MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem2a Unicode version

Theorem pntibndlem2a 20755
Description: Lemma for pntibndlem2 20756. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
pntibndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntibndlem3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntibndlem3.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
pntibndlem3.c  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
pntibndlem3.4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntibndlem3.6  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
pntibndlem2.10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem2a  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )  ->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )
Distinct variable groups:    u, a, x, E    u, L, x    N, a, u, x    u, A, x    u, C, x   
u, R, x    u, Z, x    ph, u
Allowed substitution hints:    ph( x, a)    A( a)    B( x, u, a)    C( a)    R( a)    K( x, u, a)    L( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntibndlem2a
StepHypRef Expression
1 pntibndlem2.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnred 9777 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
3 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5 ioossre 10728 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
6 pntibnd.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
7 pntibndlem1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
8 pntibndlem1.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
96, 7, 8pntibndlem1 20754 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
105, 9sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
11 pntibndlem3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
125, 11sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
1310, 12remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR )
144, 13readdcld 8878 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR )
1514, 2remulcld 8879 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  N
)  e.  RR )
16 elicc2 10731 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  N
)  e.  RR )  ->  ( u  e.  ( N [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) )  <->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) ) )
172, 15, 16syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) )  <-> 
( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) ) )
1817biimpa 470 1  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )  ->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   abscabs 11735   expce 12359   logclog 19928  ψcchp 20346
This theorem is referenced by:  pntibndlem2  20756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-rp 10371  df-ioo 10676  df-icc 10679
  Copyright terms: Public domain W3C validator