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Theorem pntibndlem3 21153
Description: Lemma for pntibnd 21154. Package up pntibndlem2 21152 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
pntibndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntibndlem3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntibndlem3.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
pntibndlem3.c  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
pntibndlem3.4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntibndlem3.6  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
pntibndlem3.5  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) ) )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
Distinct variable groups:    i, a,
k, m, u, v, x, y, z, E   
u, L, v, x, z    u, A, v, x    u, C, v, x, y    R, i, k, m, u, v, x, y, z    m, K    k, Z, m, u, v, x, y    ph, k, u, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z, v, i, m, a)    A( y, z, i, k, m, a)    B( x, y, z, v, u, i, k, m, a)    C( z, i, k, m, a)    R( a)    K( x, y, z, v, u, i, k, a)    L( y, i, k, m, a)    Z( z, i, a)

Proof of Theorem pntibndlem3
Dummy variables  n  t  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10001 . . 3  |-  2  e.  RR
2 1re 9023 . . . 4  |-  1  e.  RR
3 1lt2 10074 . . . 4  |-  1  <  2
42, 1, 3ltleii 9127 . . 3  |-  1  <_  2
5 chpdifbnd 21116 . . 3  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2 )  ->  E. t  e.  RR+  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) )
61, 4, 5mp2an 654 . 2  |-  E. t  e.  RR+  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) )
7 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR+ )
8 ioossre 10904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
9 pntibndlem3.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
108, 9sseldi 3289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
11 eliooord 10902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
1312simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  E )
1410, 13elrpd 10578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1514adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  e.  RR+ )
16 4nn 10067 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN
17 nnrp 10553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
19 rpdivcl 10566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  ( E  /  4 )  e.  RR+ )
2015, 18, 19sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  /  4 )  e.  RR+ )
217, 20rpdivcld 10597 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( t  /  ( E  / 
4 ) )  e.  RR+ )
2221rpred 10580 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( t  /  ( E  / 
4 ) )  e.  RR )
2322rpefcld 12633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  e.  RR+ )
24 pntibndlem3.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
2524adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  Z  e.  RR+ )
2623, 25rpaddcld 10595 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( t  / 
( E  /  4
) ) )  +  Z )  e.  RR+ )
2726adantrr 698 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
)  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  ->  (
( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  e.  RR+ )
28 elioore 10878 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z ) (,) 
+oo )  ->  y  e.  RR )
2928ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  y  e.  RR )
3025rpred 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  Z  e.  RR )
3130adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  e.  RR )
3222reefcld 12617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  e.  RR )
3332, 30readdcld 9048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( t  / 
( E  /  4
) ) )  +  Z )  e.  RR )
3433adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  e.  RR )
3530, 23ltaddrp2d 10610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  Z  <  ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) )
3635adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  <  (
( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) )
37 eliooord 10902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z ) (,) 
+oo )  ->  (
( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  <  y  /\  y  <  +oo ) )
3837simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z ) (,) 
+oo )  ->  (
( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  <  y )
3938ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  <  y )
4031, 34, 29, 36, 39lttrd 9163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  <  y
)
4131rexrd 9067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
42 elioopnf 10930 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( Z (,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  Z  < 
y ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( y  e.  ( Z (,)  +oo ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  Z  <  y ) ) )
4429, 40, 43mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  y  e.  ( Z (,)  +oo )
)
4544adantlrr 702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  y  e.  ( Z (,)  +oo )
)
46 pntibndlem3.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
47 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
4948rpred 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
50 remulcl 9008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 2  x.  B
)  e.  RR )
511, 49, 50sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  B )  e.  RR )
52 2rp 10549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR+
53 relogcl 20340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  2 )  e.  RR
55 readdcl 9006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  RR  /\  ( log `  2 )  e.  RR )  -> 
( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )  e.  RR )
5651, 54, 55sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( log `  2
) )  e.  RR )
5746, 56syl5eqel 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
5857, 15rerpdivcld 10607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( C  /  E )  e.  RR )
5958reefcld 12617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( C  /  E
) )  e.  RR )
60 elicopnf 10932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( exp `  ( C  /  E ) )  e.  RR  ->  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  k
) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  k
