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Theorem pntlemj 21164
Description: Lemma for pnt 21175. The induction step. Using pntibnd 21154, we find an interval in  K ^ J ... K ^ ( J  + 
1 ) which is sufficiently large and has a much smaller value,  R ( z )  / 
z  <_  E (instead of our original bound 
R ( z )  /  z  <_  U). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
pntlem1.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
pntlem1.n  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
pntlem1.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
pntlem1.K  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( K  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
pntlem1.o  |-  O  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ J
) ) ) )
pntlem1.v  |-  ( ph  ->  V  e.  RR+ )
pntlem1.V  |-  ( ph  ->  ( ( ( K ^ J )  < 
V  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  < 
( K  x.  ( K ^ J ) ) )  /\  A. u  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
)
pntlem1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M..^ N ) )
pntlem1.i  |-  I  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )
Assertion
Ref Expression
pntlemj  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  sum_ n  e.  O  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
Distinct variable groups:    z, C    n, I    y, n, z, J    u, n, L, y, z    n, K, y, z    n, M, z    n, O, z    ph, n    n, N, z    R, n, u, y, z   
n, V, u    U, n, z    n, W, z   
n, X, y, z   
n, Y, z    n, a, u, y, z, E   
n, Z, u, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, u, a)    A( y, z, u, n, a)    B( y, z, u, n, a)    C( y, u, n, a)    D( y, z, u, n, a)    R( a)    U( y, u, a)    F( y, z, u, n, a)    I( y, z, u, a)    J( u, a)    K( u, a)    L( a)    M( y, u, a)    N( y, u, a)    O( y, u, a)    V( y, z, a)    W( y, u, a)    X( u, a)    Y( y, u, a)    Z( y, a)

Proof of Theorem pntlemj
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2 pntlem1.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3 pntlem1.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4 pntlem1.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
5 pntlem1.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( A  +  1 )
6 pntlem1.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
7 pntlem1.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
8 pntlem1.u2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
9 pntlem1.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( U  /  D
)
10 pntlem1.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 21156 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR+  /\  K  e.  RR+  /\  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E )  e.  RR+ ) ) )
1211simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
)
1312simp3d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
141, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 21155 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR+  /\  D  e.  RR+  /\  F  e.  RR+ ) )
1514simp1d 969 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  RR+ )
1611simp1d 969 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1715, 16rpmulcld 10596 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR+ )
18 8nn 10071 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN
19 nnrp 10553 . . . . . . 7  |-  ( 8  e.  NN  ->  8  e.  RR+ )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . 6  |-  8  e.  RR+
21 rpdivcl 10566 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
( L  x.  E
)  /  8 )  e.  RR+ )
2217, 20, 21sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  8
)  e.  RR+ )
23 pntlem1.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
24 pntlem1.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
25 pntlem1.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
26 pntlem1.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
27 pntlem1.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27pntlemb 21158 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
2928simp1d 969 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
3029rpred 10580 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
3128simp2d 970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
3231simp1d 969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  Z )
3330, 32rplogcld 20391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR+ )
3422, 33rpmulcld 10596 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
8 )  x.  ( log `  Z ) )  e.  RR+ )
3513, 34rpmulcld 10596 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  e.  RR+ )
3635rpred 10580 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  e.  RR )
37 pntlem1.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )
38 fzfid 11239 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  e.  Fin )
3937, 38syl5eqel 2471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
40 hashcl 11566 . . . . 5  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( # `
 I )  e. 
