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Theorem pntibndlem3 20757
Description: Lemma for pntibnd 20758. Package up pntibndlem2 20756 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
pntibndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntibndlem3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntibndlem3.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
pntibndlem3.c  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
pntibndlem3.4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntibndlem3.6  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
pntibndlem3.5  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) ) )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
Distinct variable groups:    i, a,
k, m, u, v, x, y, z, E   
u, L, v, x, z    u, A, v, x    u, C, v, x, y    R, i, k, m, u, v, x, y, z    m, K    k, Z, m, u, v, x, y    ph, k, u, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z, v, i, m, a)    A( y, z, i, k, m, a)    B( x, y, z, v, u, i, k, m, a)    C( z, i, k, m, a)    R( a)    K( x, y, z, v, u, i, k, a)    L( y, i, k, m, a)    Z( z, i, a)

Proof of Theorem pntibndlem3
Dummy variables  n  t  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 9831 . . 3  |-  2  e.  RR
2 1re 8853 . . . 4  |-  1  e.  RR
3 1lt2 9902 . . . 4  |-  1  <  2
42, 1, 3ltleii 8957 . . 3  |-  1  <_  2
5 chpdifbnd 20720 . . 3  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2 )  ->  E. t  e.  RR+  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) )
61, 4, 5mp2an 653 . 2  |-  E. t  e.  RR+  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) )
7 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR+ )
8 ioossre 10728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
9 pntibndlem3.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
108, 9sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
11 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
129, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
1312simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  E )
1410, 13elrpd 10404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  e.  RR+ )
16 4nn 9895 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
17 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR+
19 rpdivcl 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  ( E  /  4 )  e.  RR+ )
2015, 18, 19sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  /  4 )  e.  RR+ )
217, 20rpdivcld 10423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( t  /  ( E  / 
4 ) )  e.  RR+ )
2221rpred 10406 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( t  /  ( E  / 
4 ) )  e.  RR )
2322rpefcld 12401 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  e.  RR+ )
24 pntibndlem3.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
2524adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  Z  e.  RR+ )
2623, 25rpaddcld 10421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( t  / 
( E  /  4
) ) )  +  Z )  e.  RR+ )
2726adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  ->  (
( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  e.  RR+ )
28 elioore 10702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z ) (,) 
+oo )  ->  y  e.  RR )
2928ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  y  e.  RR )
3025rpred 10406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  Z  e.  RR )
3130adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  e.  RR )
3222reefcld 12385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  e.  RR )
3332, 30readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( t  / 
( E  /  4
) ) )  +  Z )  e.  RR )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  e.  RR )
3530, 23ltaddrp2d 10436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  Z  <  ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  <  (
( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) )
37 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z ) (,) 
+oo )  ->  (
( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  <  y  /\  y  <  +oo ) )
3837simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z ) (,) 
+oo )  ->  (
( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  <  y )
3938ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  <  y )
4031, 34, 29, 36, 39lttrd 8993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  <  y
)
4131rexrd 8897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
42 elioopnf 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( Z (,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  Z  < 
y ) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( y  e.  ( Z (,)  +oo ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  Z  <  y ) ) )
4429, 40, 43mpbir2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  y  e.  ( Z (,)  +oo )
)
4544adantlrr 701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  y  e.  ( Z (,)  +oo )
)
46 pntibndlem3.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
47 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
4948rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
50 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 2  x.  B
)  e.  RR )
511, 49, 50sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  B )  e.  RR )
52 2rp 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR+
53 relogcl 19948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  2 )  e.  RR
55 readdcl 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  RR  /\  ( log `  2 )  e.  RR )  -> 
( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )  e.  RR )
5651, 54, 55sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( log `  2
) )  e.  RR )
5746, 56syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
5857, 15rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( C  /  E )  e.  RR )
5958reefcld 12385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( C  /  E
) )  e.  RR )
60 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp `  ( C  /  E ) )  e.  RR  ->  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  k
) ) )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  k
) ) )
6261simprbda 606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
k  e.  RR )
6362rehalfcld 9974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( k  /  2
)  e.  RR )
64 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
6515rphalfcld 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  /  2 )  e.  RR+ )
6649, 65rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( E  / 
2 ) )  e.  RR )
6766reefcld 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  e.  RR )
68 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  e.  RR )
6967, 1, 68sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( B  / 
( E  /  2
) ) )  x.  2 )  e.  RR )
7069adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  e.  RR )
7159adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( C  /  E ) )  e.  RR )
7266recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( E  / 
2 ) )  e.  CC )
7354recni 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  2 )  e.  CC
74 efadd 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  ( exp `  ( log `  2 ) ) ) )
7572, 73, 74sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  ( exp `  ( log `  2 ) ) ) )
76 reeflog 19950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2 )
7752, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2
7877oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  ( exp `  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )
7975, 78syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 ) )
8054a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
81 rerpdivcl 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  2
