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Theorem pntlemk 21257
Description: Lemma for pnt 21265. Evaluate the naive part of the estimate. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
pntlem1.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
pntlem1.n  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
pntlem1.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
pntlem1.K  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( K  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
Assertion
Ref Expression
pntlemk  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( ( U  x.  ( ( log `  Z
)  +  3 ) )  x.  ( log `  Z ) ) )
Distinct variable groups:    z, C    y, n, z, u, L   
n, K, y, z   
n, M, z    ph, n    n, N, z    R, n, u, y, z    U, n, z    n, W, z   
n, X, y, z   
n, Y, z    n, a, u, y, z, E   
n, Z, u, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, u, a)    A( y, z, u, n, a)    B( y, z, u, n, a)    C( y, u, n, a)    D( y, z, u, n, a)    R( a)    U( y, u, a)    F( y, z, u, n, a)    K( u, a)    L( a)    M( y, u, a)    N( y, u, a)    W( y, u, a)    X( u, a)    Y( y, u, a)    Z( y, a)

Proof of Theorem pntlemk
StepHypRef Expression
1 2re 10029 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 fzfid 11271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  e.  Fin )
3 elfznn 11040 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  ->  n  e.  NN )
43adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
54nnrpd 10607 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
65relogcld 20475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
76, 4nndivred 10008 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR )
82, 7fsumrecl 12487 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )
9 remulcl 9035 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  e.  RR )
101, 8, 9sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  e.  RR )
11 pntlem1.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
12 pntlem1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
13 pntlem1.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
14 pntlem1.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
15 pntlem1.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( A  +  1 )
16 pntlem1.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
17 pntlem1.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
18 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
19 pntlem1.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( U  /  D
)
20 pntlem1.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
21 pntlem1.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
22 pntlem1.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
23 pntlem1.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
24 pntlem1.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
25 pntlem1.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
2611, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25pntlemb 21248 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
2726simp1d 969 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
2827relogcld 20475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR )
29 peano2re 9199 . . . . . 6  |-  ( ( log `  Z )  e.  RR  ->  (
( log `  Z
)  +  1 )  e.  RR )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  +  1 )  e.  RR )
3130resqcld 11508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
32 3re 10031 . . . . . 6  |-  3  e.  RR
33 readdcl 9033 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  Z
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( log `  Z
)  +  3 )  e.  RR )
3428, 32, 33sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  +  3 )  e.  RR )
3534, 28remulcld 9076 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  3 )  x.  ( log `  Z ) )  e.  RR )
3627rpred 10608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
3721simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
3836, 37rerpdivcld 10635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR )
39 1re 9050 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4127rpsqrcld 12173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR+ )
4241rpred 10608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR )
43 ere 12650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
45 1lt2 10102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
46 egt2lt3 12764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
4746simpli 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  _e
4839, 1, 43lttri 9159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  <  2  /\  2  <  _e )  ->  1  <  _e )
4945, 47, 48mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  _e
5039, 43, 49ltleii 9156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <_  _e
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  _e )
5226simp2d 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
5352simp2d 970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  Z ) )
5440, 44, 42, 51, 53letrd 9187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  ( sqr `  Z ) )
5552simp3d 971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( Z  /  Y ) )
5640, 42, 38, 54, 55letrd 9187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  ( Z  /  Y ) )
57 flge1nn 11185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  /  Y
)  e.  RR  /\  1  <_  ( Z  /  Y ) )  -> 
( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  NN )
5838, 56, 57syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  NN )
5958nnrpd 10607 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  RR+ )
6059relogcld 20475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  e.  RR )
6160, 40readdcld 9075 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 )  e.  RR )
6261resqcld 11508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
63 logdivbnd 21207 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  <_  ( ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  /  2
) )
6458, 63syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  <_  ( ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  /  2
