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Theorem pntlemk 21305
Description: Lemma for pnt 21313. Evaluate the naive part of the estimate. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
pntlem1.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
pntlem1.n  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
pntlem1.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
pntlem1.K  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( K  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
Assertion
Ref Expression
pntlemk  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( ( U  x.  ( ( log `  Z
)  +  3 ) )  x.  ( log `  Z ) ) )
Distinct variable groups:    z, C    y, n, z, u, L   
n, K, y, z   
n, M, z    ph, n    n, N, z    R, n, u, y, z    U, n, z    n, W, z   
n, X, y, z   
n, Y, z    n, a, u, y, z, E   
n, Z, u, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, u, a)    A( y, z, u, n, a)    B( y, z, u, n, a)    C( y, u, n, a)    D( y, z, u, n, a)    R( a)    U( y, u, a)    F( y, z, u, n, a)    K( u, a)    L( a)    M( y, u, a)    N( y, u, a)    W( y, u, a)    X( u, a)    Y( y, u, a)    Z( y, a)

Proof of Theorem pntlemk
StepHypRef Expression
1 2re 10074 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 fzfid 11317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  e.  Fin )
3 elfznn 11085 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  ->  n  e.  NN )
43adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
54nnrpd 10652 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
65relogcld 20523 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
76, 4nndivred 10053 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR )
82, 7fsumrecl 12533 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )
9 remulcl 9080 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  e.  RR )
101, 8, 9sylancr 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  e.  RR )
11 pntlem1.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
12 pntlem1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
13 pntlem1.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
14 pntlem1.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
15 pntlem1.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( A  +  1 )
16 pntlem1.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
17 pntlem1.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
18 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
19 pntlem1.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( U  /  D
)
20 pntlem1.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
21 pntlem1.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
22 pntlem1.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
23 pntlem1.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
24 pntlem1.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
25 pntlem1.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
2611, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25pntlemb 21296 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
2726simp1d 970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
2827relogcld 20523 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR )
29 peano2re 9244 . . . . . 6  |-  ( ( log `  Z )  e.  RR  ->  (
( log `  Z
)  +  1 )  e.  RR )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  +  1 )  e.  RR )
3130resqcld 11554 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
32 3re 10076 . . . . . 6  |-  3  e.  RR
33 readdcl 9078 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  Z
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( log `  Z
)  +  3 )  e.  RR )
3428, 32, 33sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  +  3 )  e.  RR )
3534, 28remulcld 9121 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  3 )  x.  ( log `  Z ) )  e.  RR )
3627rpred 10653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
3721simpld 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
3836, 37rerpdivcld 10680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR )
39 1re 9095 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4127rpsqrcld 12219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR+ )
4241rpred 10653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR )
43 ere 12696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
45 1lt2 10147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
46 egt2lt3 12810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
4746simpli 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  _e
4839, 1, 43lttri 9204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  <  2  /\  2  <  _e )  ->  1  <  _e )
4945, 47, 48mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  _e
5039, 43, 49ltleii 9201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <_  _e
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  _e )
5226simp2d 971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
5352simp2d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  Z ) )
5440, 44, 42, 51, 53letrd 9232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  ( sqr `  Z ) )
5552simp3d 972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( Z  /  Y ) )
5640, 42, 38, 54, 55letrd 9232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  ( Z  /  Y ) )
57 flge1nn 11231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  /  Y
)  e.  RR  /\  1  <_  ( Z  /  Y ) )  -> 
( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  NN )
5838, 56, 57syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  NN )
5958nnrpd 10652 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  RR+ )
6059relogcld 20523 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  e.  RR )
6160, 40readdcld 9120 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 )  e.  RR )
6261resqcld 11554 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
63 logdivbnd 21255 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  <_  ( ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  /  2
) )
6458, 63syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  <_  ( ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  /  2
) )
