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Theorem pnrmopn 17071
Description: An open set in a perfectly normal space is a countable union of closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnrmopn  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
)
Distinct variable groups:    A, f    f, J

Proof of Theorem pnrmopn
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pnrmtop 17069 . . . 4  |-  ( J  e. PNrm  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32opncld 16770 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( U. J  \  A )  e.  (
Clsd `  J )
)
41, 3sylan 457 . . 3  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  ( U. J  \  A )  e.  ( Clsd `  J
) )
5 pnrmcld 17070 . . 3  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  ( U. J  \  A )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  E. g  e.  ( J  ^m  NN ) ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g )
64, 5syldan 456 . 2  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. g  e.  ( J  ^m  NN ) ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g )
71ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  J  e.  Top )
8 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  ->  g : NN --> J )
98adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  g : NN --> J )
10 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN --> J  /\  x  e.  NN )  ->  ( g `  x
)  e.  J )
119, 10sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( g `  x
)  e.  J )
122opncld 16770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( g `  x
)  e.  J )  ->  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
137, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( U. J  \ 
( g `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
14 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )
1513, 14fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
16 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( Clsd `  J )  e.  _V
17 nnex 9752 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
1816, 17elmap 6796 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )  <->  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
1915, 18sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
)
20 iundif2 3969 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  ( U. J  \  |^|_ x  e.  NN  ( g `
 x ) )
21 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : NN --> J  -> 
g  Fn  NN )
22 fniinfv 5581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  Fn  NN  ->  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  |^| ran  g )
239, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  |^| ran  g )
2423difeq2d 3294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  ( U. J  \  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x ) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
2520, 24syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
26 uniexg 4517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e. PNrm  ->  U. J  e.  _V )
27 difexg 4162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e. PNrm  ->  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  _V )
2928ralrimivw 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e. PNrm  ->  A. x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V )
3029adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  A. x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  _V )
31 dfiun2g 3935 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  =  U. {
f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  (
g `  x )
) } )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  U. { f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  ( g `  x
) ) } )
3314rnmpt 4925 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  =  {
f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  (
g `  x )
) }
3433unieqi 3837 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  =  U. { f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  ( g `  x
) ) }
3532, 34syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3625, 35eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  ( U. J  \  |^| ran  g )  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
37 rneq 4904 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  ->  ran  f  =  ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3837unieqd 3838 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  ->  U. ran  f  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3938eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  -> 
( ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  U. ran  f  <->  ( U. J  \  |^| ran  g
)  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) ) )
4039rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) ) )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f )
4119, 36, 40syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f )
4241ad2ant2r 727 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  ->  E. f  e.  (
( Clsd `  J )  ^m  NN ) ( U. J  \  |^| ran  g
)  =  U. ran  f )
43 difeq2 3288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
4443eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g  ->  ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) ) )
45 elssuni 3855 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
46 dfss4 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  A )
4745, 46sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  J  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  A )
4844, 47sylan9eqr 2337 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  J  /\  ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g )  ->  ( U. J  \  |^| ran  g )  =  A )
4948ad2ant2l 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( U. J  \  |^| ran  g )  =  A )
5049eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  U. ran  f  <->  A  =  U. ran  f ) )
5150rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f  <->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
) )
5242, 51mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  ->  E. f  e.  (
( Clsd `  J )  ^m  NN ) A  = 
U. ran  f )
5352expr 598 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  ( ( U. J  \  A )  = 
|^| ran  g  ->  E. f  e.  ( (
Clsd `  J )  ^m  NN ) A  = 
U. ran  f )
)
5453rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  ( E. g  e.  ( J  ^m  NN ) ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
) )
556, 54mpd 14 1  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   U.cuni 3827   |^|cint 3862   U_ciun 3905   |^|_ciin 3906    e. cmpt 4077   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   NNcn 9746   Topctop 16631   Clsdccld 16753  PNrmcpnrm 17040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-map 6774  df-nn 9747  df-top 16636  df-cld 16756  df-nrm 17045  df-pnrm 17047
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