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Theorem pmtrfinv 27402
Description: A transposition function is an involution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
pmtrrn.r  |-  R  =  ran  T
Assertion
Ref Expression
pmtrfinv  |-  ( F  e.  R  ->  ( F  o.  F )  =  (  _I  |`  D ) )

Proof of Theorem pmtrfinv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . . 7  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 pmtrrn.r . . . . . . 7  |-  R  =  ran  T
3 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
41, 2, 3pmtrfrn 27400 . . . . . 6  |-  ( F  e.  R  ->  (
( D  e.  _V  /\ 
dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )  /\  F  =  ( T `  dom  ( F  \  _I  ) ) ) )
54simpld 445 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  ( D  e.  _V  /\  dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o ) )
61pmtrf 27397 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  _V  /\  dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )  ->  ( T `  dom  ( F 
\  _I  ) ) : D --> D )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  ( T `  dom  ( F 
\  _I  ) ) : D --> D )
84simprd 449 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  F  =  ( T `  dom  ( F  \  _I  ) ) )
98feq1d 5379 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  ( F : D --> D  <->  ( T `  dom  ( F  \  _I  ) ) : D --> D ) )
107, 9mpbird 223 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  F : D --> D )
11 fco 5398 . . . 4  |-  ( ( F : D --> D  /\  F : D --> D )  ->  ( F  o.  F ) : D --> D )
1211anidms 626 . . 3  |-  ( F : D --> D  -> 
( F  o.  F
) : D --> D )
13 ffn 5389 . . 3  |-  ( ( F  o.  F ) : D --> D  -> 
( F  o.  F
)  Fn  D )
1410, 12, 133syl 18 . 2  |-  ( F  e.  R  ->  ( F  o.  F )  Fn  D )
15 fnresi 5361 . . 3  |-  (  _I  |`  D )  Fn  D
1615a1i 10 . 2  |-  ( F  e.  R  ->  (  _I  |`  D )  Fn  D )
171, 2, 3pmtrffv 27401 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( F `  x
)  =  if ( x  e.  dom  ( F  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ,  x ) )
18 iftrue 3571 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  ( F 
\  _I  )  ->  if ( x  e.  dom  ( F  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ,  x )  = 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )
1917, 18sylan9eq 2335 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  x )  =  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )
2019fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  ( F `  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
21 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  F  e.  R )
225simp2d 968 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
2322ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
24 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  C_  dom  ( F 
\  _I  )
25 1onn 6637 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  om
2625a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  1o  e.  om )
275simp3d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
28 df-2o 6480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  =  suc  1o
2927, 28syl6breq 4062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  suc  1o )
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  suc  1o )
31 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )
32 dif1en 7091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  suc  1o  /\  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) )  ->  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) 
~~  1o )
3326, 30, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  ~~  1o )
34 en1uniel 27380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  ~~  1o  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) )
3624, 35sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  dom  ( F  \  _I  ) )
3723, 36sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  D )
381, 2, 3pmtrffv 27401 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  R  /\  U. ( dom  ( F 
\  _I  )  \  { x } )  e.  D )  -> 
( F `  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )  =  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  dom  ( F  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
3921, 37, 38syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) )  =  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  dom  ( F  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
40 iftrue 3571 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  e.  dom  ( F  \  _I  )  ->  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  dom  ( F  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )  = 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) )
4136, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  e.  dom  ( F 
\  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )  = 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) )
4227adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
43 en2other2 27382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )  ->  U. ( dom  ( F 
\  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } )  =  x )
4443ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } )  =  x )
4542, 44sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) } )  =  x )
4641, 45eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  e.  dom  ( F 
\  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )  =  x )
4739, 46eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) )  =  x )
4820, 47eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )
49 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( F : D --> D  ->  F  Fn  D )
5010, 49syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  R  ->  F  Fn  D )
51 fnelnfp 26757 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  D  /\  x  e.  D )  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
5250, 51sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
5352necon2bbid 2504 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( ( F `  x )  =  x  <->  -.  x  e.  dom  ( F  \  _I  )
) )
5453biimpar 471 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  x )  =  x )
55 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
56 id 19 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  x )  =  x )
5755, 56eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )
5854, 57syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )
5948, 58pm2.61dan 766 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( F `  ( F `  x )
)  =  x )
60 fvco2 5594 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  D  /\  x  e.  D )  ->  ( ( F  o.  F ) `  x
)  =  ( F `
 ( F `  x ) ) )
6150, 60sylan 457 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( ( F  o.  F ) `  x
)  =  ( F `
 ( F `  x ) ) )
62 fvresi 5711 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
(  _I  |`  D ) `
 x )  =  x )
6362adantl 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( (  _I  |`  D ) `
 x )  =  x )
6459, 61, 633eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( ( F  o.  F ) `  x
)  =  ( (  _I  |`  D ) `  x ) )
6514, 16, 64eqfnfvd 5625 1  |-  ( F  e.  R  ->  ( F  o.  F )  =  (  _I  |`  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    _I cid 4304   suc csuc 4394   omcom 4656   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ~~ cen 6860  pmTrspcpmtr 27384
This theorem is referenced by:  pmtrff1o  27404  pmtrfcnv  27405  symggen  27411  psgnunilem1  27416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-2o 6480  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pmtr 27385
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