MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Structured version   Unicode version

Theorem pncand 9417
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncand  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan 9316 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726  (class class class)co 6084   CCcc 8993    + caddc 8998    - cmin 9296
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  11025  xov1plusxeqvd  11046  zesq  11507  brfi1indlem  11719  ccatval3  11752  fsumrev2  12570  binom1dif  12617  sadcp1  12972  smupp1  12997  hashdvds  13169  pythagtriplem4  13198  pythagtriplem6  13200  pythagtriplem7  13201  pythagtriplem12  13205  pythagtriplem14  13207  pcqdiv  13236  mulgdirlem  14919  blhalf  18440  pjthlem1  19343  ovolicopnf  19425  i1faddlem  19588  itg1addlem4  19594  ftc1lem4  19928  aaliou3lem8  20267  taylthlem2  20295  ulmshft  20311  efif1olem2  20450  efif1olem4  20452  quart1lem  20700  asinsin  20737  efiatan2  20762  logdiflbnd  20838  harmonicbnd4  20854  ftalem1  20860  ftalem2  20861  bcctr  21064  pcbcctr  21065  bcp1ctr  21068  2sqblem  21166  mulog2sumlem1  21233  mulog2sumlem3  21235  pntrlog2bndlem2  21277  pntrlog2bndlem4  21279  pntrlog2bndlem5  21280  pntrlog2bndlem6  21282  eupatrl  21695  pjhthlem1  22898  dya2icoseg  24632  ballotlemfc0  24755  ballotlemfcc  24756  ballotlemsgt1  24773  ballotlemsel1i  24775  ballotlemsima  24778  ballotlem1ri  24797  lgamgulmlem2  24819  lgamcvg2  24844  relgamcl  24851  pnpncand  25212  fprodp1  25297  fprodshft  25305  risefacp1  25350  fallfacp1  25351  colinearalglem4  25853  axpaschlem  25884  bpolydiflem  26105  fsumcube  26111  sin2h  26250  itg2addnclem  26270  itg2addnclem3  26272  ftc1cnnclem  26292  areacirclem4  26309  ssbnd  26511  jm2.19lem4  27077  jm2.23  27081  jm3.1lem1  27102  climinf  27722  stoweidlem17  27756  wallispilem4  27807  wallispilem5  27808  stirlinglem1  27813  stirlinglem5  27817  stirlinglem6  27818  stirlinglem10  27822  wrdlenccats1lenm1  28212  wwlknimp  28369  wlklniswwlkn2  28382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-sub 9298
  Copyright terms: Public domain W3C validator