NN0 )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  e.  NN0 )
4241nn0red 10207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  e.  RR )
4313rpred 10580 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  RR )
44 pntlem1.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  RR+ )
4529, 44rpdivcld 10597 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Z  /  V
)  e.  RR+ )
4645relogcld 20385 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
4746, 45rerpdivcld 10607 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
4843, 47remulcld 9049 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  RR )
4942, 48remulcld 9049 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  I
)  x.  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) ) ) )  e.  RR )
50 pntlem1.o . . . 4  |-  O  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ J
) ) ) )
51 fzfid 11239 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ J
) ) ) )  e.  Fin )
5250, 51syl5eqel 2471 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
537rpred 10580 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5453adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  U  e.  RR )
5511simp2d 970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
56 pntlem1.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M..^ N ) )
57 elfzoelz 11070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ZZ )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
5958peano2zd 10310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ZZ )
6055, 59rpexpcld 11473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  e.  RR+ )
6129, 60rpdivcld 10597 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Z  /  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
6261rprege0d 10587 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Z  /  ( K ^
( J  +  1 ) ) ) ) )
63 flge0nn0 11152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Z  /  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Z  /  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) ) )  e.  NN0 )
64 nn0p1nn 10191 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  ( K ^
( J  +  1 ) ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  ( K ^
( J  +  1 ) ) ) )  +  1 )  e.  NN )
6562, 63, 643syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) ) )  +  1 )  e.  NN )
66 elfzuz 10987 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( K ^
( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ J ) ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ) )
6766, 50eleq2s 2479 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  O  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ) )
68 nnuz 10453 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6968uztrn2 10435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
7065, 67, 69syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  e.  NN )
7154, 70nndivred 9980 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( U  /  n )  e.  RR )
7229adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  Z  e.  RR+ )
7370nnrpd 10579 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  e.  RR+ )
7472, 73rpdivcld 10597 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( Z  /  n )  e.  RR+ )
751pntrf 21124 . . . . . . . . . 10  |-  R : RR+
--> RR
7675ffvelrni 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( Z  /  n ) )  e.  RR )
7774, 76syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( R `  ( Z  /  n ) )  e.  RR )
7877, 72rerpdivcld 10607 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z )  e.  RR )
7978recnd 9047 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z )  e.  CC )
8079abscld 12165 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  e.  RR )
8171, 80resubcld 9397 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  (
( U  /  n
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  Z
) ) )  e.  RR )
8273relogcld 20385 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
8381, 82remulcld 9049 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  (
( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8452, 83fsumrecl 12455 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  O  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) )  e.  RR )
85 pntlem1.m . . 3  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
86 pntlem1.n . . 3  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
87 pntlem1.U . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
88 pntlem1.K . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( K  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
89 pntlem1.V . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K ^ J )  < 
V  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  < 
( K  x.  ( K ^ J ) ) )  /\  A. u  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
)
901, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 85, 86, 87, 88, 50, 44, 89, 56, 37pntlemr 21163 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  ( ( # `  I )  x.  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
9148recnd 9047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  CC )
92 fsumconst 12500 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  I  ( ( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( # `  I )  x.  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
9339, 91, 92syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  I 
( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( # `  I )  x.  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
941, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 85, 86, 87, 88, 50, 44, 89, 56, 37pntlemq 21162 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  C_  O )
9591ralrimivw 2733 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  I 
( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  CC )
9652olcd 383 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O  C_  ( ZZ>=
`  1 )  \/  O  e.  Fin )
)
97 sumss2 12447 . . . . 5  |-  ( ( ( I  C_  O  /\  A. n  e.  I 
( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  CC )  /\  ( O  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  O  e.  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  I  ( ( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  sum_ n  e.  O  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 ) )
9894, 95, 96, 97syl21anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  I 
( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  sum_ n  e.  O  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 ) )
9993, 98eqtr3d 2421 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  I
)  x.  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) ) ) )  =  sum_ n  e.  O  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 ) )
