MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem3 Unicode version

Theorem pntibndlem3 20741
Description: Lemma for pntibnd 20742. Package up pntibndlem2 20740 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
pntibndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntibndlem3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntibndlem3.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
pntibndlem3.c  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
pntibndlem3.4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntibndlem3.6  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
pntibndlem3.5  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) ) )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
Distinct variable groups:    i, a,
k, m, u, v, x, y, z, E   
u, L, v, x, z    u, A, v, x    u, C, v, x, y    R, i, k, m, u, v, x, y, z    m, K    k, Z, m, u, v, x, y    ph, k, u, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z, v, i, m, a)    A( y, z, i, k, m, a)    B( x, y, z, v, u, i, k, m, a)    C( z, i, k, m, a)    R( a)    K( x, y, z, v, u, i, k, a)    L( y, i, k, m, a)    Z( z, i, a)

Proof of Theorem pntibndlem3
Dummy variables  n  t  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 9815 . . 3  |-  2  e.  RR
2 1re 8837 . . . 4  |-  1  e.  RR
3 1lt2 9886 . . . 4  |-  1  <  2
42, 1, 3ltleii 8941 . . 3  |-  1  <_  2
5 chpdifbnd 20704 . . 3  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2 )  ->  E. t  e.  RR+  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) )
61, 4, 5mp2an 653 . 2  |-  E. t  e.  RR+  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) )
7 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR+ )
8 ioossre 10712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
9 pntibndlem3.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
108, 9sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
11 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
129, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
1312simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  E )
1410, 13elrpd 10388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  e.  RR+ )
16 4nn 9879 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
17 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR+
19 rpdivcl 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  ( E  /  4 )  e.  RR+ )
2015, 18, 19sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  /  4 )  e.  RR+ )
217, 20rpdivcld 10407 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( t  /  ( E  / 
4 ) )  e.  RR+ )
2221rpred 10390 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( t  /  ( E  / 
4 ) )  e.  RR )
2322rpefcld 12385 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  e.  RR+ )
24 pntibndlem3.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
2524adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  Z  e.  RR+ )
2623, 25rpaddcld 10405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( t  / 
( E  /  4
) ) )  +  Z )  e.  RR+ )
2726adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  ->  (
( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  e.  RR+ )
28 elioore 10686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z ) (,) 
+oo )  ->  y  e.  RR )
2928ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  y  e.  RR )
3025rpred 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  Z  e.  RR )
3130adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  e.  RR )
3222reefcld 12369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  e.  RR )
3332, 30readdcld 8862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( t  / 
( E  /  4
) ) )  +  Z )  e.  RR )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  e.  RR )
3530, 23ltaddrp2d 10420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  Z  <  ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  <  (
( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) )
37 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z ) (,) 
+oo )  ->  (
( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  <  y  /\  y  <  +oo ) )
3837simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z ) (,) 
+oo )  ->  (
( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  <  y )
3938ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  <  y )
4031, 34, 29, 36, 39lttrd 8977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  <  y
)
4131rexrd 8881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
42 elioopnf 10737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( Z (,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  Z  < 
y ) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( y  e.  ( Z (,)  +oo ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  Z  <  y ) ) )
4429, 40, 43mpbir2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  y  e.  ( Z (,)  +oo )
)
4544adantlrr 701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  y  e.  ( Z (,)  +oo )
)
46 pntibndlem3.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
47 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
4948rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
50 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 2  x.  B
)  e.  RR )
511, 49, 50sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  B )  e.  RR )
52 2rp 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR+
53 relogcl 19932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  2 )  e.  RR
55 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  RR  /\  ( log `  2 )  e.  RR )  -> 
( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )  e.  RR )
5651, 54, 55sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( log `  2
) )  e.  RR )
5746, 56syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
5857, 15rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( C  /  E )  e.  RR )
5958reefcld 12369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( C  /  E
) )  e.  RR )
60 elicopnf 10739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp `  ( C  /  E ) )  e.  RR  ->  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  k
) ) )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  k
) ) )
6261simprbda 606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
k  e.  RR )
6362rehalfcld 9958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( k  /  2
)  e.  RR )
64 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
6515rphalfcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  /  2 )  e.  RR+ )
6649, 65rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( E  / 
2 ) )  e.  RR )
6766reefcld 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  e.  RR )
68 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  e.  RR )
6967, 1, 68sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( B  / 
( E  /  2
) ) )  x.  2 )  e.  RR )
7069adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  e.  RR )
7159adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( C  /  E ) )  e.  RR )
7266recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( E  / 
2 ) )  e.  CC )
7354recni 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  2 )  e.  CC
74 efadd 12375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  ( exp `  ( log `  2 ) ) ) )
7572, 73, 74sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  ( exp `  ( log `  2 ) ) ) )
76 reeflog 19934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2 )
7752, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2
7877oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  ( exp `  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )
7975, 78syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 ) )
8054a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
