MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfge Structured version   Unicode version

Theorem pnfge 10727
Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
pnfge  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )

Proof of Theorem pnfge
StepHypRef Expression
1 pnfnlt 10725 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  A )
2 pnfxr 10713 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
3 xrlenlt 9143 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  <_  +oo  <->  -.  +oo  <  A
) )
42, 3mpan2 653 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_  +oo  <->  -.  +oo  <  A
) )
51, 4mpbird 224 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1725   class class class wbr 4212    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  nn0pnfge0  10728  nltpnft  10754  xrre2  10758  xleadd1a  10832  xlt2add  10839  xsubge0  10840  xlesubadd  10842  xlemul1a  10867  xadddi2  10876  elico2  10974  iccmax  10986  elxrge0  11008  hashdom  11653  hashdomi  11654  hashge1  11663  pcge0  13235  pcdvdsb  13242  pc2dvds  13252  pcaddlem  13257  xrsdsreclblem  16744  leordtvallem1  17274  leordtval2  17276  lecldbas  17283  isxmet2d  18357  blssec  18465  nmoix  18763  nmoleub  18765  xrtgioo  18837  xrge0tsms  18865  metdstri  18881  iccpnfcnv  18969  nmoleub2lem  19122  ovolf  19378  ovollb2  19385  ovoliun  19401  ovolre  19421  voliunlem3  19446  volsup  19450  icombl  19458  ioombl  19459  ismbfd  19532  itg2seq  19634  dvfsumrlim  19915  dvfsumrlim2  19916  taylfval  20275  radcnvcl  20333  xrlimcnp  20807  logfacbnd3  21007  log2sumbnd  21238  sizeusglecusg  21495  xrdifh  24143  elxrge02  24178  xrge0adddir  24215  fsumrp0cl  24217  xrge0tsmsd  24223  unitssxrge0  24298  tpr2rico  24310  xrge0iifcnv  24319  xrge0mulc1cn  24327  lmlimxrge0  24334  rge0scvg  24335  lmxrge0  24337  lmdvg  24338  esum0  24444  esumle  24449  esumlef  24454  esumfsupre  24461  esumpinfval  24463  esumpfinvallem  24464  esumpfinval  24465  esumpfinvalf  24466  esumpinfsum  24467  esumpcvgval  24468  esummulc1  24471  hashf2  24474  esumcvg  24476  sxbrsigalem2  24636  ismblfin  26247  ftc1anc  26288  vdgfrgragt2  28418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-cnv 4886  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator