Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmtrprfv Unicode version

Theorem pmtrprfv 26719
Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  Y )

Proof of Theorem pmtrprfv
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  D  e.  V )
2 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  X  e.  D )
3 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  e.  D )
4 prssi 3850 . . . 4  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  { X ,  Y }  C_  D )
52, 3, 4syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  { X ,  Y }  C_  D
)
6 pr2nelem 7721 . . . 4  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y )  ->  { X ,  Y }  ~~  2o )
76adantl 452 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  { X ,  Y }  ~~  2o )
8 pmtrfval.t . . . 4  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
98pmtrfv 26718 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  { X ,  Y }  C_  D  /\  { X ,  Y }  ~~  2o )  /\  X  e.  D )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  if ( X  e. 
{ X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) ,  X ) )
101, 5, 7, 2, 9syl31anc 1185 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  if ( X  e. 
{ X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) ,  X ) )
11 prid1g 3808 . . . . 5  |-  ( X  e.  D  ->  X  e.  { X ,  Y } )
122, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  X  e.  { X ,  Y } )
13 iftrue 3647 . . . 4  |-  ( X  e.  { X ,  Y }  ->  if ( X  e.  { X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X }
) ,  X )  =  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
1412, 13syl 15 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  if ( X  e.  { X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X }
) ,  X )  =  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
15 difprsnss 3832 . . . . . . 7  |-  ( { X ,  Y }  \  { X } ) 
C_  { Y }
1615a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  ( { X ,  Y }  \  { X } ) 
C_  { Y }
)
17 prid2g 3809 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  { X ,  Y } )
183, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  e.  { X ,  Y } )
19 simpr3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  X  =/=  Y )
2019necomd 2604 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  =/=  X )
21 eldifsn 3825 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( { X ,  Y }  \  { X } )  <->  ( Y  e.  { X ,  Y }  /\  Y  =/=  X
) )
2218, 20, 21sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  e.  ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
2322snssd 3839 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  { Y }  C_  ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
2416, 23eqssd 3272 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  { Y }
)
2524unieqd 3917 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  U. ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  U. { Y } )
26 unisng 3923 . . . . 5  |-  ( Y  e.  D  ->  U. { Y }  =  Y
)
273, 26syl 15 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  U. { Y }  =  Y
)
2825, 27eqtrd 2390 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  U. ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  Y )
2914, 28eqtrd 2390 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  if ( X  e.  { X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X }
) ,  X )  =  Y )
3010, 29eqtrd 2390 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521    \ cdif 3225    C_ wss 3228   ifcif 3641   {csn 3716   {cpr 3717   U.cuni 3906   class class class wbr 4102   ` cfv 5334   2oc2o 6557    ~~ cen 6945  pmTrspcpmtr 26707
This theorem is referenced by:  symggen  26734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-1o 6563  df-2o 6564  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pmtr 26708
  Copyright terms: Public domain W3C validator