Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem1 Unicode version

Theorem pmodlem1 30035
Description: Lemma for pmod1i 30037. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pmodlem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pmodlem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pmodlem.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pmodlem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmodlem1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q 
.\/  r ) ) )  ->  p  e.  ( X  .+  ( Y  i^i  Z ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, r, A    .\/ , q, r    K, p, q, r    .<_ , q, r    .+ , p, q, r    S, p, q, r    X, p, q, r    Y, p, q, r    Z, p, q, r
Allowed substitution hints:    .\/ ( p)    .<_ ( p)

Proof of Theorem pmodlem1
StepHypRef Expression
1 simpl11 1030 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  K  e.  HL )
2 simpl12 1031 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  X  C_  A )
3 simpl13 1032 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  Y  C_  A )
4 ssinss1 3397 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  A  ->  ( Y  i^i  Z )  C_  A )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  ( Y  i^i  Z
)  C_  A )
6 pmodlem.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 pmodlem.p . . . . 5  |-  .+  =  ( + P `  K
)
86, 7sspadd1 30004 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  ( Y  i^i  Z )  C_  A )  ->  X  C_  ( X  .+  ( Y  i^i  Z ) ) )
91, 2, 5, 8syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  X  C_  ( X  .+  ( Y  i^i  Z
) ) )
10 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  p  =  q )
11 simpl31 1036 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  q  e.  X )
1210, 11eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  p  e.  X )
139, 12sseldd 3181 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  p  e.  ( X 
.+  ( Y  i^i  Z ) ) )
14 simpl11 1030 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  K  e.  HL )
15 hllat 29553 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1614, 15syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  K  e.  Lat )
17 simpl12 1031 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  X  C_  A )
18 simpl13 1032 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  Y  C_  A )
1918, 4syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
( Y  i^i  Z
)  C_  A )
20 simpl31 1036 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
q  e.  X )
21 simpl32 1037 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
r  e.  Y )
22 simpl21 1033 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  Z  e.  S )
23 simpl22 1034 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  X  C_  Z )
24 simpl23 1035 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  p  e.  Z )
25 pmodlem.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
266, 25psubssat 29943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Z  e.  S )  ->  Z  C_  A )
2714, 22, 26syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  Z  C_  A )
2827, 24sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  p  e.  A )
2918, 21sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
r  e.  A )
3017, 20sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
q  e.  A )
3128, 29, 303jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  q  e.  A
) )
32 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  p  =/=  q )
33 simpl33 1038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  p  .<_  ( q  .\/  r ) )
34 pmodlem.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
35 pmodlem.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
3634, 35, 6hlatexch1 29584 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  r  .<_  ( q  .\/  p
) ) )
3736imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) )  ->  r  .<_  ( q  .\/  p
) )
3814, 31, 32, 33, 37syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
r  .<_  ( q  .\/  p ) )
39 simp31 991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  q  e.  X )
4039snssd 3760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  { q }  C_  X )
41 simp22 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  X  C_  Z
)
4240, 41sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  { q }  C_  Z )
43 simp23 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  p  e.  Z )
4443snssd 3760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  { p }  C_  Z )
45 simp11 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  K  e.  HL )
46 simp12 986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  X  C_  A
)
4746, 39sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  q  e.  A )
4847snssd 3760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  { q }  C_  A )
49 simp21 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  Z  e.  S )
5045, 49, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  Z  C_  A
)
5150, 43sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  p  e.  A )
5251snssd 3760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  { p }  C_  A )
536, 25, 7paddss 30034 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( { q }  C_  A  /\  { p }  C_  A  /\  Z  e.  S ) )  -> 
( ( { q }  C_  Z  /\  { p }  C_  Z
)  <->  ( { q }  .+  { p } )  C_  Z
) )
5445, 48, 52, 49, 53syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  ( ( { q }  C_  Z  /\  { p }  C_  Z )  <->  ( {
q }  .+  {
p } )  C_  Z ) )
5542, 44, 54mpbi2and 887 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  ( {
q }  .+  {
p } )  C_  Z )
56 simp33 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  r  .<_  ( q  .\/  p ) )
5745, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  K  e.  Lat )
58 simp13 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  Y  C_  A
)
59 simp32 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  r  e.  Y )
6058, 59sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  r  e.  A )
6134, 35, 6, 7elpadd2at2 29996 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( q  e.  A  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  ->  (
r  e.  ( { q }  .+  {
p } )  <->  r  .<_  ( q  .\/  p ) ) )
6257, 47, 51, 60, 61syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  ( r  e.  ( { q } 
.+  { p }
)  <->  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )
6356, 62mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  r  e.  ( { q }  .+  { p } ) )
6455, 63sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  r  e.  Z )
6514, 17, 18, 22, 23, 24, 20, 21, 38, 64syl333anc 1214 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
r  e.  Z )
66 elin 3358 . . . 4  |-  ( r  e.  ( Y  i^i  Z )  <->  ( r  e.  Y  /\  r  e.  Z ) )
6721, 65, 66sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
r  e.  ( Y  i^i  Z ) )
6834, 35, 6, 7elpaddri 29991 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  ( Y  i^i  Z ) 
C_  A )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  ( Y  i^i  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  p  .<_  ( q  .\/  r ) ) )  ->  p  e.  ( X  .+  ( Y  i^i  Z ) ) )
6916, 17, 19, 20, 67, 28, 33, 68syl322anc 1210 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  p  e.  ( X  .+  ( Y  i^i  Z
) ) )
7013, 69pm2.61dane 2524 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q 
.\/  r ) ) )  ->  p  e.  ( X  .+  ( Y  i^i  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   PSubSpcpsubsp 29685   + Pcpadd 29984
This theorem is referenced by:  pmodlem2  30036
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-join 14110  df-lat 14152  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-psubsp 29692  df-padd 29985
  Copyright terms: Public domain W3C validator