Theorem pnfnei 17246

Description: A neighborhood of +oo contains an unbounded interval based at a real number. Together with xrtgioo 18798 (which describes neighborhoods of RR) and mnfnei 17247, this gives all "negative" topological information ensuring that it is not too fine (and of course iooordt 17243 and similar ensure that it has all the sets we want). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnei	|- ( ( A e. (ordTop ` <_ ) /\ +oo e. A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem pnfnei

Dummy variables a b c u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2412	. . . 4 |- ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) = ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) )
2		eqid 2412	. . . 4 |- ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) = ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) )
3		eqid 2412	. . . 4 |- ran (,) = ran (,)
4	1, 2, 3	leordtval 17239	. . 3 |- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) )
5	4	eleq2i 2476	. 2 |- ( A e. (ordTop ` <_ ) <-> A e. ( topGen ` ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ) )
6		tg2 16993	. . 3 |- ( ( A e. ( topGen ` ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ) /\ +oo e. A ) -> E. u e. ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ( +oo e. u /\ u C_ A ) )
7		elun 3456	. . . . 5 |- ( u e. ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) <-> ( u e. ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) \/ u e. ran (,) ) )
8		elun 3456	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) <-> ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) \/ u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) )
9		vex 2927	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
10		eqid 2412	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) = ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) )
11	10	elrnmpt 5084	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. _V -> ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) <-> E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) ) )
12	9, 11	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) <-> E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) )
13		mnfxr 10678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -oo e. RR*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> -oo e. RR* )
15		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> y e. RR* )
16		0xr 9095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR*
17		ifcl 3743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR* )
18	15, 16, 17	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR* )
19		pnfxr 10677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e. RR*
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> +oo e. RR* )
21		xrmax1 10727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ y e. RR* ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
22	16, 15, 21	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
23		ge0gtmnf 10724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR* /\ 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) -> -oo < if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
24	18, 22, 23	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> -oo < if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
25		simpll 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> +oo e. u )
26		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> u = ( y (,] +oo ) )
27	25, 26	eleqtrd 2488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> +oo e. ( y (,] +oo ) )
28		elioc1 10922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( +oo e. ( y (,] +oo ) <-> ( +oo e. RR* /\ y < +oo /\ +oo <_ +oo ) ) )
29	15, 19, 28	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> ( +oo e. ( y (,] +oo ) <-> ( +oo e. RR* /\ y < +oo /\ +oo <_ +oo ) ) )
30	27, 29	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> ( +oo e. RR* /\ y < +oo /\ +oo <_ +oo ) )
31	30	simp2d 970	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> y < +oo )
32		0re 9055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
33		ltpnf 10685	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 e. RR -> 0 < +oo )
34	32, 33	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < +oo
35		breq1 4183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = if ( 0 <_ y , y , 0 ) -> ( y < +oo <-> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < +oo ) )
36		breq1 4183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 = if ( 0 <_ y , y , 0 ) -> ( 0 < +oo <-> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < +oo ) )
37	35, 36	ifboth 3738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y < +oo /\ 0 < +oo ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < +oo )
38	31, 34, 37	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < +oo )
39		xrre2 10722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( -oo < if ( 0 <_ y , y , 0 ) /\ if ( 0 <_ y , y , 0 ) < +oo ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
40	14, 18, 20, 24, 38, 39	syl32anc 1192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
41		xrmax2 10728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ y e. RR* ) -> y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
42	16, 15, 41	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
43		df-ioc 10885	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (,] = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { c e. RR* | ( a < c /\ c <_ b ) } )
44		xrlelttr 10710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR* /\ if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( ( y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) /\ if ( 0 <_ y , y , 0 ) < x ) -> y < x ) )
