MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2d Structured version   Unicode version

Theorem pncan2d 9405
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncan2d  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )

Proof of Theorem pncan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan2 9304 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   CCcc 8980    + caddc 8985    - cmin 9283
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  11033  expaddzlem  11415  hashf1lem2  11697  ccatcl  11735  ccatval3  11739  swrdccat2  11767  imval2  11948  clim2ser  12440  serf0  12466  fsumrev2  12557  geolim2  12640  mertenslem2  12654  mertens  12655  eirrlem  12795  dvdsadd2b  12884  bitsmod  12940  sadadd3  12965  mulgdirlem  14906  coe1tmmul2fv  16662  coe1pwmulfv  16664  cnsubrg  16751  reperflem  18841  reconnlem2  18850  ioorcl2  19456  uniioombllem3  19469  lhop1lem  19889  dvfsumabs  19899  ftc1lem1  19911  itgparts  19923  itgsubstlem  19924  coe1mul3  20014  coemulhi  20164  abelthlem6  20344  efif1olem4  20439  efopn  20541  dcubic2  20676  log2tlbnd  20777  birthdaylem2  20783  jensenlem2  20818  fsumharmonic  20842  chtdif  20933  chtublem  20987  bposlem9  21068  lgsquadlem1  21130  dchrisumlem1  21175  dchrisumlem2  21176  dchrisum0lem1b  21201  selberg2lem  21236  logdivbnd  21242  pntrsumo1  21251  pntrsumbnd2  21253  pntrlog2bndlem1  21263  pntrlog2bndlem2  21264  pntrlog2bndlem6  21269  pntpbnd1a  21271  probdif  24670  ballotlemsi  24764  lgamcvg2  24831  axsegconlem9  25856  axpaschlem  25871  bpolydiflem  26092  jm2.27c  27059  jm3.1lem2  27070  stirlinglem5  27784  sigarcol  27811  2txmxeqx  28065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-sub 9285
  Copyright terms: Public domain W3C validator