MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem1 Structured version   Unicode version

Theorem pntibndlem1 21283
Description: Lemma for pntibnd 21287. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )

Proof of Theorem pntibndlem1
StepHypRef Expression
1 pntibndlem1.l . . . 4  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
2 4nn 10135 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
3 nnrp 10621 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
4 rpreccl 10635 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  RR+ )
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR+
6 pntibndlem1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
7 3nn 10134 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
8 nnrp 10621 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  3  e.  RR+
10 rpaddcl 10632 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  ( A  +  3 )  e.  RR+ )
116, 9, 10sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  3 )  e.  RR+ )
12 rpdivcl 10634 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR+  /\  ( A  +  3 )  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  4
)  /  ( A  +  3 ) )  e.  RR+ )
135, 11, 12sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  e.  RR+ )
141, 13syl5eqel 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  RR+ )
1514rpred 10648 . 2  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
1614rpgt0d 10651 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  L )
17 rpcn 10620 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  CC )
185, 17ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
1918div1i 9742 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  4 )  /  1 )  =  ( 1  /  4
)
20 rpre 10618 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  RR )
215, 20mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  RR )
22 3re 10071 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
2411rpred 10648 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +  3 )  e.  RR )
25 1lt4 10147 . . . . . . . . 9  |-  1  <  4
26 4re 10073 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
27 4pos 10086 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
28 recgt1 9906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )  -> 
( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 ) )
2926, 27, 28mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 )
3025, 29mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  4 )  <  1
31 1lt3 10144 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
325, 20ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
33 1re 9090 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3432, 33, 22lttri 9199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  4
)  <  1  /\  1  <  3 )  -> 
( 1  /  4
)  <  3 )
3530, 31, 34mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  4 )  <  3
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  <  3 )
37 ltaddrp 10644 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
3  <  ( 3  +  A ) )
3822, 6, 37sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  <  ( 3  +  A ) )
39 3cn 10072 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
406rpcnd 10650 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
41 addcom 9252 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 3  +  A
)  =  ( A  +  3 ) )
4239, 40, 41sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3  +  A
)  =  ( A  +  3 ) )
4338, 42breqtrd 4236 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  <  ( A  +  3 ) )
4421, 23, 24, 36, 43lttrd 9231 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  <  ( A  +  3 ) )
4519, 44syl5eqbr 4245 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  1
)  <  ( A  +  3 ) )
4633a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
47 0lt1 9550 . . . . . 6  |-  0  <  1
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
4911rpregt0d 10654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
3 )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  3 ) ) )
50 ltdiv23 9901 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( A  +  3 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  3 ) ) )  -> 
( ( ( 1  /  4 )  / 
1 )  <  ( A  +  3 )  <-> 
( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 ) )
5121, 46, 48, 49, 50syl121anc 1189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  4 )  / 
1 )  <  ( A  +  3 )  <-> 
( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 ) )
5245, 51mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 )
531, 52syl5eqbr 4245 . 2  |-  ( ph  ->  L  <  1 )
54 0xr 9131 . . 3  |-  0  e.  RR*
5533rexri 9137 . . 3  |-  1  e.  RR*
56 elioo2 10957 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( L  e.  RR  /\  0  < 
L  /\  L  <  1 ) ) )
5754, 55, 56mp2an 654 . 2  |-  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( L  e.  RR  /\  0  < 
L  /\  L  <  1 ) )
5815, 16, 53, 57syl3anbrc 1138 1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993   RR*cxr 9119    < clt 9120    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   3c3 10050   4c4 10051   RR+crp 10612   (,)cioo 10916  ψcchp 20875
This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  21284  pntibndlem2  21285  pntibnd  21287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-rp 10613  df-ioo 10920
  Copyright terms: Public domain W3C validator