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Theorem pntibndlem3 21278
Description: Lemma for pntibnd 21279. Package up pntibndlem2 21277 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
pntibndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntibndlem3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntibndlem3.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
pntibndlem3.c  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
pntibndlem3.4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntibndlem3.6  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
pntibndlem3.5  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) ) )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
Distinct variable groups:    i, a,
k, m, u, v, x, y, z, E   
u, L, v, x, z    u, A, v, x    u, C, v, x, y    R, i, k, m, u, v, x, y, z    m, K    k, Z, m, u, v, x, y    ph, k, u, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z, v, i, m, a)    A( y, z, i, k, m, a)    B( x, y, z, v, u, i, k, m, a)    C( z, i, k, m, a)    R( a)    K( x, y, z, v, u, i, k, a)    L( y, i, k, m, a)    Z( z, i, a)

Proof of Theorem pntibndlem3
Dummy variables  n  t  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10061 . . 3  |-  2  e.  RR
2 1re 9082 . . . 4  |-  1  e.  RR
3 1lt2 10134 . . . 4  |-  1  <  2
42, 1, 3ltleii 9188 . . 3  |-  1  <_  2
5 chpdifbnd 21241 . . 3  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2 )  ->  E. t  e.  RR+  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) )
61, 4, 5mp2an 654 . 2  |-  E. t  e.  RR+  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) )
7 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR+ )
8 ioossre 10964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
9 pntibndlem3.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
108, 9sseldi 3338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
11 eliooord 10962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
1312simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  E )
1410, 13elrpd 10638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1514adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  e.  RR+ )
16 4nn 10127 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN
17 nnrp 10613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
19 rpdivcl 10626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  ( E  /  4 )  e.  RR+ )
2015, 18, 19sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  /  4 )  e.  RR+ )
217, 20rpdivcld 10657 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( t  /  ( E  / 
4 ) )  e.  RR+ )
2221rpred 10640 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( t  /  ( E  / 
4 ) )  e.  RR )
2322rpefcld 12698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  e.  RR+ )
24 pntibndlem3.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
2524adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  Z  e.  RR+ )
2623, 25rpaddcld 10655 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( t  / 
( E  /  4
) ) )  +  Z )  e.  RR+ )
2726adantrr 698 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  ->  (
( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  e.  RR+ )
28 elioore 10938 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z ) (,) 
+oo )  ->  y  e.  RR )
2928ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  y  e.  RR )
3025rpred 10640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  Z  e.  RR )
3130adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  e.  RR )
3222reefcld 12682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  e.  RR )
3332, 30readdcld 9107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( t  / 
( E  /  4
) ) )  +  Z )  e.  RR )
3433adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  e.  RR )
3530, 23ltaddrp2d 10670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  Z  <  ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) )
3635adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  <  (
( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) )
37 eliooord 10962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z ) (,) 
+oo )  ->  (
( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  <  y  /\  y  <  +oo ) )
3837simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z ) (,) 
+oo )  ->  (
( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  <  y )
3938ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  <  y )
4031, 34, 29, 36, 39lttrd 9223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  <  y
)
4131rexrd 9126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
42 elioopnf 10990 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( Z (,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  Z  < 
y ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( y  e.  ( Z (,)  +oo ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  Z  <  y ) ) )
4429, 40, 43mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  y  e.  ( Z (,)  +oo )
)
4544adantlrr 702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  y  e.  ( Z (,)  +oo )
)
46 pntibndlem3.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
47 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
4948rpred 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
50 remulcl 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 2  x.  B
)  e.  RR )
511, 49, 50sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  B )  e.  RR )
52 2rp 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR+
53 relogcl 20465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  2 )  e.  RR
55 readdcl 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  RR  /\  ( log `  2 )  e.  RR )  -> 
( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )  e.  RR )
5651, 54, 55sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( log `  2
) )  e.  RR )
5746, 56syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
5857, 15rerpdivcld 10667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( C  /  E )  e.  RR )
5958reefcld 12682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( C  /  E
) )  e.  RR )
60 elicopnf 10992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( exp `  ( C  /  E ) )  e.  RR  ->  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  k
) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  k
) ) )
6261simprbda 607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
k  e.  RR )
6362rehalfcld 10206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( k  /  2
)  e.  RR )
64 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
6515rphalfcld 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  /  2 )  e.  RR+ )
6649, 65rerpdivcld 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( E  / 
2 ) )  e.  RR )
6766reefcld 12682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  e.  RR )
68 remulcl 9067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  e.  RR )
6967, 1, 68sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( B  / 
( E  /  2
) ) )  x.  2 )  e.  RR )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  e.  RR )
7159adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( C  /  E ) )  e.  RR )
7266recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( E  / 
2 ) )  e.  CC )
7354recni 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  2 )  e.  CC
74 efadd 12688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  ( exp `  ( log `  2 ) ) ) )
7572, 73, 74sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  ( exp `  ( log `  2 ) ) ) )
76 reeflog 20467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2 )
7752, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2
7877oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  ( exp `  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )
7975, 78syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 ) )
8054a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
81 rerpdivcl 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  2