81 rerpdivcl 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  2
)  /  E )  e.  RR )
8254, 15, 81sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  2 )  /  E )  e.  RR )
8373div1i 9488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( log `  2 )  /  1 )  =  ( log `  2
)
8412simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
8584adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  <  1 )
8610adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  e.  RR )
87 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( E  <  1  ->  E  <_  1 ) )
8886, 2, 87sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  <  1  ->  E  <_  1 ) )
8985, 88mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  <_  1 )
9015rpregt0d 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  e.  RR  /\  0  < 
E ) )
91 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  RR+
92 rpregt0 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
9391, 92mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
94 rplogcl 19958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
951, 3, 94mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
96 rpregt0 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )
9795, 96mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
98 lediv2 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  0  <  E )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  (
( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( E  <_  1  <->  ( ( log `  2
)  /  1 )  <_  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
9990, 93, 97, 98syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  <_  1  <->  ( ( log `  2 )  / 
1 )  <_  (
( log `  2
)  /  E ) ) )
10089, 99mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  2 )  / 
1 )  <_  (
( log `  2
)  /  E ) )
10183, 100syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( log `  2 )  <_  (
( log `  2
)  /  E ) )
10280, 82, 66, 101leadd2dd 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  (
( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
10346oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( C  /  E )  =  ( ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2
) )  /  E
)
10451recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  B )  e.  CC )
10573a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( log `  2 )  e.  CC )
106 rpcnne0 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E  e.  RR+  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
10715, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
108 divdir 9447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2
) )  /  E
)  =  ( ( ( 2  x.  B
)  /  E )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
109104, 105, 107, 108syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( log `  2 ) )  /  E )  =  ( ( ( 2  x.  B )  /  E )  +  ( ( log `  2
)  /  E ) ) )
110103, 109syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( C  /  E )  =  ( ( ( 2  x.  B )  /  E
)  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
1111recni 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  CC
11249recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
113 mulcom 8823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  x.  2 ) )
114111, 112, 113sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  B )  =  ( B  x.  2 ) )
115114oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  B )  /  E )  =  ( ( B  x.  2 )  /  E
) )
116 rpcnne0 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
11752, 116mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
118 divdiv2 9472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( B  /  ( E  /  2 ) )  =  ( ( B  x.  2 )  /  E ) )
119112, 107, 117, 118syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( E  / 
2 ) )  =  ( ( B  x.  2 )  /  E
) )
120115, 119eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  B )  /  E )  =  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )
121120oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  B
)  /  E )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) )  =  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( ( log `  2
)  /  E ) ) )
122110, 121eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( C  /  E )  =  ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
123102, 122breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  ( C  /  E ) )
124 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( log `  2 )  e.  RR )  ->  (
( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( log `  2
) )  e.  RR )
12566, 54, 124sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) )  e.  RR )
126 efle 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) )  e.  RR  /\  ( C  /  E
)  e.  RR )  ->  ( ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  ( C  /  E )  <->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) ) )
127125, 58, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  ( C  /  E )  <->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) ) )
128123, 127mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) )
12979, 128eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( B  / 
( E  /  2
) ) )  x.  2 )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) )
130129adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  <_ 
( exp `  ( C  /  E ) ) )
13161simplbda 607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( C  /  E ) )  <_  k )
13270, 71, 62, 130, 131letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  <_ 
k )
13367adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  e.  RR )
134 rpregt0 10367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
13552, 134mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
136 lemuldiv 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  x.  2 )  <_  k  <->  ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  <_  ( k  /  2 ) ) )
137133, 62, 135, 136syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  x.  2 )  <_  k  <->  ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  <_  ( k  /  2 ) ) )
138132, 137mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  <_  ( k  / 
2 ) )
13964, 138syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  ->  K  <_  ( k  / 
2 ) )
14064, 133syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  ->  K  e.  RR )
141 elicopnf 10739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  RR  ->  (
( k  /  2
)  e.  ( K [,)  +oo )  <->  ( (
k  /  2 )  e.  RR  /\  K  <_  ( k  /  2
) ) ) )
142140, 141syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( k  / 
2 )  e.  ( K [,)  +oo )  <->  ( ( k  /  2
)  e.  RR  /\  K  <_  ( k  / 
2 ) ) ) )
14363, 139, 142mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( k  /  2
)  e.  ( K [,)  +oo ) )
144143adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( k  / 
2 )  e.  ( K [,)  +oo )
)
145144adantlrr 701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( k  / 
2 )  e.  ( K [,)  +oo )
)
146 pntibndlem3.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) ) )
147146ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) ) )
148 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
m  x.  v )  =  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )
149148breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
i  <_  ( m  x.  v )  <->  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) ) )
150149anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  <-> 
( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) ) ) )
151150anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <-> 
( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
152151rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  ( E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
