MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2d Unicode version

Theorem pncan2d 9175
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncan2d  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )

Proof of Theorem pncan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan2 9074 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751    + caddc 8756    - cmin 9053
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  10796  expaddzlem  11161  hashf1lem2  11410  ccatcl  11445  ccatval3  11449  swrdccat2  11477  imval2  11652  clim2ser  12144  serf0  12169  fsumrev2  12260  geolim2  12343  mertenslem2  12357  mertens  12358  eirrlem  12498  dvdsadd2b  12587  bitsmod  12643  sadadd3  12668  mulgdirlem  14607  coe1tmmul2fv  16370  coe1pwmulfv  16372  cnsubrg  16448  reperflem  18339  reconnlem2  18348  ioorcl2  18943  uniioombllem3  18956  lhop1lem  19376  dvfsumabs  19386  ftc1lem1  19398  itgparts  19410  itgsubstlem  19411  coe1mul3  19501  coemulhi  19651  abelthlem6  19828  efif1olem4  19923  efopn  20021  dcubic2  20156  log2tlbnd  20257  birthdaylem2  20263  jensenlem2  20298  fsumharmonic  20321  chtdif  20412  chtublem  20466  bposlem9  20547  lgsquadlem1  20609  dchrisumlem1  20654  dchrisumlem2  20655  dchrisum0lem1b  20680  selberg2lem  20715  logdivbnd  20721  pntrsumo1  20730  pntrsumbnd2  20732  pntrlog2bndlem1  20742  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem6  20748  pntpbnd1a  20750  ballotlemsi  23089  probdif  23638  axsegconlem9  24625  axpaschlem  24640  bpolydiflem  24861  itgaddnclem2  25010  jm2.27c  27203  jm3.1lem2  27214  stirlinglem5  27930  sigarcol  27957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055
  Copyright terms: Public domain W3C validator