651a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
66 2pos 10087 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
6766a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
68 lemuldiv2 9895 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR  /\  (
( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  <_  ( ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  /  2
) ) )
698, 62, 65, 67, 68syl112anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  <_  ( ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  /  2
) ) )
7064, 69mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 ) )
71 reflcl 11210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  /  Y )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  RR )
7238, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  RR )
73 flle 11213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  /  Y )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  <_ 
( Z  /  Y
) )
7438, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  <_  ( Z  /  Y ) )
7521simprd 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  Y )
76 1rp 10621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
7877, 37, 27lediv2d 10677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  Y  <->  ( Z  /  Y )  <_  ( Z  / 
1 ) ) )
7975, 78mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  <_  ( Z  /  1 ) )
8036recnd 9119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
8180div1d 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  1
)  =  Z )
8279, 81breqtrd 4239 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  <_  Z )
8372, 38, 36, 74, 82letrd 9232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  <_  Z )
8459, 27logled 20527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  Y
) )  <_  Z  <->  ( log `  ( |_
`  ( Z  /  Y ) ) )  <_  ( log `  Z
) ) )
8583, 84mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  <_  ( log `  Z
) )
8660, 28, 40, 85leadd1dd 9645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 )  <_ 
( ( log `  Z
)  +  1 ) )
87 0re 9096 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
8887a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
89 log1 20485 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  1 )  =  0
9058nnge1d 10047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) )
91 logleb 20503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  e.  RR+ )  ->  ( 1  <_  ( |_ `  ( Z  /  Y
) )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ) )
9276, 59, 91sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  ( |_ `  ( Z  /  Y ) )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ) )
9390, 92mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  1
)  <_  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )
9489, 93syl5eqbrr 4249 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )
9560lep1d 9947 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  <_  ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) )
9688, 60, 61, 94, 95letrd 9232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) )  +  1 ) )
9788, 61, 30, 96, 86letrd 9232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( log `  Z )  +  1 ) )
9861, 30, 96, 97le2sqd 11563 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 )  <_  ( ( log `  Z )  +  1 )  <->  ( ( ( log `  ( |_
`  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^
2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )
9986, 98mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) )  +  1 ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  +  1 ) ^ 2 ) )
10010, 62, 31, 70, 99letrd 9232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  Z
)  +  1 ) ^ 2 ) )
10128resqcld 11554 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
) ^ 2 )  e.  RR )
10265, 28remulcld 9121 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  Z ) )  e.  RR )
103101, 102readdcld 9120 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z
) ) )  e.  RR )
104 loge 20486 . . . . . . 7  |-  ( log `  _e )  =  1
10541rpge0d 10657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  Z ) )
10642, 42, 105, 54lemulge12d 9954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( ( sqr `  Z )  x.  ( sqr `  Z
) ) )
10727rprege0d 10660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )
)
108 remsqsqr 12067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
110106, 109breqtrd 4239 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  Z )
11144, 42, 36, 53, 110letrd 9232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  _e  <_  Z )
112 epr 12812 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  RR+
113 logleb 20503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  Z  e.  RR+ )  ->  (
_e  <_  Z  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  Z ) ) )
114112, 27, 113sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  Z  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  Z
) ) )
115111, 114mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  _e )  <_  ( log `  Z
) )
116104, 115syl5eqbrr 4249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  ( log `  Z ) )
11740, 28, 103, 116leadd2dd 9646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z ) ) )  +  1 )  <_  ( ( ( ( log `  Z
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z
) ) )  +  ( log `  Z
) ) )
11828recnd 9119 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  CC )
119 binom21 11502 . . . . . 6  |-  ( ( log `  Z )  e.  CC  ->  (
( ( log `  Z
)  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z ) ) )  +  1 ) )
120118, 119syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( log `  Z
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z
) ) )  +  1 ) )
121118sqvald 11525 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
) ^ 2 )  =  ( ( log `  Z )  x.  ( log `  Z ) ) )
122 df-3 10064 . . . . . . . . . 10  |-  3  =  ( 2  +  1 )
123122oveq1i 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  x.  ( log `  Z
) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  ( log `  Z ) )
124 2cn 10075 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
125124a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
