MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2d Unicode version

Theorem pncan2d 9345
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncan2d  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )

Proof of Theorem pncan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan2 9244 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6020   CCcc 8921    + caddc 8926    - cmin 9223
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  10973  expaddzlem  11350  hashf1lem2  11632  ccatcl  11670  ccatval3  11674  swrdccat2  11702  imval2  11883  clim2ser  12375  serf0  12401  fsumrev2  12492  geolim2  12575  mertenslem2  12589  mertens  12590  eirrlem  12730  dvdsadd2b  12819  bitsmod  12875  sadadd3  12900  mulgdirlem  14841  coe1tmmul2fv  16597  coe1pwmulfv  16599  cnsubrg  16682  reperflem  18720  reconnlem2  18729  ioorcl2  19331  uniioombllem3  19344  lhop1lem  19764  dvfsumabs  19774  ftc1lem1  19786  itgparts  19798  itgsubstlem  19799  coe1mul3  19889  coemulhi  20039  abelthlem6  20219  efif1olem4  20314  efopn  20416  dcubic2  20551  log2tlbnd  20652  birthdaylem2  20658  jensenlem2  20693  fsumharmonic  20717  chtdif  20808  chtublem  20862  bposlem9  20943  lgsquadlem1  21005  dchrisumlem1  21050  dchrisumlem2  21051  dchrisum0lem1b  21076  selberg2lem  21111  logdivbnd  21117  pntrsumo1  21126  pntrsumbnd2  21128  pntrlog2bndlem1  21138  pntrlog2bndlem2  21139  pntrlog2bndlem6  21144  pntpbnd1a  21146  probdif  24457  ballotlemsi  24551  lgamcvg2  24618  axsegconlem9  25578  axpaschlem  25593  bpolydiflem  25814  itgaddnclem2  25964  jm2.27c  26769  jm3.1lem2  26780  stirlinglem5  27495  sigarcol  27522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-sub 9225
  Copyright terms: Public domain W3C validator