Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmtrfval Structured version   Unicode version

Theorem pmtrfval 27370
Description: The function generating transpositions on a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrfval  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, p, z, D    T, p, y, z    z, V
Allowed substitution hints:    V( y, p)

Proof of Theorem pmtrfval
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrfval.t . 2  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 elex 2964 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  _V )
3 pweq 3802 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ~P d  =  ~P D
)
4 rabeq 2950 . . . . . 6  |-  ( ~P d  =  ~P D  ->  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  =  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o } )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  =  { y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o } )
6 mpteq1 4289 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
z  e.  d  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
75, 6mpteq12dv 4287 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
p  e.  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  d 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  {
y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
8 df-pmtr 27362 . . . 4  |- pmTrsp  =  ( d  e.  _V  |->  ( p  e.  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  d 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
9 vex 2959 . . . . . . 7  |-  d  e. 
_V
109pwex 4382 . . . . . 6  |-  ~P d  e.  _V
1110rabex 4354 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  e.  _V
1211mptex 5966 . . . 4  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P d  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  d  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  e.  _V
137, 8, 12fvmpt3i 5809 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmTrsp `  D )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
142, 13syl 16 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  (pmTrsp `  D )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
151, 14syl5eq 2480 1  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317   ifcif 3739   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454   2oc2o 6718    ~~ cen 7106  pmTrspcpmtr 27361
This theorem is referenced by:  pmtrval  27371  pmtrrn  27376  pmtrfrn  27377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-pmtr 27362
  Copyright terms: Public domain W3C validator