)  /  E )  e.  RR )
8254, 15, 81sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  2 )  /  E )  e.  RR )
8373div1i 9504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( log `  2 )  /  1 )  =  ( log `  2
)
8412simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
8584adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  <  1 )
8610adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  e.  RR )
87 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( E  <  1  ->  E  <_  1 ) )
8886, 2, 87sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  <  1  ->  E  <_  1 ) )
8985, 88mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  <_  1 )
9015rpregt0d 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  e.  RR  /\  0  < 
E ) )
91 1rp 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  RR+
92 rpregt0 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
9391, 92mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
94 rplogcl 19974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
951, 3, 94mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
96 rpregt0 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )
9795, 96mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
98 lediv2 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  0  <  E )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  (
( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( E  <_  1  <->  ( ( log `  2
)  /  1 )  <_  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
9990, 93, 97, 98syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  <_  1  <->  ( ( log `  2 )  / 
1 )  <_  (
( log `  2
)  /  E ) ) )
10089, 99mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  2 )  / 
1 )  <_  (
( log `  2
)  /  E ) )
10183, 100syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( log `  2 )  <_  (
( log `  2
)  /  E ) )
10280, 82, 66, 101leadd2dd 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  (
( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
10346oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( C  /  E )  =  ( ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2
) )  /  E
)
10451recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  B )  e.  CC )
10573a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( log `  2 )  e.  CC )
106 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E  e.  RR+  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
10715, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
108 divdir 9463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2
) )  /  E
)  =  ( ( ( 2  x.  B
)  /  E )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
109104, 105, 107, 108syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( log `  2 ) )  /  E )  =  ( ( ( 2  x.  B )  /  E )  +  ( ( log `  2
)  /  E ) ) )
110103, 109syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( C  /  E )  =  ( ( ( 2  x.  B )  /  E
)  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
1111recni 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  CC
11249recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
113 mulcom 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  x.  2 ) )
114111, 112, 113sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  B )  =  ( B  x.  2 ) )
115114oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  B )  /  E )  =  ( ( B  x.  2 )  /  E
) )
116 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
11752, 116mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
118 divdiv2 9488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( B  /  ( E  /  2 ) )  =  ( ( B  x.  2 )  /  E ) )
119112, 107, 117, 118syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( E  / 
2 ) )  =  ( ( B  x.  2 )  /  E
) )
120115, 119eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  B )  /  E )  =  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )
121120oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  B
)  /  E )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) )  =  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( ( log `  2
)  /  E ) ) )
122110, 121eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( C  /  E )  =  ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
123102, 122breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  ( C  /  E ) )
124 readdcl 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( log `  2 )  e.  RR )  ->  (
( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( log `  2
) )  e.  RR )
12566, 54, 124sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) )  e.  RR )
126 efle 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) )  e.  RR  /\  ( C  /  E
)  e.  RR )  ->  ( ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  ( C  /  E )  <->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) ) )
127125, 58, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  ( C  /  E )  <->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) ) )
128123, 127mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) )
12979, 128eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( B  / 
( E  /  2
) ) )  x.  2 )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) )
130129adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  <_ 
( exp `  ( C  /  E ) ) )
13161simplbda 607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( C  /  E ) )  <_  k )
13270, 71, 62, 130, 131letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  <_ 
k )
13367adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  e.  RR )
134 rpregt0 10383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
13552, 134mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
136 lemuldiv 9651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  x.  2 )  <_  k  <->  ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  <_  ( k  /  2 ) ) )
137133, 62, 135, 136syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  x.  2 )  <_  k  <->  ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  <_  ( k  /  2 ) ) )
138132, 137mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  <_  ( k  / 
2 ) )
13964, 138syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  ->  K  <_  ( k  / 
2 ) )
14064, 133syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  ->  K  e.  RR )
141 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  RR  ->  (
( k  /  2
)  e.  ( K [,)  +oo )  <->  ( (
k  /  2 )  e.  RR  /\  K  <_  ( k  /  2
) ) ) )
142140, 141syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( k  / 
2 )  e.  ( K [,)  +oo )  <->  ( ( k  /  2
)  e.  RR  /\  K  <_  ( k  / 
2 ) ) ) )
14363, 139, 142mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( k  /  2
)  e.  ( K [,)  +oo ) )
144143adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( k  / 
2 )  e.  ( K [,)  +oo )
)
145144adantlrr 701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( k  / 
2 )  e.  ( K [,)  +oo )
)
146 pntibndlem3.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) ) )
147146ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) ) )
148 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
m  x.  v )  =  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )
149148breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
i  <_  ( m  x.  v )  <->  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) ) )
150149anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  <-> 
( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) ) ) )
151150anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <-> 
( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
152151rexbidv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  ( E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
