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Theorem pnfnei 16950
Description: A neighborhood of  +oo contains an unbounded interval based at a real number. Together with xrtgioo 18312 (which describes neighborhoods of  RR) and mnfnei 16951, this gives all "negative" topological information ensuring that it is not too fine (and of course iooordt 16947 and similar ensure that it has all the sets we want). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem pnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 16943 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2347 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 16703 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  +oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  +oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3316 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3316 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )
1110elrnmpt 4926 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
) )
129, 11ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
)
13 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -oo  e.  RR*
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  -oo  e.  RR* )
15 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
y  e.  RR* )
16 0xr 8878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
17 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
1815, 16, 17sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
19 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  +oo  e.  RR*
2019a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
21 xrmax1 10504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
2216, 15, 21sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
23 ge0gtmnf 10501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
2418, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
25 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  +oo  e.  u )
26 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  u  =  ( y (,]  +oo ) )
2725, 26eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  +oo  e.  ( y (,] 
+oo ) )
28 elioc1 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (  +oo  e.  ( y (,] 
+oo )  <->  (  +oo  e.  RR*  /\  y  <  +oo  /\  +oo  <_  +oo )
) )
2915, 19, 28sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
(  +oo  e.  (
y (,]  +oo )  <->  (  +oo  e.  RR*  /\  y  <  +oo  /\  +oo  <_  +oo )
) )
3027, 29mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
(  +oo  e.  RR*  /\  y  <  +oo  /\  +oo  <_  +oo ) )
3130simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
y  <  +oo )
32 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
33 ltpnf 10463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  +oo
35 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( y  <  +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
)
36 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( 0  <  +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
)
3735, 36ifboth 3596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  <  +oo  /\  0  <  +oo )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
3831, 34, 37sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
39 xrre2 10499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
4014, 18, 20, 24, 38, 39syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
41 xrmax2 10505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
4216, 15, 41sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
y  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
43 df-ioc 10661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
44 xrlelttr 10487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( y  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  <  x )  -> 
y  <  x )
)
4543, 43, 44ixxss1 10674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  (
y (,]  +oo ) )
4615, 42, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  (
y (,]  +oo ) )
47 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  u  C_  A )
4826, 47eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
( y (,]  +oo )  C_  A )
4946, 48sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  A
)
50 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( x (,]  +oo )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,]  +oo )
)
5150sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( ( x (,] 
+oo )  C_  A  <->  ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) (,]  +oo )  C_  A ) )
5251rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
5340, 49, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A )
5453expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( u  =  ( y (,]  +oo )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
5554rexlimdva 2667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
+oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( y (,]  +oo )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
5655com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (
(  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
5712, 56sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  -> 
( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
58 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
5958elrnmpt 4926 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) ) )
609, 59ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) )
61 pnfnlt 10467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  y )
62 elico1 10699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  +oo  e.  (  -oo [,) y )  <->  (  +oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  +oo 
/\  +oo  <  y ) ) )
6313, 62mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  +oo  e.  (  -oo [,) y
)  <->  (  +oo  e.  RR* 
/\  -oo  <_  +oo  /\  +oo 
<  y ) ) )
64 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  +oo  /\  +oo  <  y )  ->  +oo  <  y
)
6563, 64syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  +oo  e.  (  -oo [,) y
)  ->  +oo  <  y
) )
6661, 65mtod 168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  e.  (  -oo [,) y
) )
67 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  (  -oo [,) y )  ->  (  +oo  e.  u  <->  +oo  e.  ( 
-oo [,) y ) ) )
6867notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  (  -oo [,) y )  ->  ( -.  +oo  e.  u  <->  -.  +oo  e.  (  -oo [,) y ) ) )
6966, 68syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  (  -oo [,) y )  ->  -.  +oo 
e.  u ) )
7069rexlimiv 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  -.  +oo  e.  u )
7170pm2.21d 98 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  (  +oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
7271adantrd 454 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
7360, 72sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  -> 
( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
7457, 73jaoi 368 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
758, 74sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
76 pnfnre 8874 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e/  RR
77 df-nel 2449 . . . . . . . . . 10  |-  (  +oo  e/  RR  <->  -.  +oo  e.  RR )
7876, 77mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  -.  +oo  e.  RR
79 elssuni 3855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
80 unirnioo 10743 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
8179, 80syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
8281sseld 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
+oo  e.  u  ->  +oo 
e.  RR ) )
8378, 82mtoi 169 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. 
+oo  e.  u )
8483pm2.21d 98 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
+oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  (
x (,]  +oo )  C_  A ) )
8584adantrd 454 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
8675, 85jaoi 368 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
877, 86sylbi 187 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
8887rexlimiv 2661 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A )
896, 88syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  +oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
905, 89sylanb 458 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    e/ wnel 2447   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   ifcif 3565   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   (,]cioc 10657   [,)cico 10658   topGenctg 13342  ordTopcordt 13398
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  18339  xrlimcnp  20263  pnfneige0  23374  xrge0tsmsd  23382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-topgen 13344  df-ordt 13402  df-ps 14306  df-tsr 14307  df-top 16636  df-bases 16638
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