Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmtrprfv Structured version   Unicode version

Theorem pmtrprfv 27386
Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  Y )

Proof of Theorem pmtrprfv
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  D  e.  V )
2 simpr1 964 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  X  e.  D )
3 simpr2 965 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  e.  D )
4 prssi 3956 . . . 4  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  { X ,  Y }  C_  D )
52, 3, 4syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  { X ,  Y }  C_  D
)
6 pr2nelem 7893 . . . 4  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y )  ->  { X ,  Y }  ~~  2o )
76adantl 454 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  { X ,  Y }  ~~  2o )
8 pmtrfval.t . . . 4  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
98pmtrfv 27385 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  { X ,  Y }  C_  D  /\  { X ,  Y }  ~~  2o )  /\  X  e.  D )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  if ( X  e. 
{ X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) ,  X ) )
101, 5, 7, 2, 9syl31anc 1188 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  if ( X  e. 
{ X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) ,  X ) )
11 prid1g 3912 . . . . 5  |-  ( X  e.  D  ->  X  e.  { X ,  Y } )
122, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  X  e.  { X ,  Y } )
13 iftrue 3747 . . . 4  |-  ( X  e.  { X ,  Y }  ->  if ( X  e.  { X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X }
) ,  X )  =  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  if ( X  e.  { X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X }
) ,  X )  =  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
15 difprsnss 3936 . . . . . . 7  |-  ( { X ,  Y }  \  { X } ) 
C_  { Y }
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  ( { X ,  Y }  \  { X } ) 
C_  { Y }
)
17 prid2g 3913 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  { X ,  Y } )
183, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  e.  { X ,  Y } )
19 simpr3 966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  X  =/=  Y )
2019necomd 2689 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  =/=  X )
21 eldifsn 3929 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( { X ,  Y }  \  { X } )  <->  ( Y  e.  { X ,  Y }  /\  Y  =/=  X
) )
2218, 20, 21sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  e.  ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
2322snssd 3945 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  { Y }  C_  ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
2416, 23eqssd 3367 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  { Y }
)
2524unieqd 4028 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  U. ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  U. { Y } )
26 unisng 4034 . . . . 5  |-  ( Y  e.  D  ->  U. { Y }  =  Y
)
273, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  U. { Y }  =  Y
)
2825, 27eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  U. ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  Y )
2914, 28eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  if ( X  e.  { X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X }
) ,  X )  =  Y )
3010, 29eqtrd 2470 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319    C_ wss 3322   ifcif 3741   {csn 3816   {cpr 3817   U.cuni 4017   class class class wbr 4215   ` cfv 5457   2oc2o 6721    ~~ cen 7109  pmTrspcpmtr 27374
This theorem is referenced by:  symggen  27401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-1o 6727  df-2o 6728  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pmtr 27375
  Copyright terms: Public domain W3C validator