MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan Unicode version

Theorem pncan 9057
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pncan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncan
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
2 simpl 443 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
31, 2addcomd 9014 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) )
4 addcl 8819 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
5 subadd 9054 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( ( A  +  B )  -  B
)  =  A  <->  ( B  +  A )  =  ( A  +  B ) ) )
64, 1, 2, 5syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  B )  =  A  <-> 
( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) ) )
73, 6mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  pncan2  9058  addsubass  9061  subid1  9068  nppcan2  9078  pncand  9158  nn1m1nn  9766  nnsub  9784  halfpm6th  9936  elnn0nn  10006  elz2  10040  zrevaddcl  10063  uzindOLD  10106  qrevaddcl  10338  irradd  10340  fzrev3  10849  fzrevral3  10868  fzval3  10911  seqf1olem1  11085  seqf1olem2  11086  subsq2  11211  bcp1nk  11329  bcp1m1  11332  bcpasc  11333  hashbclem  11390  wrdind  11477  shftlem  11563  shftval5  11573  isershft  12137  isercoll2  12142  fsump1  12219  fsumshft  12242  fsumtscopo  12260  fsumparts  12264  bcxmas  12294  isum1p  12300  climcndslem1  12308  geolim  12326  mertenslem2  12341  mertens  12342  ege2le3  12371  eftlub  12389  effsumlt  12391  eirrlem  12482  rpnnen2lem3  12495  rpnnen2lem11  12503  dvdsadd  12567  3dvds  12591  prmind2  12769  iserodd  12888  fldivp1  12945  prmpwdvds  12951  pockthlem  12952  prmreclem4  12966  prmreclem6  12968  4sqlem11  13002  vdwapun  13021  ramub1lem1  13073  ramcl  13076  1259lem4  13132  1259prm  13134  2503lem2  13136  2503prm  13138  4001lem3  13141  4001prm  13143  efgsval2  15042  efgsrel  15043  pcoass  18522  shft2rab  18867  ovolicc2lem4  18879  uniioombllem3  18940  uniioombllem4  18941  dvexp  19302  dvfsumlem1  19373  degltp1le  19459  ply1divex  19522  plyaddlem1  19595  plymullem1  19596  dvply1  19664  dvply2g  19665  vieta1lem2  19691  aaliou3lem7  19729  dvradcnv  19797  pserdvlem2  19804  abssinper  19886  eff1o  19911  advlogexp  20002  atantayl3  20235  leibpilem1  20236  leibpilem2  20237  log2cnv  20240  log2tlbnd  20241  log2ub  20245  birthday  20249  emcllem2  20290  harmonicbnd4  20304  wilthlem2  20307  basellem8  20325  ppiprm  20389  ppinprm  20390  chtprm  20391  chtnprm  20392  chpp1  20393  ppiublem2  20442  ppiub  20443  chtublem  20450  chtub  20451  perfectlem1  20468  perfectlem2  20469  perfect  20470  bcp1ctr  20518  bposlem6  20528  bposlem8  20530  lgsvalmod  20554  lgseisen  20592  lgsquadlem1  20593  lgsquad2lem1  20597  2sqlem10  20613  rplogsumlem1  20633  selberg2lem  20699  logdivbnd  20705  pntrsumo1  20714  pntpbnd2  20736  gxadd  20942  lnfn0i  22622  subfacp1lem5  23126  subfacp1lem6  23127  subfacval2  23129  subfaclim  23130  cvmliftlem7  23233  cvmliftlem10  23236  eupap1  23311  eupath2lem3  23314  elfzp1b  23423  bpolydiflem  24200  fsumkthpow  24202  bpoly3  24204  fsumcube  24206  mslb1  25019  2wsms  25020  fdc  25867  mettrifi  25885  heiborlem4  25950  heiborlem6  25952  lzenom  26261  2nn0ind  26442  jm2.17a  26459  jm2.17b  26460  jm2.17c  26461  stoweidlem17  27178  stoweidlem34  27195
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039
  Copyright terms: Public domain W3C validator