MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Structured version   Unicode version

Theorem pncand 9404
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncand  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan 9303 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   CCcc 8980    + caddc 8985    - cmin 9283
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  11012  xov1plusxeqvd  11033  zesq  11494  brfi1indlem  11706  ccatval3  11739  fsumrev2  12557  binom1dif  12604  sadcp1  12959  smupp1  12984  hashdvds  13156  pythagtriplem4  13185  pythagtriplem6  13187  pythagtriplem7  13188  pythagtriplem12  13192  pythagtriplem14  13194  pcqdiv  13223  mulgdirlem  14906  blhalf  18427  pjthlem1  19330  ovolicopnf  19412  i1faddlem  19577  itg1addlem4  19583  ftc1lem4  19915  aaliou3lem8  20254  taylthlem2  20282  ulmshft  20298  efif1olem2  20437  efif1olem4  20439  quart1lem  20687  asinsin  20724  efiatan2  20749  logdiflbnd  20825  harmonicbnd4  20841  ftalem1  20847  ftalem2  20848  bcctr  21051  pcbcctr  21052  bcp1ctr  21055  2sqblem  21153  mulog2sumlem1  21220  mulog2sumlem3  21222  pntrlog2bndlem2  21264  pntrlog2bndlem4  21266  pntrlog2bndlem5  21267  pntrlog2bndlem6  21269  eupatrl  21682  pjhthlem1  22885  dya2icoseg  24619  ballotlemfc0  24742  ballotlemfcc  24743  ballotlemsgt1  24760  ballotlemsel1i  24762  ballotlemsima  24765  ballotlem1ri  24784  lgamgulmlem2  24806  lgamcvg2  24831  relgamcl  24838  pnpncand  25199  fprodp1  25284  fprodshft  25292  risefacp1  25337  fallfacp1  25338  colinearalglem4  25840  axpaschlem  25871  bpolydiflem  26092  fsumcube  26098  itg2addnclem  26246  itg2addnclem3  26248  ftc1cnnclem  26268  areacirclem5  26286  ssbnd  26488  jm2.19lem4  27054  jm2.23  27058  jm3.1lem1  27079  climinf  27699  stoweidlem17  27733  wallispilem4  27784  wallispilem5  27785  stirlinglem1  27790  stirlinglem5  27794  stirlinglem6  27795  stirlinglem10  27799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-sub 9285
  Copyright terms: Public domain W3C validator