) )
651a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
66 2pos 10042 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
6766a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
68 lemuldiv2 9850 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR  /\  (
( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  <_  ( ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  /  2
) ) )
698, 62, 65, 67, 68syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  <_  ( ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  /  2
) ) )
7064, 69mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 ) )
71 reflcl 11164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  /  Y )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  RR )
7238, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  RR )
73 flle 11167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  /  Y )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  <_ 
( Z  /  Y
) )
7438, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  <_  ( Z  /  Y ) )
7521simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  Y )
76 1rp 10576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
7877, 37, 27lediv2d 10632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  Y  <->  ( Z  /  Y )  <_  ( Z  / 
1 ) ) )
7975, 78mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  <_  ( Z  /  1 ) )
8036recnd 9074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
8180div1d 9742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  1
)  =  Z )
8279, 81breqtrd 4200 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  <_  Z )
8372, 38, 36, 74, 82letrd 9187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  <_  Z )
8459, 27logled 20479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  Y
) )  <_  Z  <->  ( log `  ( |_
`  ( Z  /  Y ) ) )  <_  ( log `  Z
) ) )
8583, 84mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  <_  ( log `  Z
) )
8660, 28, 40, 85leadd1dd 9600 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 )  <_ 
( ( log `  Z
)  +  1 ) )
87 0re 9051 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
8887a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
89 log1 20437 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  1 )  =  0
9058nnge1d 10002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) )
91 logleb 20455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  RR+ )  ->  ( 1  <_  ( |_ `  ( Z  /  Y
) )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ) )
9276, 59, 91sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ) )
9390, 92mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  1
)  <_  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )
9489, 93syl5eqbrr 4210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )
9560lep1d 9902 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  <_  ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) )
9688, 60, 61, 94, 95letrd 9187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) )  +  1 ) )
9788, 61, 30, 96, 86letrd 9187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( log `  Z )  +  1 ) )
9861, 30, 96, 97le2sqd 11517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 )  <_  ( ( log `  Z )  +  1 )  <->  ( ( ( log `  ( |_
`  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )
9986, 98mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  +  1 ) ^ 2 ) )
10010, 62, 31, 70, 99letrd 9187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  Z
)  +  1 ) ^ 2 ) )
10128resqcld 11508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
) ^ 2 )  e.  RR )
10265, 28remulcld 9076 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  Z ) )  e.  RR )
103101, 102readdcld 9075 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z
) ) )  e.  RR )
104 loge 20438 . . . . . . 7  |-  ( log `  _e )  =  1
10541rpge0d 10612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  Z ) )
10642, 42, 105, 54lemulge12d 9909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( ( sqr `  Z )  x.  ( sqr `  Z
) ) )
10727rprege0d 10615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )
)
108 remsqsqr 12021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
110106, 109breqtrd 4200 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  Z )
11144, 42, 36, 53, 110letrd 9187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  _e  <_  Z )
112 epr 12766 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  RR+
113 logleb 20455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  Z  e.  RR+ )  ->  (
_e  <_  Z  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  Z ) ) )
114112, 27, 113sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  Z  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  Z
) ) )
115111, 114mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  _e )  <_  ( log `  Z
) )
116104, 115syl5eqbrr 4210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  ( log `  Z ) )
11740, 28, 103, 116leadd2dd 9601 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z ) ) )  +  1 )  <_  ( ( ( ( log `  Z
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z
) ) )  +  ( log `  Z
) ) )
11828recnd 9074 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  CC )
119 binom21 11456 . . . . . 6  |-  ( ( log `  Z )  e.  CC  ->  (
( ( log `  Z
)  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z ) ) )  +  1 ) )
120118, 119syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( log `  Z
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z
) ) )  +  1 ) )
121118sqvald 11479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
) ^ 2 )  =  ( ( log `  Z )  x.  ( log `  Z ) ) )
122 df-3 10019 . . . . . . . . . 10  |-  3  =  ( 2  +  1 )
123122oveq1i 6054 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  x.  ( log `  Z
) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  ( log `  Z ) )
124 2cn 10030 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
125124a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
