MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2 Unicode version

Theorem pncan2 9244
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
pncan2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )

Proof of Theorem pncan2
StepHypRef Expression
1 addcom 9184 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) )
21oveq1d 6035 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  +  A )  -  A
)  =  ( ( A  +  B )  -  A ) )
3 pncan 9243 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  +  A )  -  A
)  =  B )
42, 3eqtr3d 2421 . 2  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
54ancoms 440 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6020   CCcc 8921    + caddc 8926    - cmin 9223
This theorem is referenced by:  subid  9253  pnpcan  9272  pnncan  9274  pncan2d  9345  fzrev3  11042  fzrevral3  11063  fzosubel2  11106  facndiv  11506  bcnp1n  11532  swrds1  11714  revccat  11725  trireciplem  12568  efgredleme  15302  pjthlem1  19205  uniioombllem3  19344  dyadovol  19352  dvfsumle  19772  qaa  20107  geolim3  20123  pserdv2  20213  tangtx  20280  logtayl  20418  tanatan  20626  atans2  20638  efrlim  20675  ppidif  20813  ppiub  20855  bposlem9  20943  pntrsumo1  21126  pntpbnd1a  21146  pntpbnd2  21148  pntlemr  21163  wlkdvspthlem  21455  pjhthlem1  22741  hst1h  23578  ballotlem2  24525  ballotlemfmpn  24531  axsegconlem10  25579  lzenom  26519  acongrep  26736  psgnunilem2  27087
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-sub 9225
  Copyright terms: Public domain W3C validator