MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem2a Unicode version

Theorem pntibndlem2a 20739
Description: Lemma for pntibndlem2 20740. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
pntibndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntibndlem3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntibndlem3.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
pntibndlem3.c  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
pntibndlem3.4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntibndlem3.6  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
pntibndlem2.10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem2a  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )  ->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )
Distinct variable groups:    u, a, x, E    u, L, x    N, a, u, x    u, A, x    u, C, x   
u, R, x    u, Z, x    ph, u
Allowed substitution hints:    ph( x, a)    A( a)    B( x, u, a)    C( a)    R( a)    K( x, u, a)    L( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntibndlem2a
StepHypRef Expression
1 pntibndlem2.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnred 9761 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
3 1re 8837 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5 ioossre 10712 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
6 pntibnd.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
7 pntibndlem1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
8 pntibndlem1.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
96, 7, 8pntibndlem1 20738 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
105, 9sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
11 pntibndlem3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
125, 11sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
1310, 12remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR )
144, 13readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR )
1514, 2remulcld 8863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  N
)  e.  RR )
16 elicc2 10715 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  N
)  e.  RR )  ->  ( u  e.  ( N [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) )  <->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) ) )
172, 15, 16syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) )  <-> 
( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) ) )
1817biimpa 470 1  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )  ->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   abscabs 11719   expce 12343   logclog 19912  ψcchp 20330
This theorem is referenced by:  pntibndlem2  20740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-rp 10355  df-ioo 10660  df-icc 10663
  Copyright terms: Public domain W3C validator