153152ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  ( A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) )  <->  A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
154153rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  /  2 )  e.  ( K [,)  +oo )  ->  ( A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  ->  A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
155145, 147, 154sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
156 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  n  ->  (
v  <  i  <->  v  <  n ) )
157 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  n  ->  (
i  <_  ( (
k  /  2 )  x.  v )  <->  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) ) )
158156, 157anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  (
( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )  <-> 
( v  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) ) ) )
159 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  ( R `  i )  =  ( R `  n ) )
160 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  i  =  n )
161159, 160oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  (
( R `  i
)  /  i )  =  ( ( R `
 n )  /  n ) )
162161fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  n  ->  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  =  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) ) )
163162breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  (
( abs `  (
( R `  i
)  /  i ) )  <_  ( E  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
164158, 163anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <-> 
( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
165164cbvrexv 2778 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. i  e.  NN  (
( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  i
)  /  i ) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
166 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  y  ->  (
v  <  n  <->  y  <  n ) )
167 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  y  ->  (
( k  /  2
)  x.  v )  =  ( ( k  /  2 )  x.  y ) )
168167breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  y  ->  (
n  <_  ( (
k  /  2 )  x.  v )  <->  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) ) )
169166, 168anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  y  ->  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )  <-> 
( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  y ) ) ) )
170169anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  y  ->  (
( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <-> 
( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
171170rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  y  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
172165, 171syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  y  ->  ( E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
173172rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( Z (,)  +oo )  ->  ( A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  / 
2 )  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  / 
2 )  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
( E  /  2
) ) ) )
17445, 155, 173sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
175 pntibnd.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
176 pntibndlem1.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
177176ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
178 pntibndlem1.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
179 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
180 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  ( R `  x )  =  ( R `  v ) )
181 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  x  =  v )
182180, 181oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  (
( R `  x
)  /  x )  =  ( ( R `
 v )  / 
v ) )
183182fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  v  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  =  ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) ) )
184183breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  v  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  A
) )
185184cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  A  <->  A. v  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  <_  A )
186179, 185sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. v  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  v )  /  v ) )  <_  A )
187186ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  <_  A )
18847ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
1899ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
19024ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  Z  e.  RR+ )
191 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
192 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
t  e.  RR+ )
193 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  (
1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v
) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) )
194 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z )  =  ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )
195 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )
196 simprlr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
y  e.  ( ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )
197 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
198175, 177, 178, 187, 188, 64, 46, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197pntibndlem2 20756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
199198anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( t  e.  RR+  /\ 
A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  (
v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n ) )  <_  ( E  / 
2 ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
200199expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( t  e.  RR+  /\ 
A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  (
v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n ) )  <_  ( E  / 
2 ) )  ->  E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
201200rexlimdva 2680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  / 
2 )  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
( E  /  2
) )  ->  E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
202174, 201mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
203202ralrimivva 2648 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
204 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  ->  ( x (,) 
+oo )  =  ( ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )
205204raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  ->  ( A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  <->  A. y  e.  ( ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
206205ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  <->  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
207206rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  e.  RR+  /\  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
20827, 203, 207syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
209208expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
210209rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  RR+  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  (
v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
2116, 210mpi 16 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   [,]cicc 10675   abscabs 11735   expce 12359   logclog 19928  ψcchp 20346
This theorem is referenced by:  pntibnd  20758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-lo1 11981  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-em 20303  df-cht 20350  df-vma 20351  df-chp 20352  df-ppi 20353  df-mu 20354
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