45	43, 43, 44	ixxss1 10898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR* /\ y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) -> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) (,] +oo ) C_ ( y (,] +oo ) )
46	15, 42, 45	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) (,] +oo ) C_ ( y (,] +oo ) )
47		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> u C_ A )
48	26, 47	eqsstr3d 3351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> ( y (,] +oo ) C_ A )
49	46, 48	sstrd 3326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) (,] +oo ) C_ A )
50		oveq1 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = if ( 0 <_ y , y , 0 ) -> ( x (,] +oo ) = ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) (,] +oo ) )
51	50	sseq1d 3343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = if ( 0 <_ y , y , 0 ) -> ( ( x (,] +oo ) C_ A <-> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) (,] +oo ) C_ A ) )
52	51	rspcev 3020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR /\ ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) (,] +oo ) C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A )
53	40, 49, 52	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A )
54	53	rexlimdvaa 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> ( E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
55	54	com12 29	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
56	12, 55	sylbi 188	. . . . . . . 8 |- ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
57		eqid 2412	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) = ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) )
58	57	elrnmpt 5084	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. _V -> ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) <-> E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) ) )
59	9, 58	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) <-> E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) )
60		pnfnlt 10689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> -. +oo < y )
61		elico1 10923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( +oo e. ( -oo [,) y ) <-> ( +oo e. RR* /\ -oo <_ +oo /\ +oo < y ) ) )
62	13, 61	mpan 652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR* -> ( +oo e. ( -oo [,) y ) <-> ( +oo e. RR* /\ -oo <_ +oo /\ +oo < y ) ) )
63		simp3 959	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo <_ +oo /\ +oo < y ) -> +oo < y )
64	62, 63	syl6bi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> ( +oo e. ( -oo [,) y ) -> +oo < y ) )
65	60, 64	mtod 170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR* -> -. +oo e. ( -oo [,) y ) )
66		eleq2 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( -oo [,) y ) -> ( +oo e. u <-> +oo e. ( -oo [,) y ) ) )
67	66	notbid 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( -oo [,) y ) -> ( -. +oo e. u <-> -. +oo e. ( -oo [,) y ) ) )
68	65, 67	syl5ibrcom 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR* -> ( u = ( -oo [,) y ) -> -. +oo e. u ) )
69	68	rexlimiv 2792	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) -> -. +oo e. u )
70	69	pm2.21d 100	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) -> ( +oo e. u -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
71	70	adantrd 455	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
72	59, 71	sylbi 188	. . . . . . . 8 |- ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
73	56, 72	jaoi 369	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) \/ u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
74	8, 73	sylbi 188	. . . . . 6 |- ( u e. ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
75		pnfnre 9091	. . . . . . . . . 10 |- +oo e/ RR
76		df-nel 2578	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo e/ RR <-> -. +oo e. RR )
77	75, 76	mpbi 200	. . . . . . . . 9 |- -. +oo e. RR
78		elssuni 4011	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ran (,) -> u C_ U. ran (,) )
79		unirnioo 10968	. . . . . . . . . . 11 |- RR = U. ran (,)
80	78, 79	syl6sseqr 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ran (,) -> u C_ RR )
81	80	sseld 3315	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ran (,) -> ( +oo e. u -> +oo e. RR ) )
82	77, 81	mtoi 171	. . . . . . . 8 |- ( u e. ran (,) -> -. +oo e. u )
83	82	pm2.21d 100	. . . . . . 7 |- ( u e. ran (,) -> ( +oo e. u -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
84	83	adantrd 455	. . . . . 6 |- ( u e. ran (,) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
85	74, 84	jaoi 369	. . . . 5 |- ( ( u e. ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) \/ u e. ran (,) ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
86	7, 85	sylbi 188	. . . 4 |- ( u e. ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
87	86	rexlimiv 2792	. . 3 |- ( E. u e. ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A )
88	6, 87	syl 16	. 2 |- ( ( A e. ( topGen ` ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ) /\ +oo e. A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A )
89	5, 88	sylanb 459	1 |- ( ( A e. (ordTop ` <_ ) /\ +oo e. A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   e/ wnel 2576   E.wrex 2675   _Vcvv 2924   u. cun 3286   C_ wss 3288   ifcif 3707   U.cuni 3983   class class class wbr 4180   e. cmpt 4234   ran crn 4846   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954   +oocpnf 9081   -oocmnf 9082   RR*cxr 9083   < clt 9084   <_ cle 9085   (,)cioo 10880   (,]cioc 10881   [,)cico 10882   topGenctg 13628  ordTopcordt 13684

This theorem is referenced by:  xrge0tsms  18826  xrlimcnp  20768  xrge0tsmsd  24184  pnfneige0  24297

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-topgen 13630  df-ordt 13688  df-ps 14592  df-tsr 14593  df-top 16926  df-bases 16928