Theorem pnfnemnf 5460

Description: Plus and minus infinity are distinguished elements of RR*.

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	|- +oo =/= -oo

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 4406	. . 3 |- -. +oo ~< +oo
2		df-mnf 5411	. . . . 5 |- -oo = P~+oo
3	2	eqeq2i 1461	. . . 4 |- (+oo = -oo <-> +oo = P~+oo)
4		df-pnf 5410	. . . . . . 7 |- +oo = P~U.CC
5		axcnex 5190	. . . . . . . . 9 |- CC e. V
6	5	uniex 2834	. . . . . . . 8 |- U.CC e. V
7	6	pwex 2713	. . . . . . 7 |- P~U.CC e. V
8	4, 7	eqeltr 1520	. . . . . 6 |- +oo e. V
9	8	canth2 4418	. . . . 5 |- +oo ~< P~+oo
10		breq2 2591	. . . . 5 |- (+oo = P~+oo -> (+oo ~< +oo <-> +oo ~< P~+oo))
11	9, 10	mpbiri 194	. . . 4 |- (+oo = P~+oo -> +oo ~< +oo)
12	3, 11	sylbi 199	. . 3 |- (+oo = -oo -> +oo ~< +oo)
13	1, 12	mto 106	. 2 |- -. +oo = -oo
14		df-ne 1563	. 2 |- (+oo =/= -oo <-> -. +oo = -oo)
15	13, 14	mpbir 190	1 |- +oo =/= -oo

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 1099   =/= wne 1561  Vcvv 1786  P~cpw 2372  U.cuni 2471   class class class wbr 2587   ~< csdm 4304  CCcc 5155  +oocpnf 5406  -oocmnf 5407

This theorem is referenced by:  xrltnrt 5465  pnfnltt 5470  nltmnft 5471

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-rab 1628  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-ni 4923  df-nq 4961  df-np 5009  df-nr 5090  df-c 5163  df-pnf 5410  df-mnf 5411

Copyright terms: Public domain