e.  A )
4213, 1sseldd 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  dom  F
)
4312, 42ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  RR )
4443ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( F `  W )  e.  RR )
45 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )
4644, 45gtned 9200 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( F `  U )  =/=  ( F `  W
) )
47 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  U  ->  ( F `  W )  =  ( F `  U ) )
4847eqcomd 2440 . . . . . . 7  |-  ( W  =  U  ->  ( F `  U )  =  ( F `  W ) )
4948necon3i 2637 . . . . . 6  |-  ( ( F `  U )  =/=  ( F `  W )  ->  W  =/=  U )
5046, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  W  =/=  U )
5127ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  U  e.  RR )
5226, 42sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
5352ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  W  e.  RR )
54 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  U  <_  W )
5551, 53, 54leltned 9216 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( U  <  W  <->  W  =/=  U ) )
5650, 55mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  U  <  W )
57 pmltpc.10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  X )  <_  ( F `  W )
)
5813, 40sseldd 3341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  F
)
5912, 58ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
6043, 59ltnled 9212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  W )  <  ( F `  X )  <->  -.  ( F `  X
)  <_  ( F `  W ) ) )
6157, 60mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  <  ( F `  X ) )
6243, 61gtned 9200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =/=  ( F `
 W ) )
63 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  W  ->  ( F `  X )  =  ( F `  W ) )
6463necon3i 2637 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  W )  ->  X  =/=  W )
6562, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  W )
6626, 58sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
67 pmltpc.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  <_  X )
6852, 66, 67leltned 9216 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  <  X  <->  X  =/=  W ) )
6965, 68mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  <  X )
7069ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  W  <  X )
7161ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( F `  W )  <  ( F `  X
) )
7245, 71jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  (
( F `  W
)  <  ( F `  U )  /\  ( F `  W )  <  ( F `  X
) ) )
7372olcd 383 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  (
( ( F `  U )  <  ( F `  W )  /\  ( F `  X
)  <  ( F `  W ) )  \/  ( ( F `  W )  <  ( F `  U )  /\  ( F `  W
)  <  ( F `  X ) ) ) )
7438, 39, 41, 56, 70, 73pmltpclem1 19337 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
7552adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U )
)  ->  W  e.  RR )
7627adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U )
)  ->  U  e.  RR )
7737, 74, 75, 76ltlecasei 9173 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U )
)  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
783ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  U  e.  A )
795ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  V  e.  A )
8040ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  X  e.  A )
8131ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  U  <  V )
82 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  V  <  X )
8320ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  ( F `  V )  <  ( F `  U
) )
8415adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  V )  e.  RR )
8518adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  U )  e.  RR )
8659adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  X )  e.  RR )
8720adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  V )  <  ( F `  U )
)
8843adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  W )  e.  RR )
89 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)
9061adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  W )  <  ( F `  X )
)
9185, 88, 86, 89, 90lelttrd 9220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  U )  <  ( F `  X )
)
9284, 85, 86, 87, 91lttrd 9223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  V )  <  ( F `  X )
)
9392adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  ( F `  V )  <  ( F `  X
) )
9483, 93jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  (
( F `  V
)  <  ( F `  U )  /\  ( F `  V )  <  ( F `  X
) ) )
9594olcd 383 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  (
( ( F `  U )  <  ( F `  V )  /\  ( F `  X
)  <  ( F `  V ) )  \/  ( ( F `  V )  <  ( F `  U )  /\  ( F `  V
)  <  ( F `  X ) ) ) )
9678, 79, 80, 81, 82, 95pmltpclem1 19337 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
971ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  W  e.  A )
9840ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  X  e.  A )
995ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  V  e.  A )
10069ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  W  <  X )
10115ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( F `  V )  e.  RR )
10292adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( F `  V )  <  ( F `  X
) )
103101, 102gtned 9200 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( F `  X )  =/=  ( F `  V
) )
104 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  X  ->  ( F `  V )  =  ( F `  X ) )
105104eqcomd 2440 . . . . . . 7  |-  ( V  =  X  ->  ( F `  X )  =  ( F `  V ) )
106105necon3i 2637 . . . . . 6  |-  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  V )  ->  V  =/=  X )
107103, 106syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  V  =/=  X )
10866ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  X  e.  RR )
10928ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  V  e.  RR )
110 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  X  <_  V )
111108, 109, 110leltned 9216 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( X  <  V  <->  V  =/=  X ) )
112107, 111mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  X  <  V )
11361ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( F `  W )  <  ( F `  X
) )
114113, 102jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  (
( F `  W
)  <  ( F `  X )  /\  ( F `  V )  <  ( F `  X
) ) )
115114orcd 382 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  (
( ( F `  W )  <  ( F `  X )  /\  ( F `  V
)  <  ( F `  X ) )  \/  ( ( F `  X )  <  ( F `  W )  /\  ( F `  X
)  <  ( F `  V ) ) ) )
11697, 98, 99, 100, 112, 115pmltpclem1 19337 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
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) ) ) ) )
11728adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
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11866adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  X  e.  RR )
11996, 116, 117, 118ltlecasei 9173 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
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) )  \/  (
( F `  b
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) ) ) ) )
12077, 119, 43, 18ltlecasei 9173 1  |-  ( ph  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
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)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   dom cdm 4870   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^pm cpm 7011   RRcr 8981    < clt 9112    <_ cle 9113
This theorem is referenced by:  pmltpc  19339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118
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