MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan Structured version   Unicode version

Theorem pncan 9303
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pncan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncan
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
2 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
31, 2addcomd 9260 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) )
4 addcl 9064 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
5 subadd 9300 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( ( A  +  B )  -  B
)  =  A  <->  ( B  +  A )  =  ( A  +  B ) ) )
64, 1, 2, 5syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  B )  =  A  <-> 
( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) ) )
73, 6mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   CCcc 8980    + caddc 8985    - cmin 9283
This theorem is referenced by:  pncan2  9304  addsubass  9307  subid1  9314  nppcan2  9324  pncand  9404  nn1m1nn  10012  nnsub  10030  elnn0nn  10254  elz2  10290  zrevaddcl  10313  uzindOLD  10356  qrevaddcl  10588  irradd  10590  fzrev3  11103  fzrevral3  11125  fzval3  11172  seqf1olem1  11354  seqf1olem2  11355  subsq2  11481  bcp1nk  11600  bcp1m1  11603  bcpasc  11604  hashbclem  11693  wrdind  11783  shftlem  11875  shftval5  11885  isershft  12449  isercoll2  12454  fsump1  12532  fsumshft  12555  fsumtscopo  12573  fsumparts  12577  bcxmas  12607  isum1p  12613  climcndslem1  12621  geolim  12639  mertenslem2  12654  mertens  12655  eftlub  12702  effsumlt  12704  eirrlem  12795  dvdsadd  12880  3dvds  12904  prmind2  13082  iserodd  13201  fldivp1  13258  prmpwdvds  13264  pockthlem  13265  prmreclem4  13279  prmreclem6  13281  4sqlem11  13315  vdwapun  13334  ramub1lem1  13386  ramcl  13389  1259lem4  13445  1259prm  13447  2503lem2  13449  2503prm  13451  4001lem3  13454  4001prm  13456  efgsval2  15357  efgsrel  15358  pcoass  19041  shft2rab  19396  ovolicc2lem4  19408  uniioombllem3  19469  uniioombllem4  19470  dvexp  19831  dvfsumlem1  19902  degltp1le  19988  ply1divex  20051  plyaddlem1  20124  plymullem1  20125  dvply1  20193  dvply2g  20194  vieta1lem2  20220  aaliou3lem7  20258  dvradcnv  20329  pserdvlem2  20336  abssinper  20418  eff1o  20443  advlogexp  20538  atantayl3  20771  leibpilem1  20772  leibpilem2  20773  log2tlbnd  20777  log2ub  20781  birthday  20785  emcllem2  20827  harmonicbnd4  20841  wilthlem2  20844  basellem8  20862  ppiprm  20926  ppinprm  20927  chtprm  20928  chtnprm  20929  chpp1  20930  ppiublem2  20979  ppiub  20980  chtub  20988  perfectlem1  21005  perfectlem2  21006  perfect  21007  bcp1ctr  21055  bposlem6  21065  bposlem8  21067  lgsvalmod  21091  lgseisen  21129  lgsquadlem1  21130  lgsquad2lem1  21134  2sqlem10  21150  rplogsumlem1  21170  selberg2lem  21236  logdivbnd  21242  pntrsumo1  21251  pntpbnd2  21273  eupap1  21690  eupath2lem3  21693  gxadd  21855  lnfn0i  23537  subfacp1lem5  24862  subfacp1lem6  24863  subfacval2  24865  subfaclim  24866  cvmliftlem7  24970  cvmliftlem10  24973  elfzp1b  25108  fsumkthpow  26094  mblfinlem  26234  itg2addnclem3  26248  fdc  26440  mettrifi  26454  heiborlem4  26514  heiborlem6  26516  lzenom  26819  2nn0ind  26999  jm2.17a  27016  jm2.17b  27017  jm2.17c  27018  stoweidlem34  27750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-sub 9285
  Copyright terms: Public domain W3C validator