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Theorem pntlem3 20758
Description: Lemma for pnt 20763. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem3.A  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntlem3.1  |-  T  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
pntlem3.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem3.3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
Assertion
Ref Expression
pntlem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Distinct variable groups:    x, t,
y, z, A    u, a, x, y, z    u, C    u, t, R, x, y, z    t, a   
u, T, x    ph, t, x, y, u, z
Allowed substitution hints:    ph( a)    A( u, a)    C( x, y, z, t, a)    R( a)    T( y, z, t, a)

Proof of Theorem pntlem3
Dummy variables  s  w  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 10364 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
2 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32subcn 18370 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
43a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
5 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
6 cncfmptid 18416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
75, 5, 6mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC -cn-> CC )
87a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
92mulcn 18371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
109a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
11 pntlem3.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1211adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  C  e.  RR+ )
1312rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  C  e.  CC )
145a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  CC  C_  CC )
15 cncfmptc 18415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
p  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
1613, 14, 14, 15syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
17 3nn0 9983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  NN0
182expcn 18376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p ^ 3 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
1917, 18mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p ^
3 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
202cncfcn1 18414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
2119, 20syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p ^
3 ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
222, 10, 16, 21cncfmpt2f 18418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
232, 4, 8, 22cncfmpt2f 18418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
24 pntlem3.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
25 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  C_  ( 0 [,] A
)
2624, 25eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  C_  ( 0 [,] A
)
27 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
28 pntlem3.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2928rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
30 iccssre 10731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0 [,] A
)  C_  RR )
3127, 29, 30sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] A
)  C_  RR )
3226, 31syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  C_  RR )
33 0xr 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
3433a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
3528rpxrd 10391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3628rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
37 ubicc2 10753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,] A
) )
3834, 35, 36, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] A ) )
39 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
40 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
41 elicopnf 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
z  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  1  <_ 
z ) ) )
4240, 41mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  1  <_  z ) ) )
4342simprbda 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  z  e.  RR )
4427a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  e.  RR )
4540a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
46 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  1
4746a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <  1 )
4842simplbda 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  z )
4944, 45, 43, 47, 48ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <  z )
5043, 49elrpd 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  z  e.  RR+ )
51 pntlem3.A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A )
53 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  ( R `  x )  =  ( R `  z ) )
54 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
5553, 54oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( R `  x
)  /  x )  =  ( ( R `
 z )  / 
z ) )
5655fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  =  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) ) )
5756breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
) )
5857rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  A  ->  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
5950, 52, 58sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  <_  A )
6059ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
61 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  1  ->  (
y [,)  +oo )  =  ( 1 [,)  +oo ) )
6261raleqdv 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  1  ->  ( A. z  e.  (
y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  A  <->  A. z  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6362rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
)  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
6439, 60, 63sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
)
65 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  A  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
) )
6665rexralbidv 2587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  A  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6766, 24elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  T  <->  ( A  e.  ( 0 [,] A
)  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6838, 64, 67sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  T )
69 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
71 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) ) )
7227, 29, 71sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) ) )
7372biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  (
t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) )
7473simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  0  <_  t )
7574a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7675ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7724raleqi 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  T  0  <_  w  <->  A. w  e.  {
t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t } 0  <_  w
)
78 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  t  ->  (
0  <_  w  <->  0  <_  t ) )
7978ralrab2 2931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
0  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
8077, 79bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  T  0  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
8176, 80sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. w  e.  T 
0  <_  w )
82 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
8382ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  T  x  <_  w  <->  A. w  e.  T  0  <_  w ) )
8483rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  T  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )
8527, 81, 84sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )
86 infmrcl 9733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8732, 70, 85, 86syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8887recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC )
8988adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC )
90 elrp 10356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ 
<->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
9190biimpri 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ )
9287, 91sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ )
9317nn0zi 10048 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  ZZ
94 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 )  e.  RR+ )
9592, 93, 94sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 )  e.  RR+ )
9612, 95rpmulcld 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  e.  RR+ )
97 cncfi 18398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC )  /\  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC  /\  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) )  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
9823, 89, 96, 97syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
9987ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
100 rphalfcl 10378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
101100adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
10299, 101ltaddrpd 10419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) ) )
103101rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
10499, 103readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  e.  RR )
10599, 104ltnled 8966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  < 
( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <->  -.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
106102, 105mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
107 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
10832, 107syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
109108ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  CC )
