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Theorem pntlemk 20755
Description: Lemma for pnt 20763. Evaluate the naive part of the estimate. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
pntlem1.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
pntlem1.n  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
pntlem1.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
pntlem1.K  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( K  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
Assertion
Ref Expression
pntlemk  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( ( U  x.  ( ( log `  Z
)  +  3 ) )  x.  ( log `  Z ) ) )
Distinct variable groups:    z, C    y, n, z, u, L   
n, K, y, z   
n, M, z    ph, n    n, N, z    R, n, u, y, z    U, n, z    n, W, z   
n, X, y, z   
n, Y, z    n, a, u, y, z, E   
n, Z, u, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, u, a)    A( y, z, u, n, a)    B( y, z, u, n, a)    C( y, u, n, a)    D( y, z, u, n, a)    R( a)    U( y, u, a)    F( y, z, u, n, a)    K( u, a)    L( a)    M( y, u, a)    N( y, u, a)    W( y, u, a)    X( u, a)    Y( y, u, a)    Z( y, a)

Proof of Theorem pntlemk
StepHypRef Expression
1 2re 9815 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 fzfid 11035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  e.  Fin )
3 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  ->  n  e.  NN )
43adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
54nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
65relogcld 19974 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
76, 4nndivred 9794 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR )
82, 7fsumrecl 12207 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )
9 remulcl 8822 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  e.  RR )
101, 8, 9sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  e.  RR )
11 pntlem1.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
12 pntlem1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
13 pntlem1.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
14 pntlem1.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
15 pntlem1.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( A  +  1 )
16 pntlem1.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
17 pntlem1.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
18 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
19 pntlem1.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( U  /  D
)
20 pntlem1.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
21 pntlem1.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
22 pntlem1.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
23 pntlem1.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
24 pntlem1.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
25 pntlem1.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
2611, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25pntlemb 20746 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
2726simp1d 967 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
2827relogcld 19974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR )
29 peano2re 8985 . . . . . 6  |-  ( ( log `  Z )  e.  RR  ->  (
( log `  Z
)  +  1 )  e.  RR )
3028, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  +  1 )  e.  RR )
3130resqcld 11271 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
32 3re 9817 . . . . . 6  |-  3  e.  RR
33 readdcl 8820 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  Z
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( log `  Z
)  +  3 )  e.  RR )
3428, 32, 33sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  +  3 )  e.  RR )
3534, 28remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  3 )  x.  ( log `  Z ) )  e.  RR )
3627rpred 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
3721simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
3836, 37rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR )
39 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
4039a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4127rpsqrcld 11894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR+ )
4241rpred 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR )
43 ere 12370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
4443a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
45 1lt2 9886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
46 egt2lt3 12484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
4746simpli 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  _e
4839, 1, 43lttri 8945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  <  2  /\  2  <  _e )  ->  1  <  _e )
4945, 47, 48mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  _e
5039, 43, 49ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <_  _e
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  _e )
5226simp2d 968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
5352simp2d 968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  Z ) )
5440, 44, 42, 51, 53letrd 8973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  ( sqr `  Z ) )
5552simp3d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( Z  /  Y ) )
5640, 42, 38, 54, 55letrd 8973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  ( Z  /  Y ) )
57 flge1nn 10949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  /  Y
)  e.  RR  /\  1  <_  ( Z  /  Y ) )  -> 
( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  NN )
5838, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  NN )
5958nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  RR+ )
6059relogcld 19974 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  e.  RR )
6160, 40readdcld 8862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 )  e.  RR )
6261resqcld 11271 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
63 logdivbnd 20705 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  <_  ( ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  /  2
) )
6458, 63syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  <_  ( ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  /  2
) )
651a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
66 2pos 9828 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
6766a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
68 lemuldiv2 9636 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR  /\  (
( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  <_  ( ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  /  2
) ) )
698, 62, 65, 67, 68syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  <_  ( ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  /  2
) ) )
7064, 69mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 ) )
71 reflcl 10928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  /  Y )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  RR )
7238, 71syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  RR )
73 flle 10931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  /  Y )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  <_ 
( Z  /  Y
) )
7438, 73syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  <_  ( Z  /  Y ) )
7521simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  Y )
76 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
7776a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
7877, 37, 27lediv2d 10414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  Y  <->  ( Z  /  Y )  <_  ( Z  / 
1 ) ) )
7975, 78mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  <_  ( Z  /  1 ) )
8036recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
8180div1d 9528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  1
)  =  Z )
8279, 81breqtrd 4047 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  <_  Z )
8372, 38, 36, 74, 82letrd 8973 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  <_  Z )
8459, 27logled 19978 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  Y
) )  <_  Z  <->  ( log `  ( |_
`  ( Z  /  Y ) ) )  <_  ( log `  Z
) ) )
8583, 84mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  <_  ( log `  Z
) )
8660, 28, 40, 85leadd1dd 9386 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 )  <_ 
( ( log `  Z
)  +  1 ) )
87 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
8887a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
89 log1 19939 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  1 )  =  0
9058nnge1d 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) )
91 logleb 19957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  RR+ )  ->  ( 1  <_  ( |_ `  ( Z  /  Y
) )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ) )
9276, 59, 91sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ) )
9390, 92mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  1
)  <_  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )
9489, 93syl5eqbrr 4057 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )
