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Theorem pmodl42N 30040
Description: Lemma derived from modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodl42.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pmodl42.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmodl42N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )

Proof of Theorem pmodl42N
StepHypRef Expression
1 incom 3361 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W ) )  =  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
2 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  K  e.  HL )
3 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Y  e.  S )
4 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
5 pmodl42.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
64, 5psubssat 29943 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K ) )
72, 3, 6syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K )
)
8 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  e.  S )
94, 5psubssat 29943 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S )  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
102, 8, 9syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  C_  ( Atoms `  K )
)
11 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Z  e.  S )
124, 5psubssat 29943 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Z  e.  S )  ->  Z  C_  ( Atoms `  K ) )
132, 11, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Z  C_  ( Atoms `  K )
)
14 pmodl42.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( + P `  K
)
154, 14paddssat 30003 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K ) )
162, 10, 13, 15syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K )
)
17 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  W  e.  S )
185, 14paddclN 30031 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S  /\  W  e.  S )  ->  ( Y  .+  W
)  e.  S )
192, 3, 17, 18syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  W )  e.  S )
204, 5psubssat 29943 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  S )  ->  W  C_  ( Atoms `  K ) )
212, 17, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  W  C_  ( Atoms `  K )
)
224, 14sspadd1 30004 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  ( Atoms `  K
)  /\  W  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  Y  C_  ( Y  .+  W ) )
232, 7, 21, 22syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Y  C_  ( Y  .+  W
) )
244, 5, 14pmod1i 30037 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W
)  e.  S ) )  ->  ( Y  C_  ( Y  .+  W
)  ->  ( ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W
) )  =  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) ) )
25243impia 1148 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W
)  e.  S )  /\  Y  C_  ( Y  .+  W ) )  ->  ( ( Y 
.+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W
) )  =  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )
262, 7, 16, 19, 23, 25syl131anc 1195 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W ) )  =  ( Y  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )
271, 26syl5reqr 2330 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  ( ( X 
.+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) ) )  =  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) )
2827oveq2d 5874 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )  =  ( X  .+  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) )
29 ssinss1 3397 . . . 4  |-  ( ( X  .+  Z ) 
C_  ( Atoms `  K
)  ->  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) )  C_  ( Atoms `  K ) )
3016, 29syl 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
314, 14paddass 30027 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) ) )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) ) )
322, 10, 7, 30, 31syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( X 
.+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) ) ) ) )
334, 14paddass 30027 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) )
342, 10, 7, 13, 33syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
354, 14padd12N 30028 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y 
.+  ( X  .+  Z ) ) )
362, 10, 7, 13, 35syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
3734, 36eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
384, 14paddass 30027 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  W  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( X 
.+  Y )  .+  W )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  W ) ) )
392, 10, 7, 21, 38syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  W )  =  ( X  .+  ( Y  .+  W ) ) )
4037, 39ineq12d 3371 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( X 
.+  ( Y  .+  W ) ) ) )
41 incom 3361 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) )  i^i  ( X  .+  ( Y  .+  W ) ) )  =  ( ( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
4240, 41syl6eq 2331 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y 
.+  ( X  .+  Z ) ) ) )
434, 5psubssat 29943 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  .+  W )  e.  S )  -> 
( Y  .+  W
)  C_  ( Atoms `  K ) )
442, 19, 43syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  W )  C_  ( Atoms `  K )
)
455, 14paddclN 30031 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Z  e.  S )  ->  ( X  .+  Z
)  e.  S )
462, 8, 11, 45syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  Z )  e.  S )
475, 14paddclN 30031 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S  /\  ( X  .+  Z )  e.  S )  -> 
( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S )
482, 3, 46, 47syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S )
494, 14sspadd1 30004 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  X  C_  ( X  .+  Z ) )
502, 10, 13, 49syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  C_  ( X  .+  Z
) )
514, 14sspadd2 30005 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Z ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  Y  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
522, 16, 7, 51syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) ) )
5350, 52sstrd 3189 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  C_  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
544, 5, 14pmod1i 30037 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S ) )  ->  ( X  C_  ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) )  ->  ( ( X 
.+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  =  ( X 
.+  ( ( Y 
.+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) ) )
55543impia 1148 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S )  /\  X  C_  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  ->  (
( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  =  ( X  .+  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) )
562, 10, 44, 48, 53, 55syl131anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  =  ( X  .+  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) )
5742, 56eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( X  .+  (
( Y  .+  W
)  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z
) ) ) ) )
5828, 32, 573eqtr4rd 2326 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   PSubSpcpsubsp 29685   + Pcpadd 29984
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  30171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-psubsp 29692  df-padd 29985
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