Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemg Unicode version

Theorem pntlemg 20747
 Description: Lemma for pnt 20763. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, is j^* and is ĵ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ψ
pntlem1.a
pntlem1.b
pntlem1.l
pntlem1.d
pntlem1.f ;
pntlem1.u
pntlem1.u2
pntlem1.e
pntlem1.k
pntlem1.y
pntlem1.x
pntlem1.c
pntlem1.w ;
pntlem1.z
pntlem1.m
pntlem1.n
Assertion
Ref Expression
pntlemg
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pntlemg
StepHypRef Expression
1 pntlem1.m . . 3
2 pntlem1.x . . . . . . . . 9
32simpld 445 . . . . . . . 8
43rpred 10390 . . . . . . 7
5 1re 8837 . . . . . . . . 9
65a1i 10 . . . . . . . 8
7 pntlem1.y . . . . . . . . . 10
87simpld 445 . . . . . . . . 9
98rpred 10390 . . . . . . . 8
107simprd 449 . . . . . . . 8
112simprd 449 . . . . . . . 8
126, 9, 4, 10, 11lelttrd 8974 . . . . . . 7
134, 12rplogcld 19980 . . . . . 6
14 pntlem1.r . . . . . . . . . 10 ψ
15 pntlem1.a . . . . . . . . . 10
16 pntlem1.b . . . . . . . . . 10
17 pntlem1.l . . . . . . . . . 10
18 pntlem1.d . . . . . . . . . 10
19 pntlem1.f . . . . . . . . . 10 ;
20 pntlem1.u . . . . . . . . . 10
21 pntlem1.u2 . . . . . . . . . 10
22 pntlem1.e . . . . . . . . . 10
23 pntlem1.k . . . . . . . . . 10
2414, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23pntlemc 20744 . . . . . . . . 9
2524simp2d 968 . . . . . . . 8
2625rpred 10390 . . . . . . 7
2724simp3d 969 . . . . . . . 8
2827simp2d 968 . . . . . . 7
2926, 28rplogcld 19980 . . . . . 6
3013, 29rpdivcld 10407 . . . . 5
3130rprege0d 10397 . . . 4
32 flge0nn0 10948 . . . 4
33 nn0p1nn 10003 . . . 4
3431, 32, 333syl 18 . . 3
351, 34syl5eqel 2367 . 2
3635nnzd 10116 . . 3
37 pntlem1.n . . . 4
38 pntlem1.c . . . . . . . . . 10
39 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 ;
40 pntlem1.z . . . . . . . . . 10
4114, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 7, 2, 38, 39, 40pntlemb 20746 . . . . . . . . 9 ;
4241simp1d 967 . . . . . . . 8
4342relogcld 19974 . . . . . . 7
4443, 29rerpdivcld 10417 . . . . . 6
4544rehalfcld 9958 . . . . 5
4645flcld 10930 . . . 4
4737, 46syl5eqel 2367 . . 3
48 0re 8838 . . . . . 6
4948a1i 10 . . . . 5
50 4nn 9879 . . . . . 6
51 nndivre 9781 . . . . . 6
5244, 50, 51sylancl 643 . . . . 5
5347zred 10117 . . . . . 6
5435nnred 9761 . . . . . 6
5553, 54resubcld 9211 . . . . 5
5642rpred 10390 . . . . . . . . 9
5741simp2d 968 . . . . . . . . . 10
5857simp1d 967 . . . . . . . . 9
5956, 58rplogcld 19980 . . . . . . . 8
6059, 29rpdivcld 10407 . . . . . . 7
61 4re 9819 . . . . . . . 8
62 4pos 9832 . . . . . . . 8
6361, 62elrpii 10357 . . . . . . 7
64 rpdivcl 10376 . . . . . . 7
6560, 63, 64sylancl 643 . . . . . 6
6665rpge0d 10394 . . . . 5
6752recnd 8861 . . . . . . . . 9
6835nncnd 9762 . . . . . . . . 9
69 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10
7069a1i 10 . . . . . . . . 9
7167, 68, 70addassd 8857 . . . . . . . 8
7254, 6readdcld 8862 . . . . . . . . . 10
7352, 72readdcld 8862 . . . . . . . . 9
74 peano2re 8985 . . . . . . . . . 10
7553, 74syl 15 . . . . . . . . 9
7630rpred 10390 . . . . . . . . . . . . 13
77 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . 14
7877a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
7976, 78readdcld 8862 . . . . . . . . . . . 12
80 reflcl 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8176, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382, 70, 70addassd 8857 . . . . . . . . . . . . . 14
841oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . 14
85 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . 14
8783, 84, 863eqtr4g 2340 . . . . . . . . . . . . 13
88 flle 10931 . . . . . . . . . . . . . . 15
8976, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
9081, 76, 78, 89leadd1dd 9386 . . . . . . . . . . . . 13
9187, 90eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . 12
9241simp3d 969 . . . . . . . . . . . . 13 ;
9392simp2d 968 . . . . . . . . . . . 12
9472, 79, 52, 91, 93letrd 8973 . . . . . . . . . . 11
9572, 52, 52, 94leadd2dd 9387 . . . . . . . . . 10
9644recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14
97 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
99 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
10196, 98, 98, 100, 100divdiv1d 9567 . . . . . . . . . . . . 13
102 2t2e4 9871 . . . . . . . . . . . . . 14
103102oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13
104101, 103syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12
105104oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11
10645recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12
107106, 98, 100divcan2d 9538 . . . . . . . . . . 11
108672timesd 9954 . . . . . . . . . . 11
109105, 107, 1083eqtr3d 2323 . . . . . . . . . 10
11095, 109breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9
111 fllep1 10933 . . . . . . . . . . 11
11245, 111syl 15 . . . . . . . . . 10
11337oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10
114112, 113syl6breqr 4063 . . . . . . . . 9
11573, 45, 75, 110, 114letrd 8973 . . . . . . . 8
11671, 115eqbrtrd 4043 . . . . . . 7
11752, 54readdcld 8862 . . . . . . . 8
118117, 53, 6leadd1d 9366 . . . . . . 7
119116, 118mpbird 223 . . . . . 6
120 leaddsub 9250 . . . . . . 7
12152, 54, 53, 120syl3anc 1182 . . . . . 6
122119, 121mpbid 201 . . . . 5
12349, 52, 55, 66, 122letrd 8973 . . . 4
12453, 54subge0d 9362 . . . 4
125123, 124mpbid 201 . . 3
126 eluz2 10236 . . 3
12736, 47, 125, 126syl3anbrc 1136 . 2
12835, 127, 1223jca 1132 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446   class class class wbr 4023   cmpt 4077  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cmul 8742   cpnf 8864   clt 8867   cle 8868   cmin 9037   cdiv 9423  cn 9746  c2 9795  c3 9796  c4 9797  cn0 9965  cz 10024  ;cdc 10124  cuz 10230  crp 10354  cioo 10656  cico 10658  cfl 10924  cexp 11104  csqr 11718  ce 12343  ceu 12344  clog 19912  ψcchp 20330 This theorem is referenced by:  pntlemh  20748  pntlemq  20750  pntlemr  20751  pntlemj  20752  pntlemf  20754 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
 Copyright terms: Public domain W3C validator