10048adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  RR )
101100adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  O )  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  RR )
102 0re 9024 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
103102a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  O )  /\  -.  n  e.  I )  ->  0  e.  RR )
104101, 103ifclda 3709 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
105 breq1 4156 . . . . 5  |-  ( ( ( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <_  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) )  <->  if (
n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )
106 breq1 4156 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n
) )  <->  if (
n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )
10713rpregt0d 10586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  e.  RR  /\  0  <  ( U  -  E ) ) )
108107adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  e.  RR  /\  0  <  ( U  -  E ) ) )
109108simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( U  -  E )  e.  RR )
110 1rp 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR+
111 rpaddcl 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  ( L  x.  E )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
112110, 17, 111sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
113112, 44rpmulcld 10596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  e.  RR+ )
11429, 113rpdivcld 10597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR+ )
115114rprege0d 10587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )
116 flge0nn0 11152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  -> 
( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  e.  NN0 )
117 nn0p1nn 10191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  e.  NN )
118115, 116, 1173syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  e.  NN )
119 elfzuz 10987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ) )
120119, 37eleq2s 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  I  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ) )
12168uztrn2 10435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
122118, 120, 121syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  NN )
123122nnrpd 10579 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  RR+ )
124123relogcld 20385 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
125124, 122nndivred 9980 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( log `  n
)  /  n )  e.  RR )
126109, 125remulcld 9049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  n )  /  n ) )  e.  RR )
12794sselda 3291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  O )
128127, 83syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
129 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  I )
130129, 37syl6eleq 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) ) )
131 elfzle2 10993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  ->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )
13345rpred 10580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Z  /  V
)  e.  RR )
134133adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  V )  e.  RR )
135 elfzelz 10991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
136130, 135syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  ZZ )
137 flge 11141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Z  /  V
)  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  ( Z  /  V )  <->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  V ) ) ) )
138134, 136, 137syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
n  <_  ( Z  /  V )  <->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  V ) ) ) )
139132, 138mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  <_  ( Z  /  V
) )
140122nnred 9947 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  RR )
141 ere 12618 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR
142141a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  _e  e.  RR )
143114rpred 10580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR )
144143adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR )
145141a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
14629rpsqrcld 12141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR+ )
147146rpred 10580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR )
14831simp2d 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  Z ) )
149113rpred 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  e.  RR )
15060rpred 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  e.  RR )
15189simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ J )  <  V  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( K  x.  ( K ^ J
) ) ) )
152151simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( K  x.  ( K ^ J
) ) )
15355rpcnd 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
15455, 58rpexpcld 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( K ^ J
)  e.  RR+ )
155154rpcnd 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( K ^ J
)  e.  CC )
156153, 155mulcomd 9042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( K ^ J ) )  =  ( ( K ^ J )  x.  K ) )
1571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 85, 86pntlemg 21159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  <_  ( N  -  M )
) )
158157simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
159 elfzouz 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ( ZZ>= `  M )
)
16056, 159syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= `  M ) )
16168uztrn2 10435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN  /\  J  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  J  e.  NN )
162158, 160, 161syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
163162nnnn0d 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
164153, 163expp1d 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  =  ( ( K ^ J )  x.  K ) )
165156, 164eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( K ^ J ) )  =  ( K ^
( J  +  1 ) ) )
166152, 165breqtrd 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) )
167149, 150, 166ltled 9153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <_  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) )
168 fzofzp1 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  ( J  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
16956, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
1701, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 85, 86pntlemh 21160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( J  +  1 )  e.  ( M ... N
) )  ->  ( X  <  ( K ^
( J  +  1 ) )  /\  ( K ^ ( J  + 
1 ) )  <_ 
( sqr `  Z
) ) )
171169, 170mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  <  ( K ^ ( J  + 
