MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Unicode version

Theorem pncand 9158
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncand  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan 9057 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  10759  xov1plusxeqvd  10780  zesq  11224  ccatval3  11433  fsumrev2  12244  binom1dif  12291  sadcp1  12646  smupp1  12671  hashdvds  12843  pythagtriplem4  12872  pythagtriplem6  12874  pythagtriplem7  12875  pythagtriplem12  12879  pythagtriplem14  12881  pcqdiv  12910  mulgdirlem  14591  blhalf  17960  pjthlem1  18801  ovolicopnf  18883  i1faddlem  19048  itg1addlem4  19054  ftc1lem4  19386  aaliou3lem8  19725  taylthlem2  19753  ulmshft  19769  efif1olem2  19905  efif1olem4  19907  quart1lem  20151  asinsin  20188  efiatan2  20213  harmonicbnd4  20304  ftalem1  20310  ftalem2  20311  bcctr  20514  pcbcctr  20515  bcp1ctr  20518  2sqblem  20616  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem3  20685  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6  20732  pjhthlem1  21970  ballotlemfc0  23051  ballotlemfcc  23052  ballotlemsgt1  23069  ballotlemsel1i  23071  ballotlemsima  23074  ballotlem1ri  23093  dya2iocseg  23579  colinearalglem4  24537  axpaschlem  24568  bpolydiflem  24789  areacirclem5  24929  ssbnd  26512  jm2.19lem4  27085  jm2.23  27089  jm3.1lem1  27110  climinf  27732  wallispilem4  27817  wallispilem5  27818  stirlinglem1  27823  stirlinglem5  27827  stirlinglem10  27832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039
  Copyright terms: Public domain W3C validator