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Theorem pntlemn 20765
Description: Lemma for pnt 20779. The "naive" base bound, which we will slightly improve. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
pntlem1.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
pntlem1.n  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
pntlem1.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
Assertion
Ref Expression
pntlemn  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( (
( U  /  J
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  J
) ) )
Distinct variable groups:    z, C    z, J    z, L    z, K    z, M    z, N    z, R    z, U    z, W    z, X    z, Y    z, a, E    z, Z
Allowed substitution hints:    ph( z, a)    A( z, a)    B( z, a)    C( a)    D( z, a)    R( a)    U( a)    F( z, a)    J( a)    K( a)    L( a)    M( a)    N( a)    W( a)    X( a)    Y( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntlemn
StepHypRef Expression
1 pntlem1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  U  e.  RR+ )
32rpred 10406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  U  e.  RR )
4 simprl 732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  NN )
53, 4nndivred 9810 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( U  /  J
)  e.  RR )
6 pntlem1.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
7 pntlem1.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
8 pntlem1.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
9 pntlem1.l . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
10 pntlem1.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( A  +  1 )
11 pntlem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
12 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
13 pntlem1.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( U  /  D
)
14 pntlem1.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
15 pntlem1.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
16 pntlem1.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
17 pntlem1.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
18 pntlem1.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
19 pntlem1.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
206, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pntlemb 20762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
2120simp1d 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
2221adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Z  e.  RR+ )
234nnrpd 10405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  RR+ )
2422, 23rpdivcld 10423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  /  J
)  e.  RR+ )
256pntrf 20728 . . . . . . . 8  |-  R : RR+
--> RR
2625ffvelrni 5680 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  /  J )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( Z  /  J ) )  e.  RR )
2724, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( R `  ( Z  /  J ) )  e.  RR )
2827, 22rerpdivcld 10433 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  e.  RR )
2928recnd 8877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  e.  CC )
3029abscld 11934 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  e.  RR )
315, 30resubcld 9227 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( U  /  J )  -  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  /  Z ) ) )  e.  RR )
3223relogcld 19990 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( log `  J
)  e.  RR )
3327recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( R `  ( Z  /  J ) )  e.  CC )
3422rpcnne0d 10415 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 ) )
3523rpcnne0d 10415 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( J  e.  CC  /\  J  =/=  0 ) )
36 divdiv2 9488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  e.  CC  /\  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 )  /\  ( J  e.  CC  /\  J  =/=  0 ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z ) )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z ) )
384nncnd 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  CC )
39 div23 9459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z
)  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z )  x.  J ) )
4033, 38, 34, 39syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z
)  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z )  x.  J ) )
4137, 40eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z )  x.  J ) )
4241fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  =  ( abs `  (
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  x.  J ) ) )
4329, 38absmuld 11952 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  x.  J ) )  =  ( ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  ( abs `  J
) ) )
4423rprege0d 10413 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( J  e.  RR  /\  0  <_  J )
)
45 absid 11797 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J )  -> 
( abs `  J
)  =  J )
4644, 45syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  J
)  =  J )
4746oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  ( abs `  J
) )  =  ( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  J ) )
4842, 43, 473eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  x.  J
) )
4924rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  /  J
)  e.  RR )
50 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  <_  ( Z  /  Y ) )
5123rpred 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  RR )
5222rpred 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Z  e.  RR )
5315simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
5453adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Y  e.  RR+ )
5551, 52, 54lemuldiv2d 10452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( Y  x.  J )  <_  Z  <->  J  <_  ( Z  /  Y ) ) )
5650, 55mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Y  x.  J
)  <_  Z )
5754rpred 10406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Y  e.  RR )
5857, 52, 23lemuldivd 10451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( Y  x.  J )  <_  Z  <->  Y  <_  ( Z  /  J ) ) )
5956, 58mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Y  <_  ( Z  /  J ) )
60 elicopnf 10755 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  RR  ->  (
( Z  /  J
)  e.  ( Y [,)  +oo )  <->  ( ( Z  /  J )  e.  RR  /\  Y  <_ 
( Z  /  J
) ) ) )
6157, 60syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( Z  /  J )  e.  ( Y [,)  +oo )  <->  ( ( Z  /  J
)  e.  RR  /\  Y  <_  ( Z  /  J ) ) ) )
6249, 59, 61mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  /  J
)  e.  ( Y [,)  +oo ) )
63 pntlem1.U . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
6463adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  U
)
65 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  ( R `  z )  =  ( R `  ( Z  /  J
) ) )
66 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  z  =  ( Z  /  J ) )
6765, 66oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  (
( R `  z
)  /  z )  =  ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  / 
( Z  /  J
) ) )
6867fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  =  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) ) )
6968breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) ) )  <_  U )
)
7069rspcv 2893 . . . . . 6  |-  ( ( Z  /  J )  e.  ( Y [,)  +oo )  ->  ( A. z  e.  ( Y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  U  ->  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  <_  U ) )
7162, 64, 70sylc 56 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  <_  U )
7248, 71eqbrtrrd 4061 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  J )  <_  U )
7330, 3, 23lemuldivd 10451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  x.  J
)  <_  U  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  <_  ( U  /  J ) ) )
7472, 73mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  <_  ( U  /  J ) )
755, 30subge0d 9378 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( 0  <_  (
( U  /  J
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  <_  ( U  /  J ) ) )
7674, 75mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( ( U  /  J )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) ) ) )
77 log1 19955 . . 3  |-  ( log `  1 )  =  0
78 nnge1 9788 . . . . 5  |-  ( J  e.  NN  ->  1  <_  J )
7978ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
1  <_  J )
80 1rp 10374 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
81 logleb 19973 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  J  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  J  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  J ) ) )
8280, 23, 81sylancr 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( 1  <_  J  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  J
) ) )
8379, 82mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( log `  1
)  <_  ( log `  J ) )
8477, 83syl5eqbrr 4073 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( log `  J ) )
8531, 32, 76, 84mulge0d 9365 1  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( (
( U  /  J
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813  ;cdc 10140   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   |_cfl 10940   ^cexp 11120   sqrcsqr 11734   abscabs 11735   expce 12359   _eceu 12360   logclog 19928  ψcchp 20346
This theorem is referenced by:  pntlemj  20768  pntlemf  20770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-vma 20351  df-chp 20352
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