) ) )
6261simprbda 607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
k  e.  RR )
6362rehalfcld 10146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( k  /  2
)  e.  RR )
64 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
6515rphalfcld 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  /  2 )  e.  RR+ )
6649, 65rerpdivcld 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( E  / 
2 ) )  e.  RR )
6766reefcld 12617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  e.  RR )
68 remulcl 9008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  e.  RR )
6967, 1, 68sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( B  / 
( E  /  2
) ) )  x.  2 )  e.  RR )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  e.  RR )
7159adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( C  /  E ) )  e.  RR )
7266recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( E  / 
2 ) )  e.  CC )
7354recni 9035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  2 )  e.  CC
74 efadd 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  ( exp `  ( log `  2 ) ) ) )
7572, 73, 74sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  ( exp `  ( log `  2 ) ) ) )
76 reeflog 20342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2 )
7752, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2
7877oveq2i 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  ( exp `  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )
7975, 78syl6eq 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 ) )
8054a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
81 rerpdivcl 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  2
)  /  E )  e.  RR )
8254, 15, 81sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  2 )  /  E )  e.  RR )
8373div1i 9674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( log `  2 )  /  1 )  =  ( log `  2
)
8412simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
8584adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  <  1 )
8610adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  e.  RR )
87 ltle 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( E  <  1  ->  E  <_  1 ) )
8886, 2, 87sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  <  1  ->  E  <_  1 ) )
8985, 88mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E  <_  1 )
9015rpregt0d 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  e.  RR  /\  0  < 
E ) )
91 1rp 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR+
92 rpregt0 10557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
9391, 92mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
94 rplogcl 20366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
951, 3, 94mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
96 rpregt0 10557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )
9795, 96mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
98 lediv2 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  0  <  E )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  (
( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( E  <_  1  <->  ( ( log `  2
)  /  1 )  <_  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
9990, 93, 97, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  <_  1  <->  ( ( log `  2 )  / 
1 )  <_  (
( log `  2
)  /  E ) ) )
10089, 99mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  2 )  / 
1 )  <_  (
( log `  2
)  /  E ) )
10183, 100syl5eqbrr 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( log `  2 )  <_  (
( log `  2
)  /  E ) )
10280, 82, 66, 101leadd2dd 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  (
( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
10346oveq1i 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  /  E )  =  ( ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2
) )  /  E
)
10451recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  B )  e.  CC )
10573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( log `  2 )  e.  CC )
106 rpcnne0 10561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E  e.  RR+  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
10715, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
108 divdir 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2
) )  /  E
)  =  ( ( ( 2  x.  B
)  /  E )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
109104, 105, 107, 108syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( log `  2 ) )  /  E )  =  ( ( ( 2  x.  B )  /  E )  +  ( ( log `  2
)  /  E ) ) )
110103, 109syl5eq 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( C  /  E )  =  ( ( ( 2  x.  B )  /  E
)  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
1111recni 9035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  CC
11249recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
113 mulcom 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  x.  2 ) )
114111, 112, 113sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  B )  =  ( B  x.  2 ) )
115114oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  B )  /  E )  =  ( ( B  x.  2 )  /  E
) )
116 rpcnne0 10561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
11752, 116mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
118 divdiv2 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( B  /  ( E  /  2 ) )  =  ( ( B  x.  2 )  /  E ) )
119112, 107, 117, 118syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( E  / 
2 ) )  =  ( ( B  x.  2 )  /  E
) )
120115, 119eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  B )  /  E )  =  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )
121120oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  B
)  /  E )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) )  =  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( ( log `  2
)  /  E ) ) )
122110, 121eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( C  /  E )  =  ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( ( log `  2 )  /  E ) ) )
123102, 122breqtrrd 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  ( C  /  E ) )
124 readdcl 9006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( log `  2 )  e.  RR )  ->  (
( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( log `  2
) )  e.  RR )
12566, 54, 124sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( B  /  ( E  / 
2 ) )  +  ( log `  2
) )  e.  RR )