153152ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  ( A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) )  <->  A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
154153rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  /  2 )  e.  ( K [,)  +oo )  ->  ( A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  ->  A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
155145, 147, 154sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
156 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  n  ->  (
v  <  i  <->  v  <  n ) )
157 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  n  ->  (
i  <_  ( (
k  /  2 )  x.  v )  <->  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) ) )
158156, 157anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  (
( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )  <-> 
( v  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) ) ) )
159 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  ( R `  i )  =  ( R `  n ) )
160 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  i  =  n )
161159, 160oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  (
( R `  i
)  /  i )  =  ( ( R `
 n )  /  n ) )
162161fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  n  ->  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  =  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) ) )
163162breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  (
( abs `  (
( R `  i
)  /  i ) )  <_  ( E  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
164158, 163anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <-> 
( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
165164cbvrexv 2765 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. i  e.  NN  (
( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  i
)  /  i ) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
166 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  y  ->  (
v  <  n  <->  y  <  n ) )
167 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  y  ->  (
( k  /  2
)  x.  v )  =  ( ( k  /  2 )  x.  y ) )
168167breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  y  ->  (
n  <_  ( (
k  /  2 )  x.  v )  <->  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) ) )
169166, 168anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  y  ->  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )  <-> 
( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  y ) ) ) )
170169anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  y  ->  (
( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <-> 
( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
171170rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  y  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
172165, 171syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  y  ->  ( E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
173172rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( Z (,)  +oo )  ->  ( A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  / 
2 )  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  / 
2 )  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
( E  /  2
) ) ) )
17445, 155, 173sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
175 pntibnd.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
176 pntibndlem1.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
177176ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
178 pntibndlem1.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
179 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
180 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  ( R `  x )  =  ( R `  v ) )
181 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  x  =  v )
182180, 181oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  (
( R `  x
)  /  x )  =  ( ( R `
 v )  / 
v ) )
183182fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  v  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  =  ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) ) )
184183breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  v  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  A
) )
185184cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  A  <->  A. v  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  <_  A )
186179, 185sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. v  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  v )  /  v ) )  <_  A )
187186ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  <_  A )
18847ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
1899ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
19024ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  Z  e.  RR+ )
191 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
192 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
t  e.  RR+ )
193 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  (
1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v
) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) )
194 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z )  =  ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )
195 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )
196 simprlr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
y  e.  ( ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )
197 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
198175, 177, 178, 187, 188, 64, 46, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197pntibndlem2 20740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
199198anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( t  e.  RR+  /\ 
A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  (
v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n ) )  <_  ( E  / 
2 ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
200199expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( t  e.  RR+  /\ 
A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  (
v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n ) )  <_  ( E  / 
2 ) )  ->  E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
201200rexlimdva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  / 
2 )  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
( E  /  2
) )  ->  E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
202174, 201mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
203202ralrimivva 2635 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
204 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  ->  ( x (,) 
+oo )  =  ( ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )
205204raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  ->  ( A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  <->  A. y  e.  ( ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
206205ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  <->  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
207206rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  e.  RR+  /\  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
20827, 203, 207syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
209208expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
210209rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  RR+  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  (
v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
2116, 210mpi 16 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   [,]cicc 10659   abscabs 11719   expce 12343   logclog 19912  ψcchp 20330
This theorem is referenced by:  pntibnd  20742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-em 20287  df-cht 20334  df-vma 20335  df-chp 20336  df-ppi 20337  df-mu 20338
  Copyright terms: Public domain W3C validator