MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pn0sr Unicode version

Theorem pn0sr 8768
Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pn0sr  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )

Proof of Theorem pn0sr
StepHypRef Expression
1 1idsr 8765 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  1R )  =  A )
21oveq1d 5915 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
3 distrsr 8758 . . . 4  |-  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( ( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) )
4 m1p1sr 8759 . . . . 5  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
54oveq2i 5911 . . . 4  |-  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( A  .R  0R )
6 addcomsr 8754 . . . 4  |-  ( ( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )
73, 5, 63eqtr3i 2344 . . 3  |-  ( A  .R  0R )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )
8 00sr 8766 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  0R )
97, 8syl5eqr 2362 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
102, 9eqtr3d 2350 1  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701  (class class class)co 5900   R.cnr 8534   0Rc0r 8535   1Rc1r 8536   -1Rcm1r 8537    +R cplr 8538    .R cmr 8539
This theorem is referenced by:  negexsr  8769  sqgt0sr  8773  map2psrpr  8777  axrnegex  8829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 8541  df-pli 8542  df-mi 8543  df-lti 8544  df-plpq 8577  df-mpq 8578  df-ltpq 8579  df-enq 8580  df-nq 8581  df-erq 8582  df-plq 8583  df-mq 8584  df-1nq 8585  df-rq 8586  df-ltnq 8587  df-np 8650  df-1p 8651  df-plp 8652  df-mp 8653  df-ltp 8654  df-plpr 8724  df-mpr 8725  df-enr 8726  df-nr 8727  df-plr 8728  df-mr 8729  df-0r 8731  df-1r 8732  df-m1r 8733
  Copyright terms: Public domain W3C validator