1 ) )  /\  ( K ^ ( J  +  1 ) )  <_  ( sqr `  Z
) ) )
172171simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  <_  ( sqr `  Z ) )
173149, 150, 147, 167, 172letrd 9159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <_  ( sqr `  Z ) )
174149, 147, 146lemul2d 10620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  <_  ( sqr `  Z )  <->  ( ( sqr `  Z )  x.  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) )  <_  (
( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) ) ) )
175173, 174mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  ( ( sqr `  Z )  x.  ( sqr `  Z ) ) )
17629rprege0d 10587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )
)
177 remsqsqr 11989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
178176, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
179175, 178breqtrd 4177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  Z )
180147, 30, 113lemuldivd 10625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  Z )  x.  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  Z  <->  ( sqr `  Z )  <_  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )
181179, 180mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
182145, 147, 143, 148, 181letrd 9159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
183182adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  _e  <_  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
184 reflcl 11132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  e.  RR )
185 peano2re 9171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  e.  RR )
186143, 184, 1853syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  e.  RR )
187186adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  e.  RR )
188 fllep1 11137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR  ->  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_ 
( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) )
189144, 188syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_ 
( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) )
190 elfzle1 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 )  <_  n
)
191130, 190syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  <_  n )
192144, 187, 140, 189, 191letrd 9159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  n )
193142, 144, 140, 183, 192letrd 9159 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  _e  <_  n )
194142, 140, 134, 193, 139letrd 9159 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  _e  <_  ( Z  /  V
) )
195 logdivle 20384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  _e  <_  n )  /\  ( ( Z  /  V )  e.  RR  /\  _e  <_  ( Z  /  V ) ) )  ->  ( n  <_ 
( Z  /  V
)  <->  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) )  <_  ( ( log `  n )  /  n
) ) )
196140, 193, 134, 194, 195syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
n  <_  ( Z  /  V )  <->  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  / 
( Z  /  V
) )  <_  (
( log `  n
)  /  n ) ) )
197139, 196mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  <_ 
( ( log `  n
)  /  n ) )
19847adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
199 lemul2 9795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR  /\  ( ( U  -  E )  e.  RR  /\  0  <  ( U  -  E
) ) )  -> 
( ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) )  <_  ( ( log `  n )  /  n
)  <->  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <_  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
200198, 125, 108, 199syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  <_ 
( ( log `  n
)  /  n )  <-> 
( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <_  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
201197, 200mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <_  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
20213rpcnd 10582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  CC )
203202adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( U  -  E )  e.  CC )
204124recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
205123rpcnne0d 10589 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
206 div23 9629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  -  E
)  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( ( ( U  -  E
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )
207203, 204, 205, 206syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( U  -  E )  x.  ( log `  n ) )  /  n )  =  ( ( ( U  -  E )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )
208 divass 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  -  E
)  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  n )  /  n
) ) )
209203, 204, 205, 208syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( U  -  E )  x.  ( log `  n ) )  /  n )  =  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  n
)  /  n ) ) )
210207, 209eqtr3d 2421 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( U  -  E )  /  n
)  x.  ( log `  n ) )  =  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  n
)  /  n ) ) )
21143adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( U  -  E )  e.  RR )
212211, 122nndivred 9980 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  /  n )  e.  RR )
213127, 81syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  /  n
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  Z
) ) )  e.  RR )
214 log1 20347 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  1 )  =  0
215122nnge1d 9974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  1  <_  n )
216 logleb 20365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  n  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  n ) ) )
217110, 123, 216sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
1  <_  n  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  n ) ) )
218215, 217mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( log `  1 )  <_ 
( log `  n
) )
219214, 218syl5eqbrr 4187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  0  <_  ( log `  n
) )
2207rpcnd 10582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
221220adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  U  e.  CC )
22216rpred 10580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
223222adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  E  e.  RR )
224223recnd 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  E  e.  CC )
225 divsubdir 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( U  -  E )  /  n )  =  ( ( U  /  n
)  -  ( E  /  n ) ) )
226221, 224, 205, 225syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  /  n )  =  ( ( U  /  n )  -  ( E  /  n
) ) )
227127, 80syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  e.  RR )
228223, 122nndivred 9980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( E  /  n )  e.  RR )