126 ax-1cn 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
127126a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
128125, 127, 118adddird 9073 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  +  1 )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( 1  x.  ( log `  Z ) ) ) )
129123, 128syl5eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( 1  x.  ( log `  Z ) ) ) )
130118mulid2d 9066 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( log `  Z ) )  =  ( log `  Z
) )
131130oveq2d 6060 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( 1  x.  ( log `  Z ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( log `  Z ) ) )
132129, 131eqtr2d 2441 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( log `  Z ) )  =  ( 3  x.  ( log `  Z
) ) )
133121, 132oveq12d 6062 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( log `  Z ) )  +  ( log `  Z
) ) )  =  ( ( ( log `  Z )  x.  ( log `  Z ) )  +  ( 3  x.  ( log `  Z
) ) ) )
134118sqcld 11480 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
) ^ 2 )  e.  CC )
135 mulcl 9034 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( log `  Z )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( log `  Z ) )  e.  CC )
136124, 118, 135sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  Z ) )  e.  CC )
137134, 136, 118addassd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z ) ) )  +  ( log `  Z ) )  =  ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( log `  Z ) )  +  ( log `  Z
) ) ) )
138 3cn 10032 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
139138a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
140118, 139, 118adddird 9073 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  3 )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( ( log `  Z )  x.  ( log `  Z ) )  +  ( 3  x.  ( log `  Z
) ) ) )
141133, 137, 1403eqtr4rd 2451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  3 )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z ) ) )  +  ( log `  Z ) ) )
142117, 120, 1413brtr4d 4206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  1 ) ^ 2 )  <_  ( ( ( log `  Z )  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) )
14310, 31, 35, 100, 142letrd 9187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) )
14410, 35, 17lemul2d 10648 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) )  <->  ( U  x.  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) ) )  <_ 
( U  x.  (
( ( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
145143, 144mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  x.  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) )  <_  ( U  x.  ( (
( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) ) )
14617rpred 10608 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
147146adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  U  e.  RR )
148147recnd 9074 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  U  e.  CC )
1496recnd 9074 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
1505rpcnne0d 10617 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
151 div23 9657 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( U  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )
152 divass 9656 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( U  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( U  x.  ( ( log `  n )  /  n
) ) )
153151, 152eqtr3d 2442 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( U  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
154148, 149, 150, 153syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( U  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
155154sumeq2dv 12456 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( U  /  n
)  x.  ( log `  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( U  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
156146recnd 9074 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
1577recnd 9074 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  CC )
1582, 156, 157fsummulc2 12526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( U  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
159155, 158eqtr4d 2443 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( U  /  n
)  x.  ( log `  n ) )  =  ( U  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) ) )
160159oveq2d 6060 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( 2  x.  ( U  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
1618recnd 9074 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  CC )
162125, 156, 161mul12d 9235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( U  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) )  =  ( U  x.  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
163160, 162eqtrd 2440 . 2  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( U  x.  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
16434recnd 9074 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  +  3 )  e.  CC )
165156, 164, 118mulassd 9071 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  ( ( log `  Z
)  +  3 ) )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( U  x.  (
( ( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) ) )
166145, 163, 1653brtr4d 4206 1  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( ( U  x.  ( ( log `  Z
)  +  3 ) )  x.  ( log `  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    x. cmul 8955    +oocpnf 9077    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251    / cdiv 9637   NNcn 9960   2c2 10009   3c3 10010   4c4 10011  ;cdc 10342   RR+crp 10572   (,)cioo 10876   [,)cico 10878   [,]cicc 10879   ...cfz 11003   |_cfl 11160   ^cexp 11341   sqrcsqr 11997   abscabs 11998   sum_csu 12438   expce 12623   _eceu 12624   logclog 20409  ψcchp 20832
This theorem is referenced by:  pntlemo  21258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-e 12630  df-sin 12631  df-cos 12632  df-pi 12634  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-log 20411  df-em 20788
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