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Theorem pnfnei 17284
Description: A neighborhood of  +oo contains an unbounded interval based at a real number. Together with xrtgioo 18837 (which describes neighborhoods of  RR) and mnfnei 17285, this gives all "negative" topological information ensuring that it is not too fine (and of course iooordt 17281 and similar ensure that it has all the sets we want). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem pnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )
2 eqid 2436 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
3 eqid 2436 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 17277 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2500 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 17030 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  +oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  +oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3488 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3488 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )
1110elrnmpt 5117 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
) )
129, 11ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
)
13 mnfxr 10714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  e.  RR*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  -oo  e.  RR* )
15 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
y  e.  RR* )
16 0xr 9131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
17 ifcl 3775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
19 pnfxr 10713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +oo  e.  RR*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
21 xrmax1 10763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
2216, 15, 21sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
23 ge0gtmnf 10760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
2418, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
25 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  +oo  e.  u )
26 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  u  =  ( y (,]  +oo ) )
2725, 26eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  +oo  e.  ( y (,] 
+oo ) )
28 elioc1 10958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (  +oo  e.  ( y (,] 
+oo )  <->  (  +oo  e.  RR*  /\  y  <  +oo  /\  +oo  <_  +oo )
) )
2915, 19, 28sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
(  +oo  e.  (
y (,]  +oo )  <->  (  +oo  e.  RR*  /\  y  <  +oo  /\  +oo  <_  +oo )
) )
3027, 29mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
(  +oo  e.  RR*  /\  y  <  +oo  /\  +oo  <_  +oo ) )
3130simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
y  <  +oo )
32 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
33 ltpnf 10721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  +oo
35 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( y  <  +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
)
36 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( 0  <  +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
)
3735, 36ifboth 3770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  <  +oo  /\  0  <  +oo )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
3831, 34, 37sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
39 xrre2 10758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
4014, 18, 20, 24, 38, 39syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
41 xrmax2 10764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
4216, 15, 41sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
y  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
43 df-ioc 10921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
44 xrlelttr 10746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( y  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  <  x )  -> 
y  <  x )
)
4543, 43, 44ixxss1 10934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  (
y (,]  +oo ) )
4615, 42, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  (
y (,]  +oo ) )
47 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  u  C_  A )
4826, 47eqsstr3d 3383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
( y (,]  +oo )  C_  A )
4946, 48sstrd 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  A
)
50 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( x (,]  +oo )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,]  +oo )
)
5150sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( ( x (,] 
+oo )  C_  A  <->  ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) (,]  +oo )  C_  A ) )
5251rspcev 3052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
5340, 49, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A )
5453rexlimdvaa 2831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
+oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( y (,]  +oo )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
5554com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (
(  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
5612, 55sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  -> 
( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
57 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
5857elrnmpt 5117 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) ) )
599, 58ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) )
60 pnfnlt 10725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  y )
61 elico1 10959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  +oo  e.  (  -oo [,) y )  <->  (  +oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  +oo 
/\  +oo  <  y ) ) )
6213, 61mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  +oo  e.  (  -oo [,) y
)  <->  (  +oo  e.  RR* 
/\  -oo  <_  +oo  /\  +oo 
<  y ) ) )
63 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  +oo  /\  +oo  <  y )  ->  +oo  <  y
)
6462, 63syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  +oo  e.  (  -oo [,) y
)  ->  +oo  <  y
) )
6560, 64mtod 170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  e.  (  -oo [,) y
) )
66 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  (  -oo [,) y )  ->  (  +oo  e.  u  <->  +oo  e.  ( 
-oo [,) y ) ) )
6766notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  (  -oo [,) y )  ->  ( -.  +oo  e.  u  <->  -.  +oo  e.  (  -oo [,) y ) ) )
6865, 67syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  (  -oo [,) y )  ->  -.  +oo 
e.  u ) )
6968rexlimiv 2824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  -.  +oo  e.  u )
7069pm2.21d 100 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  (  +oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
7170adantrd 455 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
7259, 71sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  -> 
( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
7356, 72jaoi 369 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
748, 73sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
75 pnfnre 9127 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e/  RR
7675neli 2697 . . . . . . . . 9  |-  -.  +oo  e.  RR
77 elssuni 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
78 unirnioo 11004 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
7977, 78syl6sseqr 3395 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
8079sseld 3347 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
+oo  e.  u  ->  +oo 
e.  RR ) )
8176, 80mtoi 171 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. 
+oo  e.  u )
8281pm2.21d 100 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
+oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  (
x (,]  +oo )  C_  A ) )
8382adantrd 455 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
8474, 83jaoi 369 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
857, 84sylbi 188 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
8685rexlimiv 2824 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A )
876, 86syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  +oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
885, 87sylanb 459 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    u. cun 3318    C_ wss 3320   ifcif 3739   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    +oocpnf 9117    -oocmnf 9118   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   (,)cioo 10916   (,]cioc 10917   [,)cico 10918   topGenctg 13665  ordTopcordt 13721
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  18865  xrlimcnp  20807  xrge0tsmsd  24223  pnfneige0  24336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-topgen 13667  df-ordt 13725  df-ps 14629  df-tsr 14630  df-top 16963  df-bases 16965
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