229127, 71syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( U  /  n )  e.  RR )
230127, 77syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( R `  ( Z  /  n ) )  e.  RR )
231230recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( R `  ( Z  /  n ) )  e.  CC )
23229adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  Z  e.  RR+ )
233232rpcnne0d 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 ) )
234 divdiv2 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R `  ( Z  /  n ) )  e.  CC  /\  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 )  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  / 
( Z  /  n
) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  n
) )  x.  n
)  /  Z ) )
235231, 233, 205, 234syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  ( Z  /  n ) )  =  ( ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  x.  n )  /  Z
) )
236123rpcnd 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  CC )
237 div23 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R `  ( Z  /  n ) )  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  x.  n )  /  Z
)  =  ( ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z )  x.  n ) )
238231, 236, 233, 237syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( R `  ( Z  /  n
) )  x.  n
)  /  Z )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z )  x.  n ) )
239235, 238eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  ( Z  /  n ) )  =  ( ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z )  x.  n
) )
240239fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  / 
( Z  /  n
) ) )  =  ( abs `  (
( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  Z
)  x.  n ) ) )
241127, 79syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z )  e.  CC )
242241, 236absmuld 12183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  ( ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z )  x.  n ) )  =  ( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  x.  ( abs `  n
) ) )
243123rprege0d 10587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
244 absid 12028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( abs `  n
)  =  n )
245243, 244syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  n )  =  n )
246245oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  x.  ( abs `  n
) )  =  ( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  x.  n ) )
247240, 242, 2463eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  / 
( Z  /  n
) ) )  =  ( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  x.  n ) )
24830adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  Z  e.  RR )
249248, 122nndivred 9980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  n )  e.  RR )
25044rpregt0d 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( V  e.  RR  /\  0  <  V ) )
251250adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( V  e.  RR  /\  0  <  V ) )
252 lemuldiv2 9822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  RR  /\  Z  e.  RR  /\  ( V  e.  RR  /\  0  <  V ) )  -> 
( ( V  x.  n )  <_  Z  <->  n  <_  ( Z  /  V ) ) )
253140, 248, 251, 252syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( V  x.  n
)  <_  Z  <->  n  <_  ( Z  /  V ) ) )
254139, 253mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( V  x.  n )  <_  Z )
255251simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  V  e.  RR )
256255, 248, 123lemuldivd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( V  x.  n
)  <_  Z  <->  V  <_  ( Z  /  n ) ) )
257254, 256mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  V  <_  ( Z  /  n
) )
258113rpregt0d 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
259258adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
260123rpregt0d 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
261 lediv23 9834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )  -> 
( ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) )  <_  n  <->  ( Z  /  n )  <_  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
262248, 259, 260, 261syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  n  <->  ( Z  /  n )  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
263192, 262mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  n )  <_ 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) )
26444rpred 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  V  e.  RR )
265264adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  V  e.  RR )
266149adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  e.  RR )
267 elicc2 10907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  RR  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  e.  RR )  ->  ( ( Z  /  n )  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <->  ( ( Z  /  n )  e.  RR  /\  V  <_ 
( Z  /  n
)  /\  ( Z  /  n )  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )
268265, 266, 267syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( Z  /  n
)  e.  ( V [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <->  ( ( Z  /  n )  e.  RR  /\  V  <_ 
( Z  /  n
)  /\  ( Z  /  n )  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )
269249, 257, 263, 268mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  n )  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
27089simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( V [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
271270adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  A. u  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
272 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( Z  /  n )  ->  ( R `  u )  =  ( R `  ( Z  /  n
) ) )
273 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( Z  /  n )  ->  u  =  ( Z  /  n ) )
274272, 273oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( Z  /  n )  ->  (
( R `  u
)  /  u )  =  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  / 
( Z  /  n
) ) )
275274fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( Z  /  n )  ->  ( abs `  ( ( R `
 u )  /  u ) )  =  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  ( Z  /  n ) ) ) )
276275breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( Z  /  n )  ->  (
( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  ( Z  /  n ) ) )  <_  E )
)
277276rspcv 2991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  /  n )  e.  ( V [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) )  ->  ( A. u  e.  ( V [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  / 
( Z  /  n
) ) )  <_  E ) )
278269, 271, 277sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  / 
( Z  /  n
) ) )  <_  E )
279247, 278eqbrtrrd 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  x.  n )  <_  E )
280227, 223, 123lemuldivd 10625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  x.  n )  <_  E 