9560lep1d 9688 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  <_  ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) )
9688, 60, 61, 94, 95letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) )  +  1 ) )
9788, 61, 30, 96, 86letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( log `  Z )  +  1 ) )
9861, 30, 96, 97le2sqd 11280 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 )  <_  ( ( log `  Z )  +  1 )  <->  ( ( ( log `  ( |_
`  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )
9986, 98mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  +  1 ) ^ 2 ) )
10010, 62, 31, 70, 99letrd 8973 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  Z
)  +  1 ) ^ 2 ) )
10128resqcld 11271 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
) ^ 2 )  e.  RR )
10265, 28remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  Z ) )  e.  RR )
103101, 102readdcld 8862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z
) ) )  e.  RR )
104 loge 19940 . . . . . . 7  |-  ( log `  _e )  =  1
10541rpge0d 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  Z ) )
10642, 42, 105, 54lemulge12d 9695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( ( sqr `  Z )  x.  ( sqr `  Z
) ) )
10727rprege0d 10397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )
)
108 remsqsqr 11742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
109107, 108syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
110106, 109breqtrd 4047 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  Z )
11144, 42, 36, 53, 110letrd 8973 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  _e  <_  Z )
112 epr 12486 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  RR+
113 logleb 19957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  Z  e.  RR+ )  ->  (
_e  <_  Z  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  Z ) ) )
114112, 27, 113sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  Z  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  Z
) ) )
115111, 114mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  _e )  <_  ( log `  Z
) )
116104, 115syl5eqbrr 4057 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  ( log `  Z ) )
11740, 28, 103, 116leadd2dd 9387 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z ) ) )  +  1 )  <_  ( ( ( ( log `  Z
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z
) ) )  +  ( log `  Z
) ) )
11828recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  CC )
119 binom21 11219 . . . . . 6  |-  ( ( log `  Z )  e.  CC  ->  (
( ( log `  Z
)  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z ) ) )  +  1 ) )
120118, 119syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( log `  Z
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z
) ) )  +  1 ) )
121118sqvald 11242 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
) ^ 2 )  =  ( ( log `  Z )  x.  ( log `  Z ) ) )
122 df-3 9805 . . . . . . . . . 10  |-  3  =  ( 2  +  1 )
123122oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  x.  ( log `  Z
) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  ( log `  Z ) )
124 2cn 9816 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
125124a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
126 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
127126a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
128125, 127, 118adddird 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  +  1 )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( 1  x.  ( log `  Z ) ) ) )
129123, 128syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( 1  x.  ( log `  Z ) ) ) )
130118mulid2d 8853 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( log `  Z ) )  =  ( log `  Z
) )
131130oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( 1  x.  ( log `  Z ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( log `  Z ) ) )
132129, 131eqtr2d 2316 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( log `  Z ) )  =  ( 3  x.  ( log `  Z
) ) )
133121, 132oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( log `  Z ) )  +  ( log `  Z
) ) )  =  ( ( ( log `  Z )  x.  ( log `  Z ) )  +  ( 3  x.  ( log `  Z
) ) ) )
134118sqcld 11243 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
) ^ 2 )  e.  CC )
135 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( log `  Z )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( log `  Z ) )  e.  CC )
136124, 118, 135sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  Z ) )  e.  CC )
137134, 136, 118addassd 8857 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z ) ) )  +  ( log `  Z ) )  =  ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( log `  Z ) )  +  ( log `  Z
) ) ) )
138 3cn 9818 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
139138a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
140118, 139, 118adddird 8860 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  3 )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( ( log `  Z )  x.  ( log `  Z ) )  +  ( 3  x.  ( log `  Z
) ) ) )
141133, 137, 1403eqtr4rd 2326 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  3 )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z ) ) )  +  ( log `  Z ) ) )
142117, 120, 1413brtr4d 4053 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  1 ) ^ 2 )  <_  ( ( ( log `  Z )  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) )
14310, 31, 35, 100, 142letrd 8973 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) )
14410, 35, 17lemul2d 10430 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) )  <->  ( U  x.  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) ) )  <_ 
( U  x.  (
( ( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
145143, 144mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  x.  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) )  <_  ( U  x.  ( (
( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) ) )
14617rpred 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
147146adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  U  e.  RR )
148147recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  U  e.  CC )
1496recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
1505rpcnne0d 10399 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
151 div23 9443 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( U  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )
152 divass 9442 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( U  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( U  x.  ( ( log `  n )  /  n
) ) )
153151, 152eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( U  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
154148, 149, 150, 153syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( U  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
155154sumeq2dv 12176 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( U  /  n
)  x.  ( log `  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( U  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
156146recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
1577recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  CC )
1582, 156, 157fsummulc2 12246 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( U  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
159155, 158eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( U  /  n
)  x.  ( log `  n ) )  =  ( U  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) ) )
160159oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( 2  x.  ( U  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
1618recnd 8861 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  CC )
162125, 156, 161mul12d 9021 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( U  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) )  =  ( U  x.  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
163160, 162eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( U  x.  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
16434recnd 8861 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  +  3 )  e.  CC )
165156, 164, 118mulassd 8858 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  ( ( log `  Z
)  +  3 ) )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( U  x.  (
( ( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) ) )
166145, 163, 1653brtr4d 4053 1  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( ( U  x.  ( ( log `  Z
)  +  3 ) )  x.  ( log `  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797  ;cdc 10124   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   [,]cicc 10659   ...cfz 10782   |_cfl 10924   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   sum_csu 12158   expce 12343   _eceu 12344   logclog 19912  ψcchp 20330
This theorem is referenced by:  pntlemo  20756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-em 20287
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