MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem2a Structured version   Unicode version

Theorem pntibndlem2a 21284
Description: Lemma for pntibndlem2 21285. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
pntibndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntibndlem3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntibndlem3.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
pntibndlem3.c  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
pntibndlem3.4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntibndlem3.6  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
pntibndlem2.10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem2a  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )  ->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )
Distinct variable groups:    u, a, x, E    u, L, x    N, a, u, x    u, A, x    u, C, x   
u, R, x    u, Z, x    ph, u
Allowed substitution hints:    ph( x, a)    A( a)    B( x, u, a)    C( a)    R( a)    K( x, u, a)    L( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntibndlem2a
StepHypRef Expression
1 pntibndlem2.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnred 10015 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
3 1re 9090 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5 ioossre 10972 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
6 pntibnd.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
7 pntibndlem1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
8 pntibndlem1.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
96, 7, 8pntibndlem1 21283 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
105, 9sseldi 3346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
11 pntibndlem3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
125, 11sseldi 3346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
1310, 12remulcld 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR )
144, 13readdcld 9115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR )
1514, 2remulcld 9116 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  N
)  e.  RR )
16 elicc2 10975 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  N
)  e.  RR )  ->  ( u  e.  ( N [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) )  <->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) ) )
172, 15, 16syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) )  <-> 
( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) ) )
1817biimpa 471 1  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )  ->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   3c3 10050   4c4 10051   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   [,]cicc 10919   abscabs 12039   expce 12664   logclog 20452  ψcchp 20875
This theorem is referenced by:  pntibndlem2  21285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-rp 10613  df-ioo 10920  df-icc 10923
  Copyright terms: Public domain W3C validator