MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Unicode version

Theorem pncand 9174
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncand  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan 9073 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751    + caddc 8756    - cmin 9053
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  10775  xov1plusxeqvd  10796  zesq  11240  ccatval3  11449  fsumrev2  12260  binom1dif  12307  sadcp1  12662  smupp1  12687  hashdvds  12859  pythagtriplem4  12888  pythagtriplem6  12890  pythagtriplem7  12891  pythagtriplem12  12895  pythagtriplem14  12897  pcqdiv  12926  mulgdirlem  14607  blhalf  17976  pjthlem1  18817  ovolicopnf  18899  i1faddlem  19064  itg1addlem4  19070  ftc1lem4  19402  aaliou3lem8  19741  taylthlem2  19769  ulmshft  19785  efif1olem2  19921  efif1olem4  19923  quart1lem  20167  asinsin  20204  efiatan2  20229  harmonicbnd4  20320  ftalem1  20326  ftalem2  20327  bcctr  20530  pcbcctr  20531  bcp1ctr  20534  2sqblem  20632  mulog2sumlem1  20699  mulog2sumlem3  20701  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem5  20746  pntrlog2bndlem6  20748  pjhthlem1  21986  ballotlemfc0  23067  ballotlemfcc  23068  ballotlemsgt1  23085  ballotlemsel1i  23087  ballotlemsima  23090  ballotlem1ri  23109  dya2iocseg  23594  faclimlem5  24121  colinearalglem4  24609  axpaschlem  24640  bpolydiflem  24861  itg2addnclem  25003  itg2addnc  25005  itgaddnclem2  25010  ftc1cnnclem  25024  areacirclem5  25032  ssbnd  26615  jm2.19lem4  27188  jm2.23  27192  jm3.1lem1  27213  climinf  27835  wallispilem4  27920  wallispilem5  27921  stirlinglem1  27926  stirlinglem5  27930  stirlinglem10  27935  eupatrl  28385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055
  Copyright terms: Public domain W3C validator