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Theorem pmodl42N 30337
Description: Lemma derived from modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodl42.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pmodl42.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmodl42N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )

Proof of Theorem pmodl42N
StepHypRef Expression
1 incom 3497 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W ) )  =  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
2 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  K  e.  HL )
3 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Y  e.  S )
4 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
5 pmodl42.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
64, 5psubssat 30240 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K ) )
72, 3, 6syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K )
)
8 simpl2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  e.  S )
94, 5psubssat 30240 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S )  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
102, 8, 9syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  C_  ( Atoms `  K )
)
11 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Z  e.  S )
124, 5psubssat 30240 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Z  e.  S )  ->  Z  C_  ( Atoms `  K ) )
132, 11, 12syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Z  C_  ( Atoms `  K )
)
14 pmodl42.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( + P `  K
)
154, 14paddssat 30300 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K ) )
162, 10, 13, 15syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K )
)
17 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  W  e.  S )
185, 14paddclN 30328 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S  /\  W  e.  S )  ->  ( Y  .+  W
)  e.  S )
192, 3, 17, 18syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  W )  e.  S )
204, 5psubssat 30240 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  S )  ->  W  C_  ( Atoms `  K ) )
212, 17, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  W  C_  ( Atoms `  K )
)
224, 14sspadd1 30301 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  ( Atoms `  K
)  /\  W  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  Y  C_  ( Y  .+  W ) )
232, 7, 21, 22syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Y  C_  ( Y  .+  W
) )
244, 5, 14pmod1i 30334 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W
)  e.  S ) )  ->  ( Y  C_  ( Y  .+  W
)  ->  ( ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W
) )  =  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) ) )
25243impia 1150 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W
)  e.  S )  /\  Y  C_  ( Y  .+  W ) )  ->  ( ( Y 
.+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W
) )  =  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )
262, 7, 16, 19, 23, 25syl131anc 1197 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W ) )  =  ( Y  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )
271, 26syl5reqr 2455 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  ( ( X 
.+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) ) )  =  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) )
2827oveq2d 6060 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )  =  ( X  .+  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) )
29 ssinss1 3533 . . . 4  |-  ( ( X  .+  Z ) 
C_  ( Atoms `  K
)  ->  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) )  C_  ( Atoms `  K ) )
3016, 29syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
314, 14paddass 30324 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) ) )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) ) )
322, 10, 7, 30, 31syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( X 
.+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) ) ) ) )
334, 14paddass 30324 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) )
342, 10, 7, 13, 33syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
354, 14padd12N 30325 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y 
.+  ( X  .+  Z ) ) )
362, 10, 7, 13, 35syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
3734, 36eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
384, 14paddass 30324 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  W  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( X 
.+  Y )  .+  W )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  W ) ) )
392, 10, 7, 21, 38syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  W )  =  ( X  .+  ( Y  .+  W ) ) )
4037, 39ineq12d 3507 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( X 
.+  ( Y  .+  W ) ) ) )
41 incom 3497 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) )  i^i  ( X  .+  ( Y  .+  W ) ) )  =  ( ( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
4240, 41syl6eq 2456 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y 
.+  ( X  .+  Z ) ) ) )
434, 5psubssat 30240 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  .+  W )  e.  S )  -> 
( Y  .+  W
)  C_  ( Atoms `  K ) )
442, 19, 43syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  W )  C_  ( Atoms `  K )
)
455, 14paddclN 30328 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Z  e.  S )  ->  ( X  .+  Z
)  e.  S )
462, 8, 11, 45syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  Z )  e.  S )
475, 14paddclN 30328 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S  /\  ( X  .+  Z )  e.  S )  -> 
( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S )
482, 3, 46, 47syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S )
494, 14sspadd1 30301 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  X  C_  ( X  .+  Z ) )
502, 10, 13, 49syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  C_  ( X  .+  Z
) )
514, 14sspadd2 30302 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Z ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  Y  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
522, 16, 7, 51syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) ) )
5350, 52sstrd 3322 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  C_  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
544, 5, 14pmod1i 30334 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S ) )  ->  ( X  C_  ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) )  ->  ( ( X 
.+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  =  ( X 
.+  ( ( Y 
.+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) ) )
55543impia 1150 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S )  /\  X  C_  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  ->  (
( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  =  ( X  .+  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) )
562, 10, 44, 48, 53, 55syl131anc 1197 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  =  ( X  .+  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) )
5742, 56eqtrd 2440 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( X  .+  (
( Y  .+  W
)  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z
) ) ) ) )
5828, 32, 573eqtr4rd 2451 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3283    C_ wss 3284   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Atomscatm 29750   HLchlt 29837   PSubSpcpsubsp 29982   + Pcpadd 30281
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  30468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-psubsp 29989  df-padd 30282
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