126 efle 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) )  e.  RR  /\  ( C  /  E
)  e.  RR )  ->  ( ( ( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  ( C  /  E )  <->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) ) )
127125, 58, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( B  /  ( E  /  2 ) )  +  ( log `  2
) )  <_  ( C  /  E )  <->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) ) )
128123, 127mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( exp `  ( ( B  / 
( E  /  2
) )  +  ( log `  2 ) ) )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) )
12979, 128eqbrtrrd 4175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( exp `  ( B  / 
( E  /  2
) ) )  x.  2 )  <_  ( exp `  ( C  /  E ) ) )
130129adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  <_ 
( exp `  ( C  /  E ) ) )
13161simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( C  /  E ) )  <_  k )
13270, 71, 62, 130, 131letrd 9159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  x.  2 )  <_ 
k )
13367adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  e.  RR )
134 rpregt0 10557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
13552, 134mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
136 lemuldiv 9821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  x.  2 )  <_  k  <->  ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  <_  ( k  /  2 ) ) )
137133, 62, 135, 136syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  x.  2 )  <_  k  <->  ( exp `  ( B  /  ( E  /  2 ) ) )  <_  ( k  /  2 ) ) )
138132, 137mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )  <_  ( k  / 
2 ) )
13964, 138syl5eqbr 4186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  ->  K  <_  ( k  / 
2 ) )
14064, 133syl5eqel 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  ->  K  e.  RR )
141 elicopnf 10932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  RR  ->  (
( k  /  2
)  e.  ( K [,)  +oo )  <->  ( (
k  /  2 )  e.  RR  /\  K  <_  ( k  /  2
) ) ) )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( ( k  / 
2 )  e.  ( K [,)  +oo )  <->  ( ( k  /  2
)  e.  RR  /\  K  <_  ( k  / 
2 ) ) ) )
14363, 139, 142mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )  -> 
( k  /  2
)  e.  ( K [,)  +oo ) )
144143adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( k  / 
2 )  e.  ( K [,)  +oo )
)
145144adantlrr 702 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  ( k  / 
2 )  e.  ( K [,)  +oo )
)
146 pntibndlem3.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) ) )
147146ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) ) )
148 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
m  x.  v )  =  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )
149148breq2d 4165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
i  <_  ( m  x.  v )  <->  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) ) )
150149anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  <-> 
( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) ) ) )
151150anbi1d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  (
( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <-> 
( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
152151rexbidv 2670 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  ( E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
153152ralbidv 2669 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  / 
2 )  ->  ( A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) )  <->  A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
154153rspcv 2991 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  /  2 )  e.  ( K [,)  +oo )  ->  ( A. m  e.  ( K [,)  +oo ) A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  ->  A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
155145, 147, 154sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
156 breq2 4157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  (
v  <  i  <->  v  <  n ) )
157 breq1 4156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  (
i  <_  ( (
k  /  2 )  x.  v )  <->  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) ) )
158156, 157anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  n  ->  (
( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )  <-> 
( v  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) ) ) )
159 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  ( R `  i )  =  ( R `  n ) )
160 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  i  =  n )
161159, 160oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  n  ->  (
( R `  i
)  /  i )  =  ( ( R `
 n )  /  n ) )
162161fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  =  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) ) )
163162breq1d 4163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  n  ->  (
( abs `  (
( R `  i
)  /  i ) )  <_  ( E  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
164158, 163anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <-> 
( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
165164cbvrexv 2876 . . . . . . . . 9  |-  ( E. i  e.  NN  (
( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  i
)  /  i ) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
166 breq1 4156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  y  ->  (
v  <  n  <->  y  <  n ) )
167 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  y  ->  (
( k  /  2
)  x.  v )  =  ( ( k  /  2 )  x.  y ) )
168167breq2d 4165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  y  ->  (
n  <_  ( (
k  /  2 )  x.  v )  <->  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) ) )
169166, 168anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  y  ->  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  v ) )  <-> 
( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  y ) ) ) )
170169anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  y  ->  (
( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <-> 
( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
171170rexbidv 2670 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  y  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
172165, 171syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  y  ->  ( E. i  e.  NN  ( ( v  < 
i  /\  i  <_  ( ( k  /  2
)  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  i )  /  i
) )  <_  ( E  /  2 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) )
