MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Unicode version

Theorem pncand 9345
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncand  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan 9244 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6021   CCcc 8922    + caddc 8927    - cmin 9224
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  10953  xov1plusxeqvd  10974  zesq  11430  brfi1indlem  11642  ccatval3  11675  fsumrev2  12493  binom1dif  12540  sadcp1  12895  smupp1  12920  hashdvds  13092  pythagtriplem4  13121  pythagtriplem6  13123  pythagtriplem7  13124  pythagtriplem12  13128  pythagtriplem14  13130  pcqdiv  13159  mulgdirlem  14842  blhalf  18335  pjthlem1  19206  ovolicopnf  19288  i1faddlem  19453  itg1addlem4  19459  ftc1lem4  19791  aaliou3lem8  20130  taylthlem2  20158  ulmshft  20174  efif1olem2  20313  efif1olem4  20315  quart1lem  20563  asinsin  20600  efiatan2  20625  logdiflbnd  20701  harmonicbnd4  20717  ftalem1  20723  ftalem2  20724  bcctr  20927  pcbcctr  20928  bcp1ctr  20931  2sqblem  21029  mulog2sumlem1  21096  mulog2sumlem3  21098  pntrlog2bndlem2  21140  pntrlog2bndlem4  21142  pntrlog2bndlem5  21143  pntrlog2bndlem6  21145  eupatrl  21539  pjhthlem1  22742  dya2icoseg  24422  ballotlemfc0  24530  ballotlemfcc  24531  ballotlemsgt1  24548  ballotlemsel1i  24550  ballotlemsima  24553  ballotlem1ri  24572  lgamgulmlem2  24594  lgamcvg2  24619  relgamcl  24626  pnpncand  24987  fprodp1  25072  fprodshft  25080  risefacp1  25114  fallfacp1  25115  colinearalglem4  25563  axpaschlem  25594  bpolydiflem  25815  fsumcube  25821  itg2addnclem  25958  itg2addnc  25960  itgaddnclem2  25965  ftc1cnnclem  25979  areacirclem5  25987  ssbnd  26189  jm2.19lem4  26755  jm2.23  26759  jm3.1lem1  26780  climinf  27401  stoweidlem17  27435  wallispilem4  27486  wallispilem5  27487  stirlinglem1  27492  stirlinglem5  27496  stirlinglem6  27497  stirlinglem10  27501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-ltxr 9059  df-sub 9226
  Copyright terms: Public domain W3C validator