MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfge Unicode version

Theorem pnfge 10469
Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
pnfge  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )

Proof of Theorem pnfge
StepHypRef Expression
1 pnfnlt 10467 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  A )
2 pnfxr 10455 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
3 xrlenlt 8890 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  <_  +oo  <->  -.  +oo  <  A
) )
42, 3mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_  +oo  <->  -.  +oo  <  A
) )
51, 4mpbird 223 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  nltpnft  10495  xrre2  10499  xleadd1a  10573  xlt2add  10580  xsubge0  10581  xlesubadd  10583  xlemul1a  10608  xadddi2  10617  elico2  10714  iccmax  10725  elxrge0  10747  hashdom  11361  hashdomi  11362  pcge0  12914  pcdvdsb  12921  pc2dvds  12931  pcaddlem  12936  xrsdsreclblem  16417  leordtvallem1  16940  leordtval2  16942  lecldbas  16949  isxmet2d  17892  blssec  17981  nmoix  18238  nmoleub  18240  xrtgioo  18312  xrge0tsms  18339  metdstri  18355  iccpnfcnv  18442  nmoleub2lem  18595  ovolf  18841  ovollb2  18848  ovoliun  18864  ovolre  18884  voliunlem3  18909  volsup  18913  icombl  18921  ioombl  18922  ismbfd  18995  itg2seq  19097  dvfsumrlim  19378  dvfsumrlim2  19379  taylfval  19738  tayl0  19741  radcnvcl  19793  xrlimcnp  20263  logfacbnd3  20462  log2sumbnd  20693  elxrge02  23116  xrdifh  23273  unitssxrge0  23284  tpr2rico  23296  xrge0iifcnv  23315  xrge0mulc1cn  23323  xrge0adddir  23332  fsumrp0cl  23334  lmlimxrge0  23372  rge0scvg  23373  lmxrge0  23375  lmdvg  23376  xrge0tsmsd  23382  hashge1  23388  esum0  23428  esumle  23433  esumlef  23435  esumpinfval  23441  esumpfinvallem  23442  esumpfinval  23443  esumpfinvalf  23444  esumpinfsum  23445  esumpcvgval  23446  esummulc1  23449  hashf2  23452  esumcvg  23454  oisbmj  25504  oibbi1  25509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator