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Theorem pmltpclem2 18809
Description: Lemma for pmltpc 18810. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pmltpc.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( RR 
^pm  RR ) )
pmltpc.2  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
pmltpc.3  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
pmltpc.4  |-  ( ph  ->  V  e.  A )
pmltpc.5  |-  ( ph  ->  W  e.  A )
pmltpc.6  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
pmltpc.7  |-  ( ph  ->  U  <_  V )
pmltpc.8  |-  ( ph  ->  W  <_  X )
pmltpc.9  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <_  ( F `  V )
)
pmltpc.10  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  X )  <_  ( F `  W )
)
Assertion
Ref Expression
pmltpclem2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, A    F, a,
b, c    V, b,
c    U, a, b, c    W, a, b, c    X, b, c
Allowed substitution hints:    ph( a, b, c)    V( a)    X( a)

Proof of Theorem pmltpclem2
StepHypRef Expression
1 pmltpc.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  A )
21ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  W  e.  A )
3 pmltpc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
43ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  U  e.  A )
5 pmltpc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  A )
65ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  V  e.  A )
7 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  W  <  U )
8 pmltpc.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( RR 
^pm  RR ) )
9 reex 8828 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
109, 9elpm2 6799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  <->  ( F : dom  F --> RR  /\  dom  F 
C_  RR ) )
118, 10sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> RR  /\  dom  F  C_  RR ) )
1211simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> RR )
13 pmltpc.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
1413, 5sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  e.  dom  F
)
15 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : dom  F --> RR  /\  V  e.  dom  F )  ->  ( F `  V )  e.  RR )
1612, 14, 15syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  V
)  e.  RR )
17 pmltpc.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <_  ( F `  V )
)
1813, 3sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  F
)
19 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : dom  F --> RR  /\  U  e.  dom  F )  ->  ( F `  U )  e.  RR )
2012, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
2116, 20ltnled 8966 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  V )  <  ( F `  U )  <->  -.  ( F `  U
)  <_  ( F `  V ) ) )
2217, 21mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  V
)  <  ( F `  U ) )
2316, 22gtned 8954 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  =/=  ( F `
 V ) )
24 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  U  ->  ( F `  V )  =  ( F `  U ) )
2524eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  U  ->  ( F `  U )  =  ( F `  V ) )
2625necon3i 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  U )  =/=  ( F `  V )  ->  V  =/=  U )
2723, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =/=  U )
2811simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
2928, 18sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
3028, 14sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  RR )
31 pmltpc.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  <_  V )
3229, 30, 31leltned 8970 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  <  V  <->  V  =/=  U ) )
3327, 32mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <  V )
3433ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  U  <  V )
35 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )
3622ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  ( F `  V )  <  ( F `  U
) )
3735, 36jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  (
( F `  W
)  <  ( F `  U )  /\  ( F `  V )  <  ( F `  U
) ) )
3837orcd 381 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  (
( ( F `  W )  <  ( F `  U )  /\  ( F `  V
)  <  ( F `  U ) )  \/  ( ( F `  U )  <  ( F `  W )  /\  ( F `  U
)  <  ( F `  V ) ) ) )
392, 4, 6, 7, 34, 38pmltpclem1 18808 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
403ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  U  e.  A )
411ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  W  e.  A )
42 pmltpc.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
4342ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  X  e.  A )
4413, 1sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  dom  F
)
45 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : dom  F --> RR  /\  W  e.  dom  F )  ->  ( F `  W )  e.  RR )
4612, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  RR )
4746ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( F `  W )  e.  RR )
48 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )
4947, 48gtned 8954 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( F `  U )  =/=  ( F `  W
) )
50 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  U  ->  ( F `  W )  =  ( F `  U ) )
5150eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( W  =  U  ->  ( F `  U )  =  ( F `  W ) )
5251necon3i 2485 . . . . . 6  |-  ( ( F `  U )  =/=  ( F `  W )  ->  W  =/=  U )
5349, 52syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  W  =/=  U )
5429ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  U  e.  RR )
5528, 44sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
5655ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  W  e.  RR )
57 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  U  <_  W )
5854, 56, 57leltned 8970 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( U  <  W  <->  W  =/=  U ) )
5953, 58mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  U  <  W )
60 pmltpc.10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  X )  <_  ( F `  W )
)
6113, 42sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  F
)