)  /  E )  e.  RR )
8254, 15, 81sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  2 )  /  E )  e.  RR )
8373div1i 9734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( log `  2 )  /  1 )  =  ( log `  2
)
8412simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
8584adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  <  1 )
8610adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  e.  RR )
87 ltle 9155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( E  <  1  ->  E  <_  1 ) )
8886, 2, 87sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  <  1  ->  E  <_  1 ) )
8985, 88mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  <_  1 )
9015rpregt0d 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  e.  RR  /\  0  < 
E ) )
91 1rp 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR+
92 rpregt0 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
9391, 92mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
94 rplogcl 20491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
951, 3, 94mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
96 rpregt0 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )
9795, 96mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
98 lediv2 9892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  0  <  E )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  (
( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( E  <_  1  <->  ( ( log `  2
)  /  1 )  <_  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
9990, 93, 97, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  <_  1  <->  ( ( log `  2 )  / 
1 )  <_  (
( log `  2
)  /  E ) ) )
10089, 99mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  2 )  / 
1 )  <_  (
( log `  2
)  /  E ) )
10183, 100syl5eqbrr 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( log `  2 )  <_  (
( log `  2
)  /  E ) )
10280, 82, 66, 101leadd2dd 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  (
( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
10346oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  /  E )  =  ( ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2
) )  /  E
)
10451recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  B )  e.  CC )
10573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( log `  2 )  e.  CC )
106 rpcnne0 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E  e.  RR+  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
10715, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
108 divdir 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2
) )  /  E
)  =  ( ( ( 2  x.  B
)  /  E )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
109104, 105, 107, 108syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( log `  2 ) )  /  E )  =  ( ( ( 2  x.  B )  /  E )  +  ( ( log `  2
)  /  E ) ) )
110103, 109syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( C  /  E )  =  ( ( ( 2  x.  B )  /  E
)  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
1111recni 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  CC
11249recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
113 mulcom 9068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  x.  2 ) )
114111, 112, 113sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  B )  =  ( B  x.  2 ) )
115114oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  B )  /  E )  =  ( ( B  x.  2 )  /  E
) )
116 rpcnne0 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
11752, 116mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
118 divdiv2 9718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( B  /  ( E  /  2 ) )  =  ( ( B  x.  2 )  /  E ) )
119112, 107, 117, 118syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( E  / 
2 ) )  =  ( ( B  x.  2 )  /  E
) )
120115, 119eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  B )  /  E )  =  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )
121120oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  B
)  /  E )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) )  =  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( ( log `  2
)  /  E ) ) )
122110, 121eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( C  /  E )  =  ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
123102, 122breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  ( C  /  E ) )
124 readdcl 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( log `  2 )  e.  RR )  ->  (
( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( log `  2
) )  e.  RR )
12566, 54, 124sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) )  e.  RR )
126 efle 12711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) )  e.  RR  /\  ( C  /  E
)  e.  RR )  ->  ( ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  ( C  /  E )  <->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) ) )
127125, 58, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  ( C  /  E )  <->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) ) )
128123, 127mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) )
12979, 128eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( B  / 
( E  /  2
) ) )  x.  2 )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) )
130129adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  <_ 
( exp `  ( C  /  E ) ) )
13161simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( C  /  E ) )  <_  k )
13270, 71, 62, 130, 131letrd 9219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  <_ 
k )
13367adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  e.  RR )
134 rpregt0 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
13552, 134mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
136 lemuldiv 9881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  x.  2 )  <_  k  <->  ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  <_  ( k  /  2 ) ) )
137133, 62, 135, 136syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  x.  2 )  <_  k  <->  ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  <_  ( k  /  2 ) ) )
138132, 137mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  <_  ( k  / 
2 ) )
13964, 138syl5eqbr 4237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  ->  K  <_  ( k  / 
2 ) )
14064, 133syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  ->  K  e.  RR )
141 elicopnf 10992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  RR  ->  (
( k  /  2
)  e.  ( K [,)  +oo )  <->  ( (
k  /  2 )  e.  RR  /\  K  <_  ( k  /  2
) ) ) )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( k  / 
2 )  e.  ( K [,)  +oo )  <->  ( ( k  /  2
)  e.  RR  /\  K  <_  ( k  / 
2 ) ) ) )
14363, 139, 142mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( k  /  2
)  e.  ( K [,)  +oo ) )
144143adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( k  / 
2 )  e.  ( K [,)  +oo )
)
145144adantlrr 702 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( k  / 
2 )  e.  ( K [,)  +oo )
)
146 pntibndlem3.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) ) )
147146ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) ) )
148 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
m  x.  v )  =  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )
149148breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
i  <_  ( m  x.  v )  <->  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) ) )
150149anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  <-> 
( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) ) ) )
151150anbi1d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <-> 
( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
152151rexbidv 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  ( E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
153152ralbidv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  ( A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) )  <->  A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
