Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmtrffv Unicode version

Theorem pmtrffv 27401
Description: Mapping of a point under a transposition function. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
pmtrrn.r  |-  R  =  ran  T
pmtrfrn.p  |-  P  =  dom  ( F  \  _I  )
Assertion
Ref Expression
pmtrffv  |-  ( ( F  e.  R  /\  Z  e.  D )  ->  ( F `  Z
)  =  if ( Z  e.  P ,  U. ( P  \  { Z } ) ,  Z
) )

Proof of Theorem pmtrffv
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . 6  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 pmtrrn.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  T
3 pmtrfrn.p . . . . . 6  |-  P  =  dom  ( F  \  _I  )
41, 2, 3pmtrfrn 27400 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  (
( D  e.  _V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  F  =  ( T `  P ) ) )
54simprd 449 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  F  =  ( T `  P ) )
65fveq1d 5527 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  ( F `  Z )  =  ( ( T `
 P ) `  Z ) )
76adantr 451 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  Z  e.  D )  ->  ( F `  Z
)  =  ( ( T `  P ) `
 Z ) )
84simpld 445 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  ( D  e.  _V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o ) )
91pmtrfv 27395 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  Z  e.  D )  ->  ( ( T `  P ) `  Z
)  =  if ( Z  e.  P ,  U. ( P  \  { Z } ) ,  Z
) )
108, 9sylan 457 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  Z  e.  D )  ->  ( ( T `  P ) `  Z
)  =  if ( Z  e.  P ,  U. ( P  \  { Z } ) ,  Z
) )
117, 10eqtrd 2315 1  |-  ( ( F  e.  R  /\  Z  e.  D )  ->  ( F `  Z
)  =  if ( Z  e.  P ,  U. ( P  \  { Z } ) ,  Z
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    _I cid 4304   dom cdm 4689   ran crn 4690   ` cfv 5255   2oc2o 6473    ~~ cen 6860  pmTrspcpmtr 27384
This theorem is referenced by:  pmtrfinv  27402  psgnunilem1  27416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-2o 6480  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-pmtr 27385
  Copyright terms: Public domain W3C validator