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Theorem pnfnei 17208
Description: A neighborhood of  +oo contains an unbounded interval based at a real number. Together with xrtgioo 18710 (which describes neighborhoods of  RR) and mnfnei 17209, this gives all "negative" topological information ensuring that it is not too fine (and of course iooordt 17205 and similar ensure that it has all the sets we want). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem pnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2389 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )
2 eqid 2389 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
3 eqid 2389 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 17201 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2453 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 16955 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  +oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  +oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3433 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3433 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 2904 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )
1110elrnmpt 5059 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
) )
129, 11ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
)
13 mnfxr 10648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  e.  RR*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  -oo  e.  RR* )
15 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
y  e.  RR* )
16 0xr 9066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
17 ifcl 3720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
19 pnfxr 10647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +oo  e.  RR*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
21 xrmax1 10697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
2216, 15, 21sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
23 ge0gtmnf 10694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
2418, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
25 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  +oo  e.  u )
26 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  u  =  ( y (,]  +oo ) )
2725, 26eleqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  +oo  e.  ( y (,] 
+oo ) )
28 elioc1 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (  +oo  e.  ( y (,] 
+oo )  <->  (  +oo  e.  RR*  /\  y  <  +oo  /\  +oo  <_  +oo )
) )
2915, 19, 28sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
(  +oo  e.  (
y (,]  +oo )  <->  (  +oo  e.  RR*  /\  y  <  +oo  /\  +oo  <_  +oo )
) )
3027, 29mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
(  +oo  e.  RR*  /\  y  <  +oo  /\  +oo  <_  +oo ) )
3130simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
y  <  +oo )
32 0re 9026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
33 ltpnf 10655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  +oo
35 breq1 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( y  <  +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
)
36 breq1 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( 0  <  +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
)
3735, 36ifboth 3715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  <  +oo  /\  0  <  +oo )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
3831, 34, 37sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
39 xrre2 10692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
4014, 18, 20, 24, 38, 39syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
41 xrmax2 10698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
4216, 15, 41sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
y  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
43 df-ioc 10855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
44 xrlelttr 10680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( y  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  <  x )  -> 
y  <  x )
)
4543, 43, 44ixxss1 10868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  (
y (,]  +oo ) )
4615, 42, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  (
y (,]  +oo ) )
47 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  u  C_  A )
4826, 47eqsstr3d 3328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
( y (,]  +oo )  C_  A )
4946, 48sstrd 3303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  A
)
50 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( x (,]  +oo )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,]  +oo )
)
5150sseq1d 3320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( ( x (,] 
+oo )  C_  A  <->  ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) (,]  +oo )  C_  A ) )
5251rspcev 2997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
5340, 49, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A )
5453rexlimdvaa 2776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
+oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( y (,]  +oo )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
5554com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (
(  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
5612, 55sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  -> 
( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
57 eqid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
5857elrnmpt 5059 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) ) )
599, 58ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) )
60 pnfnlt 10659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  y )
61 elico1 10893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  +oo  e.  (  -oo [,) y )  <->  (  +oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  +oo 
/\  +oo  <  y ) ) )
6213, 61mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  +oo  e.  (  -oo [,) y
)  <->  (  +oo  e.  RR* 
/\  -oo  <_  +oo  /\  +oo 
<  y ) ) )
63 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  +oo  /\  +oo  <  y )  ->  +oo  <  y
)
6462, 63syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  +oo  e.  (  -oo [,) y
)  ->  +oo  <  y
) )
6560, 64mtod 170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  e.  (  -oo [,) y
) )
66 eleq2 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  (  -oo [,) y )  ->  (  +oo  e.  u  <->  +oo  e.  ( 
-oo [,) y ) ) )
6766notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  (  -oo [,) y )  ->  ( -.  +oo  e.  u  <->  -.  +oo  e.  (  -oo [,) y ) ) )
6865, 67syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  (  -oo [,) y )  ->  -.  +oo 
e.  u ) )
6968rexlimiv 2769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  -.  +oo  e.  u )
7069pm2.21d 100 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  (  +oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
7170adantrd 455 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
7259, 71sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  -> 
( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
7356, 72jaoi 369 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
748, 73sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
75 pnfnre 9062 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e/  RR
76 df-nel 2555 . . . . . . . . . 10  |-  (  +oo  e/  RR  <->  -.  +oo  e.  RR )
7775, 76mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  -.  +oo  e.  RR
78 elssuni 3987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
79 unirnioo 10938 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
8078, 79syl6sseqr 3340 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
8180sseld 3292 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
+oo  e.  u  ->  +oo 
e.  RR ) )
8277, 81mtoi 171 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. 
+oo  e.  u )
8382pm2.21d 100 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
+oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  (
x (,]  +oo )  C_  A ) )
8483adantrd 455 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
8574, 84jaoi 369 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
867, 85sylbi 188 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
8786rexlimiv 2769 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A )
886, 87syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  +oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
895, 88sylanb 459 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    e/ wnel 2553   E.wrex 2652   _Vcvv 2901    u. cun 3263    C_ wss 3265   ifcif 3684   U.cuni 3959   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ran crn 4821   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RRcr 8924   0cc0 8925    +oocpnf 9052    -oocmnf 9053   RR*cxr 9054    < clt 9055    <_ cle 9056   (,)cioo 10850   (,]cioc 10851   [,)cico 10852   topGenctg 13594  ordTopcordt 13650
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  18738  xrlimcnp  20676  xrge0tsmsd  24054  pnfneige0  24142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-topgen 13596  df-ordt 13654  df-ps 14558  df-tsr 14559  df-top 16888  df-bases 16890
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