126 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
127126a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
128125, 127, 118adddird 9118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  +  1 )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( 1  x.  ( log `  Z ) ) ) )
129123, 128syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( 1  x.  ( log `  Z ) ) ) )
130118mulid2d 9111 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( log `  Z ) )  =  ( log `  Z
) )
131130oveq2d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( 1  x.  ( log `  Z ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( log `  Z ) ) )
132129, 131eqtr2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  Z
) )  +  ( log `  Z ) )  =  ( 3  x.  ( log `  Z
) ) )
133121, 132oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( log `  Z ) )  +  ( log `  Z
) ) )  =  ( ( ( log `  Z )  x.  ( log `  Z ) )  +  ( 3  x.  ( log `  Z
) ) ) )
134118sqcld 11526 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
) ^ 2 )  e.  CC )
135 mulcl 9079 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( log `  Z )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( log `  Z ) )  e.  CC )
136124, 118, 135sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  Z ) )  e.  CC )
137134, 136, 118addassd 9115 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z ) ) )  +  ( log `  Z ) )  =  ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( log `  Z ) )  +  ( log `  Z
) ) ) )
138 3cn 10077 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
139138a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
140118, 139, 118adddird 9118 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  3 )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( ( log `  Z )  x.  ( log `  Z ) )  +  ( 3  x.  ( log `  Z
) ) ) )
141133, 137, 1403eqtr4rd 2481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  3 )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( ( ( log `  Z ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( log `  Z ) ) )  +  ( log `  Z ) ) )
142117, 120, 1413brtr4d 4245 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  +  1 ) ^ 2 )  <_  ( ( ( log `  Z )  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) )
14310, 31, 35, 100, 142letrd 9232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) )
14410, 35, 17lemul2d 10693 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) )  <->  ( U  x.  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) ) )  <_ 
( U  x.  (
( ( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
145143, 144mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  x.  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) )  <_  ( U  x.  ( (
( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) ) )
14617rpred 10653 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
147146adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  U  e.  RR )
148147recnd 9119 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  U  e.  CC )
1496recnd 9119 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
1505rpcnne0d 10662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
151 div23 9702 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( U  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )
152 divass 9701 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( U  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( U  x.  ( ( log `  n )  /  n
) ) )
153151, 152eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( U  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
154148, 149, 150, 153syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( U  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
155154sumeq2dv 12502 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( U  /  n
)  x.  ( log `  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( U  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
156146recnd 9119 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
1577recnd 9119 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  CC )
1582, 156, 157fsummulc2 12572 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( U  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
159155, 158eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( U  /  n
)  x.  ( log `  n ) )  =  ( U  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n )  /  n
) ) )
160159oveq2d 6100 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( 2  x.  ( U  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
1618recnd 9119 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y
) ) ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  CC )
162125, 156, 161mul12d 9280 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( U  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) )  =  ( U  x.  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
163160, 162eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( U  x.  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
16434recnd 9119 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  +  3 )  e.  CC )
165156, 164, 118mulassd 9116 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  ( ( log `  Z
)  +  3 ) )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( U  x.  (
( ( log `  Z
)  +  3 )  x.  ( log `  Z
) ) ) )
166145, 163, 1653brtr4d 4245 1  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( Z  /  Y ) ) ) ( ( U  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( ( U  x.  ( ( log `  Z
)  +  3 ) )  x.  ( log `  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    +oocpnf 9122    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   3c3 10055   4c4 10056  ;cdc 10387   RR+crp 10617   (,)cioo 10921   [,)cico 10923   [,]cicc 10924   ...cfz 11048   |_cfl 11206   ^cexp 11387   sqrcsqr 12043   abscabs 12044   sum_csu 12484   expce 12669   _eceu 12670   logclog 20457  ψcchp 20880
This theorem is referenced by:  pntlemo  21306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-e 12676  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459  df-em 20836
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