154153rspcv 3040 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  /  2 )  e.  ( K [,)  +oo )  ->  ( A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  ->  A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
155145, 147, 154sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
156 breq2 4208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  (
v  <  i  <->  v  <  n ) )
157 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  (
i  <_  ( (
k  /  2 )  x.  v )  <->  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) ) )
158156, 157anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  n  ->  (
( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )  <-> 
( v  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) ) ) )
159 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  ( R `  i )  =  ( R `  n ) )
160 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  i  =  n )
161159, 160oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  n  ->  (
( R `  i
)  /  i )  =  ( ( R `
 n )  /  n ) )
162161fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  =  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) ) )
163162breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  n  ->  (
( abs `  (
( R `  i
)  /  i ) )  <_  ( E  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
164158, 163anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <-> 
( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
165164cbvrexv 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( E. i  e.  NN  (
( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  i
)  /  i ) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
166 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  y  ->  (
v  <  n  <->  y  <  n ) )
167 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  y  ->  (
( k  /  2
)  x.  v )  =  ( ( k  /  2 )  x.  y ) )
168167breq2d 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  y  ->  (
n  <_  ( (
k  /  2 )  x.  v )  <->  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) ) )
169166, 168anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  y  ->  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )  <-> 
( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  y ) ) ) )
170169anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  y  ->  (
( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <-> 
( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
171170rexbidv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  y  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
172165, 171syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  y  ->  ( E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
173172rspcv 3040 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( Z (,)  +oo )  ->  ( A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  / 
2 )  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  / 
2 )  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
( E  /  2
) ) ) )
17445, 155, 173sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
175 pntibnd.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
176 pntibndlem1.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
177176ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
178 pntibndlem1.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
179 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
180 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  v  ->  ( R `  x )  =  ( R `  v ) )
181 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  v  ->  x  =  v )
182180, 181oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  v  ->  (
( R `  x
)  /  x )  =  ( ( R `
 v )  / 
v ) )
183182fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  v  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  =  ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) ) )
184183breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  A
) )
185184cbvralv 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  A  <->  A. v  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  <_  A )
186179, 185sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  v )  /  v ) )  <_  A )
187186ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  <_  A )
18847ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
1899ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
19024ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  Z  e.  RR+ )
191 simprrl 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
192 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
t  e.  RR+ )
193 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  (
1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v
) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) )
194 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z )  =  ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )
195 simprll 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )
196 simprlr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
y  e.  ( ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )
197 simprrr 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
198175, 177, 178, 187, 188, 64, 46, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197pntibndlem2 21277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
199198anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( t  e.  RR+  /\ 
A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  (
v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
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( ( 2  x.  ( w  -  v
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) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n ) )  <_  ( E  / 
2 ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
200174, 199rexlimddv 2826 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
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) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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( ( 2  x.  ( w  -  v
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( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
202 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  ->  ( x (,) 
+oo )  =  ( ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )
203202raleqdv 2902 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  ->  ( A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
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1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
204203ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
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1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
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( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
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1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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) )  x.  z
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) )
20627, 201, 205syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
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1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
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( ( 2  x.  ( w  -  v
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2086, 207mpi 17 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
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1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   3c3 10042   4c4 10043   RR+crp 10604   (,)cioo 10908   [,)cico 10910   [,]cicc 10911   abscabs 12031   expce 12656   logclog 20444  ψcchp 20867
This theorem is referenced by:  pntibnd  21279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-o1 12276  df-lo1 12277  df-sum 12472  df-ef 12662  df-e 12663  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-cxp 20447  df-em 20823  df-cht 20871  df-vma 20872  df-chp 20873  df-ppi 20874  df-mu 20875
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