<->  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  <_  ( E  /  n ) ) )
281279, 280mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  <_ 
( E  /  n
) )
282227, 228, 229, 281lesub2dd 9575 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  /  n
)  -  ( E  /  n ) )  <_  ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) ) )
283226, 282eqbrtrd 4173 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  /  n )  <_  ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) ) )
284212, 213, 124, 219, 283lemul1ad 9882 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( U  -  E )  /  n
)  x.  ( log `  n ) )  <_ 
( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
285210, 284eqbrtrrd 4175 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  n )  /  n ) )  <_  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
286100, 126, 128, 201, 285letrd 9159 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <_  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
287286adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  O )  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <_  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
28870nnred 9947 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  e.  RR )
28929, 154rpdivcld 10597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z  /  ( K ^ J ) )  e.  RR+ )
290289rpred 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  ( K ^ J ) )  e.  RR )
291290adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( Z  /  ( K ^ J ) )  e.  RR )
29223simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
29329, 292rpdivcld 10597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR+ )
294293rpred 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR )
295294adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( Z  /  Y )  e.  RR )
296 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  e.  O )
297296, 50syl6eleq 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  e.  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ J
) ) ) ) )
298 elfzle2 10993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( K ^
( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ J ) ) ) )  ->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ J ) ) ) )
299297, 298syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ J ) ) ) )
30070nnzd 10306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  e.  ZZ )
301 flge 11141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Z  /  ( K ^ J ) )  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
n  <_  ( Z  /  ( K ^ J ) )  <->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ J ) ) ) ) )
302291, 300, 301syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  (
n  <_  ( Z  /  ( K ^ J ) )  <->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ J ) ) ) ) )
303299, 302mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  <_  ( Z  /  ( K ^ J ) ) )
304292rpred 10580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
30524simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
306305rpred 10580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
307154rpred 10580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K ^ J
)  e.  RR )
30824simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <  X )
309304, 306, 308ltled 9153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  <_  X )
310 elfzofz 11084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ( M ... N ) )
31156, 310syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M ... N ) )
3121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 85, 86pntlemh 21160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ( M ... N ) )  ->  ( X  <  ( K ^ J
)  /\  ( K ^ J )  <_  ( sqr `  Z ) ) )
313311, 312mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  <  ( K ^ J )  /\  ( K ^ J )  <_  ( sqr `  Z
) ) )
314313simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  <  ( K ^ J ) )
315306, 307, 314ltled 9153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  <_  ( K ^ J ) )
316304, 306, 307, 309, 315letrd 9159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( K ^ J ) )
317292, 154, 29lediv2d 10604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  <_  ( K ^ J )  <->  ( Z  /  ( K ^ J ) )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
318316, 317mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  ( K ^ J ) )  <_  ( Z  /  Y ) )
319318adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( Z  /  ( K ^ J ) )  <_ 
( Z  /  Y
) )
320288, 291, 295, 303, 319letrd 9159 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  <_  ( Z  /  Y
) )
32170, 320jca 519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  (
n  e.  NN  /\  n  <_  ( Z  /  Y ) ) )
3221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 85, 86, 87pntlemn 21161 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( (
( U  /  n
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
323321, 322syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  0  <_  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
324323adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  O )  /\  -.  n  e.  I )  ->  0  <_  ( (
( U  /  n
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
325105, 106, 287, 324ifbothda 3712 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
32652, 104, 83, 325fsumle 12505 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  O  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  <_  sum_ n  e.  O  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
32799, 326eqbrtrd 4173 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  I
)  x.  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  O  ( (
( U  /  n
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
32836, 49, 84, 90, 327letrd 9159 1  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  sum_ n  e.  O  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263   ifcif 3682   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    +oocpnf 9050    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   3c3 9982   4c4 9983   8c8 9987   NN0cn0 10153   ZZcz 10214  ;cdc 10314   ZZ>=cuz 10420   RR+crp 10544   (,)cioo 10848   [,)cico 10850   [,]cicc 10851   ...cfz 10975  ..^cfzo 11065   |_cfl 11128   ^cexp 11309   #chash 11545   sqrcsqr 11965   abscabs 11966   sum_csu 12406   expce 12591   _eceu 12592   logclog 20319  ψcchp 20742
This theorem is referenced by:  pntlemi  21165
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-e 12598  df-sin 12599  df-cos 12600  df-pi 12602  df-dvds 12780  df-gcd 12934  df-prm 13007  df-pc 13138  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621  df-log 20321  df-vma 20747  df-chp 20748
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