173172rspcv 2991 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( Z (,)  +oo )  ->  ( A. v  e.  ( Z (,)  +oo ) E. i  e.  NN  ( ( v  <  i  /\  i  <_  ( ( k  / 
2 )  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 i )  / 
i ) )  <_ 
( E  /  2
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  / 
2 )  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
( E  /  2
) ) ) )
17445, 155, 173sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
175 pntibnd.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
176 pntibndlem1.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
177176ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
178 pntibndlem1.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
179 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
180 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  v  ->  ( R `  x )  =  ( R `  v ) )
181 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  v  ->  x  =  v )
182180, 181oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  v  ->  (
( R `  x
)  /  x )  =  ( ( R `
 v )  / 
v ) )
183182fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  v  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  =  ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) ) )
184183breq1d 4163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  A
) )
185184cbvralv 2875 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  A  <->  A. v  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  <_  A )
186179, 185sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  v )  /  v ) )  <_  A )
187186ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  <_  A )
18847ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
1899ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
19024ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  Z  e.  RR+ )
191 simprrl 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
192 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
t  e.  RR+ )
193 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  (
1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] ( 2  x.  v
) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) )
194 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  ( t  /  ( E  / 
4 ) ) )  +  Z )  =  ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )
195 simprll 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )
196 simprlr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
y  e.  ( ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )
197 simprrr 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) )
198175, 177, 178, 187, 188, 64, 46, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197pntibndlem2 21152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
( k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( ( k  /  2
)  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  ( E  /  2 ) ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
199198anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( t  e.  RR+  /\ 
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v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
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( ( 2  x.  ( w  -  v
) )  +  ( t  x.  ( v  /  ( log `  v
) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( ( k  /  2 )  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n ) )  <_  ( E  / 
2 ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
200174, 199rexlimddv 2777 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  RR+  /\  A. v  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. w  e.  ( v [,] (
2  x.  v ) ) ( (ψ `  w )  -  (ψ `  v ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( w  -  v
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) ) ) ) ) )  /\  (
k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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( ( 2  x.  ( w  -  v
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) ) ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
202 oveq1 6027 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  ->  ( x (,) 
+oo )  =  ( ( ( exp `  (
t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) )
203202raleqdv 2853 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  ->  ( A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
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1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
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t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
204203ralbidv 2669 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( exp `  ( t  /  ( E  /  4 ) ) )  +  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
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1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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) )
20627, 201, 205syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
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1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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v [,] ( 2  x.  v ) ) ( (ψ `  w
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( ( 2  x.  ( w  -  v
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2086, 207mpi 17 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
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1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
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) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    +oocpnf 9050   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   3c3 9982   4c4 9983   RR+crp 10544   (,)cioo 10848   [,)cico 10850   [,]cicc 10851   abscabs 11966   expce 12591   logclog 20319  ψcchp 20742
This theorem is referenced by:  pntibnd  21154
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-disj 4124  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-o1 12211  df-lo1 12212  df-sum 12407  df-ef 12597  df-e 12598  df-sin 12599  df-cos 12600  df-pi 12602  df-dvds 12780  df-gcd 12934  df-prm 13007  df-pc 13138  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-cmp 17372  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621  df-log 20321  df-cxp 20322  df-em 20698  df-cht 20746  df-vma 20747  df-chp 20748  df-ppi 20749  df-mu 20750
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