110 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T 
C_  CC  ->  ( A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
111109, 110syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
11232ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  RR )
113112sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  u  e.  RR )
114104adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  e.  RR )
115113, 114ltnled 8966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <->  -.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
11687ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
117103adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
118116, 117resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  e.  RR )
11999, 101ltsubrpd 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
120119adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
12132ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  T  C_  RR )
12285ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
123 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  u  e.  T )
124 infmrlb 9735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w  /\  u  e.  T
)  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  u
)
125121, 122, 123, 124syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  u
)
126118, 116, 113, 120, 125ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  u
)
127113, 116, 117absdifltd 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 )  <->  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  u  /\  u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) ) ) ) )
128127biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  (
s  /  2 ) )  <  u  /\  u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  /  2 ) ) )
129126, 128mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 ) ) )
130 rphalflt 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  < 
s )
131130ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
s  /  2 )  <  s )
132113, 116resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  RR )
133132recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  CC )
134133abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  e.  RR )
135 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
136135ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  s  e.  RR )
137 lttr 8899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  e.  RR  /\  (
s  /  2 )  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 )  /\  (
s  /  2 )  <  s )  -> 
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
138134, 117, 136, 137syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 )  /\  (
s  /  2 )  <  s )  -> 
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
139131, 138mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
140129, 139syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
141115, 140sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( -.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
142141con1d 116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( -.  ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
143113recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  u  e.  CC )
144 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  u  ->  p  =  u )
145 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  u  ->  (
p ^ 3 )  =  ( u ^
3 ) )
146145oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  u  ->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) )  =  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )
147144, 146oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  u  ->  (
p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) )  =  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) ) )
148 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) )  =  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) )
149 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  e. 
_V
150147, 148, 149fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  CC  ->  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  u
)  =  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) ) )
151143, 150syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  u
)  =  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) ) )
15289ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC )
153 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
154 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( p ^ 3 )  =  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )
155154oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) )  =  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )
156153, 155oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) )  =  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
157 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  e.  _V
158156, 148, 157fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC  ->  ( (
p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
159152, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
160151, 159oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
161160fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  =  ( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) ) ) ) )
162161breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  <->  ( abs `  ( ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
16311rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
164163ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  C  e.  RR )
165 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( u  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( u ^ 3 )  e.  RR )
166113, 17, 165sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u ^ 3 )  e.  RR )
167164, 166remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( C  x.  ( u ^ 3 ) )  e.  RR )
168113, 167resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  RR )
16917a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  3  e.  NN0 )
170116, 169reexpcld 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 )  e.  RR )
171164, 170remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  e.  RR )
172116, 171resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  e.  RR )
173168, 172, 171absdifltd 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  <->  ( (
( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  <  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  /\  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  <  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
174171recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  e.  CC )
175152, 174npcand 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
176175breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  <->  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
177 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ph )
178 pntlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
179177, 178sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
180 infmrlb 9735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w  /\  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  e.  T
)  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) ) )
181121, 122, 179, 180syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) ) )
182116, 168lenltd 8965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <->  -.  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
183181, 182mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  -.  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
184183pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
185176, 184sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  -> 
( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u ) )
186185adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  <  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  /\  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
187173, 186sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
188162, 187sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
189142, 188jad 154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
190189ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  T  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
19170ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  =/=  (/) )
19285ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
193 infmrgelb 9734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )  /\  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  e.  RR )  ->  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. u  e.  T  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
194112, 191, 192, 104, 193syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  / 
2 ) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. u  e.  T  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
195190, 194sylibrd 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  T  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
196111, 195syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
197106, 196mtod 168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
198197nrexdv 2646 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  -.  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
19998, 198pm2.65da 559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
200199adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
20132adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  RR )
20270adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  =/=  (/) )
20385adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
204135adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  s  e.  RR )
205 infmrgelb 9734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )  /\  s  e.  RR )  ->  (