62 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : dom  F --> RR  /\  X  e.  dom  F )  ->  ( F `  X )  e.  RR )
6312, 61, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
6446, 63ltnled 8966 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  W )  <  ( F `  X )  <->  -.  ( F `  X
)  <_  ( F `  W ) ) )
6560, 64mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  <  ( F `  X ) )
6646, 65gtned 8954 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =/=  ( F `
 W ) )
67 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  W  ->  ( F `  X )  =  ( F `  W ) )
6867necon3i 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  W )  ->  X  =/=  W )
6966, 68syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  W )
7028, 61sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
71 pmltpc.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  <_  X )
7255, 70, 71leltned 8970 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  <  X  <->  X  =/=  W ) )
7369, 72mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  <  X )
7473ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  W  <  X )
7565ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( F `  W )  <  ( F `  X
) )
7648, 75jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  (
( F `  W
)  <  ( F `  U )  /\  ( F `  W )  <  ( F `  X
) ) )
7776olcd 382 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  (
( ( F `  U )  <  ( F `  W )  /\  ( F `  X
)  <  ( F `  W ) )  \/  ( ( F `  W )  <  ( F `  U )  /\  ( F `  W
)  <  ( F `  X ) ) ) )
7840, 41, 43, 59, 74, 77pmltpclem1 18808 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
7955adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U )
)  ->  W  e.  RR )
8029adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U )
)  ->  U  e.  RR )
8139, 78, 79, 80ltlecasei 8928 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U )
)  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
823ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  U  e.  A )
835ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  V  e.  A )
8442ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  X  e.  A )
8533ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  U  <  V )
86 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  V  <  X )
8722ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  ( F `  V )  <  ( F `  U
) )
8816adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  V )  e.  RR )
8920adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  U )  e.  RR )
9063adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  X )  e.  RR )
9122adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  V )  <  ( F `  U )
)
9246adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  W )  e.  RR )
93 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)
9465adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  W )  <  ( F `  X )
)
9589, 92, 90, 93, 94lelttrd 8974 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  U )  <  ( F `  X )
)
9688, 89, 90, 91, 95lttrd 8977 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  V )  <  ( F `  X )
)
9796adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  ( F `  V )  <  ( F `  X
) )
9887, 97jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  (
( F `  V
)  <  ( F `  U )  /\  ( F `  V )  <  ( F `  X
) ) )
9998olcd 382 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  (
( ( F `  U )  <  ( F `  V )  /\  ( F `  X
)  <  ( F `  V ) )  \/  ( ( F `  V )  <  ( F `  U )  /\  ( F `  V
)  <  ( F `  X ) ) ) )
10082, 83, 84, 85, 86, 99pmltpclem1 18808 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
1011ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  W  e.  A )
10242ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  X  e.  A )
1035ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  V  e.  A )
10473ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  W  <  X )
10516ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( F `  V )  e.  RR )
10696adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( F `  V )  <  ( F `  X
) )
107105, 106gtned 8954 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( F `  X )  =/=  ( F `  V
) )
108 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  X  ->  ( F `  V )  =  ( F `  X ) )
109108eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( V  =  X  ->  ( F `  X )  =  ( F `  V ) )
110109necon3i 2485 . . . . . 6  |-  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  V )  ->  V  =/=  X )
111107, 110syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  V  =/=  X )
11270ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  X  e.  RR )
11330ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  V  e.  RR )
114 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  X  <_  V )
115112, 113, 114leltned 8970 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( X  <  V  <->  V  =/=  X ) )
116111, 115mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  X  <  V )
11765ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( F `  W )  <  ( F `  X
) )
118117, 106jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  (
( F `  W
)  <  ( F `  X )  /\  ( F `  V )  <  ( F `  X
) ) )
119118orcd 381 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  (
( ( F `  W )  <  ( F `  X )  /\  ( F `  V
)  <  ( F `  X ) )  \/  ( ( F `  X )  <  ( F `  W )  /\  ( F `  X
)  <  ( F `  V ) ) ) )
120101, 102, 103, 104, 116, 119pmltpclem1 18808 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
12130adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  V  e.  RR )
12270adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  X  e.  RR )
123100, 120, 121, 122ltlecasei 8928 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
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) )  \/  (
( F `  b
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) ) ) ) )
12481, 123, 46, 20ltlecasei 8928 1  |-  ( ph  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  pmltpc  18810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
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