s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  T  s  <_  w ) )
206201, 202, 203, 204, 205syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  T  s  <_  w ) )
20724raleqi 2740 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  T  s  <_  w  <->  A. w  e.  {
t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t } s  <_  w
)
208 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  t  ->  (
s  <_  w  <->  s  <_  t ) )
209208ralrab2 2931 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
s  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
210207, 209bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  T  s  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
211206, 210syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. t  e.  (
0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) ) )
212 rpgt0 10365 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR+  ->  0  < 
s )
213212adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  0  <  s )
21427a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
21587adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
216 ltletr 8913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  s  /\  s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
217214, 204, 215, 216syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( (
0  <  s  /\  s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
218213, 217mpand 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
219211, 218sylbird 226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t  ->  s  <_  t )  ->  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
220200, 219mtod 168 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
221 rexanali 2589 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t
)  <->  -.  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
222220, 221sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t ) )
223 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  ( R `  z )  =  ( R `  x ) )
224 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
225223, 224oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( R `  z
)  /  z )  =  ( ( R `
 x )  /  x ) )
226225fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  =  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) ) )
227226breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  t
) )
228227cbvralv 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t  <->  A. x  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  t
)
229 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
230229ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  RR )
231 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  <_  x )
232 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR+ )
233232rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR )
234 elicopnf 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( y [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  y  <_  x ) ) )
235233, 234syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( x  e.  ( y [,)  +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  y  <_  x )
) )
236230, 231, 235mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  ( y [,)  +oo ) )
237 pntlem3.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
238237pntrval 20711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
239238ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x ) )
240239oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( R `  x )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x
)  -  x )  /  x ) )
241 chpcl 20362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
242230, 241syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
243242recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  (ψ `  x
)  e.  CC )
244 rpcn 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
245244ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  CC )
246 rpne0 10369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
247246ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  =/=  0 )
248243, 245, 245, 247divsubdird 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  -  x )  /  x
)  =  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  (
x  /  x ) ) )
249245, 247dividd 9534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( x  /  x )  =  1 )
250249oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  (
x  /  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )
251240, 248, 2503eqtrrd 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  =  ( ( R `  x )  /  x ) )
252251fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  =  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) ) )
253252breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  t
) )
254 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  -.  s  <_  t )
255254ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  -.  s  <_  t )
25631ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  ( 0 [,] A )  C_  RR )
257256ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( 0 [,] A )  C_  RR )
258 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
t  e.  ( 0 [,] A ) )
259258adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  e.  ( 0 [,] A
) )
260257, 259sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  e.  RR )
261 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
s  e.  RR+ )
262261adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  s  e.  RR+ )
263262rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  s  e.  RR )
264260, 263ltnled 8966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( t  <  s  <->  -.  s  <_  t ) )
265255, 264mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  <  s )
266229, 241syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
267 rerpdivcl 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
268266, 267mpancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
269268ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
270 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  /  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 )  e.  RR )
271269, 40, 270sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  e.  RR )
272271recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  e.  CC )
273272abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  e.  RR )
274 lelttr 8912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  e.  RR  /\  t  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <_  t  /\  t  <  s )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
275273, 260, 263, 274syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <_  t  /\  t  <  s )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
276265, 275mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <_  t  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) )
277253, 276sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
t  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
278236, 277embantd 50 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
x  e.  ( y [,)  +oo )  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
t )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
279278exp32 588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( y  <_  x  ->  ( x  e.  RR+  ->  ( ( x  e.  ( y [,)  +oo )  ->  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) ) )
280279com24 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  e.  ( y [,)  +oo )  ->  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( x  e.  RR+  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) ) )
281280ralimdv2 2623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t  ->  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
282228, 281syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
283282reximdva 2655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
284283anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A ) )  /\  -.  s  <_ 
t )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
285284impancom 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A ) )  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t )  ->  ( -.  s  <_ 
t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
286285expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  (
( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
287286rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t
)  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
288222, 287mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
289 ssrexv 3238 . . . 4  |-  ( RR+  C_  RR  ->  ( E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
2901, 288, 289mpsyl 59 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
291290ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
292268recnd 8861 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
293292rgen 2608 . . . 4  |-  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC
294293a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x )  e.  CC )
2951a1i 10 . . 3  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
296 ax-1cn 8795 . . . 4  |-  1  e.  CC
297296a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
298294, 295, 297rlim2 11970 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1  <->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
299291, 298mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   3c3 9796   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354   [,)cico 10658   [,]cicc 10659   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> r crli 11959   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377    Cn ccn 16954    tX ctx 17255   -cn->ccncf 18380  ψcchp 20330
This theorem is referenced by:  pntleml  20760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-vma 20335  df-chp 20336
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