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Theorem pntlemn 20749
Description: Lemma for pnt 20763. The "naive" base bound, which we will slightly improve. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
pntlem1.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
pntlem1.n  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
pntlem1.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
Assertion
Ref Expression
pntlemn  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( (
( U  /  J
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  J
) ) )
Distinct variable groups:    z, C    z, J    z, L    z, K    z, M    z, N    z, R    z, U    z, W    z, X    z, Y    z, a, E    z, Z
Allowed substitution hints:    ph( z, a)    A( z, a)    B( z, a)    C( a)    D( z, a)    R( a)    U( a)    F( z, a)    J( a)    K( a)    L( a)    M( a)    N( a)    W( a)    X( a)    Y( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntlemn
StepHypRef Expression
1 pntlem1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  U  e.  RR+ )
32rpred 10390 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  U  e.  RR )
4 simprl 732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  NN )
53, 4nndivred 9794 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( U  /  J
)  e.  RR )
6 pntlem1.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
7 pntlem1.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
8 pntlem1.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
9 pntlem1.l . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
10 pntlem1.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( A  +  1 )
11 pntlem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
12 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
13 pntlem1.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( U  /  D
)
14 pntlem1.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
15 pntlem1.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
16 pntlem1.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
17 pntlem1.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
18 pntlem1.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
19 pntlem1.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
206, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pntlemb 20746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
2120simp1d 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
2221adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Z  e.  RR+ )
234nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  RR+ )
2422, 23rpdivcld 10407 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  /  J
)  e.  RR+ )
256pntrf 20712 . . . . . . . 8  |-  R : RR+
--> RR
2625ffvelrni 5664 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  /  J )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( Z  /  J ) )  e.  RR )
2724, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( R `  ( Z  /  J ) )  e.  RR )
2827, 22rerpdivcld 10417 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  e.  RR )
2928recnd 8861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  e.  CC )
3029abscld 11918 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  e.  RR )
315, 30resubcld 9211 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( U  /  J )  -  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  /  Z ) ) )  e.  RR )
3223relogcld 19974 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( log `  J
)  e.  RR )
3327recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( R `  ( Z  /  J ) )  e.  CC )
3422rpcnne0d 10399 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 ) )
3523rpcnne0d 10399 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( J  e.  CC  /\  J  =/=  0 ) )
36 divdiv2 9472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  e.  CC  /\  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 )  /\  ( J  e.  CC  /\  J  =/=  0 ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z ) )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z ) )
384nncnd 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  CC )
39 div23 9443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z
)  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z )  x.  J ) )
4033, 38, 34, 39syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z
)  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z )  x.  J ) )
4137, 40eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z )  x.  J ) )
4241fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  =  ( abs `  (
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  x.  J ) ) )
4329, 38absmuld 11936 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  x.  J ) )  =  ( ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  ( abs `  J
) ) )
4423rprege0d 10397 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( J  e.  RR  /\  0  <_  J )
)
45 absid 11781 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J )  -> 
( abs `  J
)  =  J )
4644, 45syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  J
)  =  J )
4746oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  ( abs `  J
) )  =  ( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  J ) )
4842, 43, 473eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  x.  J
) )
4924rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  /  J
)  e.  RR )
50 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  <_  ( Z  /  Y ) )
5123rpred 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  RR )
5222rpred 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Z  e.  RR )
5315simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
5453adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Y  e.  RR+ )
5551, 52, 54lemuldiv2d 10436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( Y  x.  J )  <_  Z  <->  J  <_  ( Z  /  Y ) ) )
5650, 55mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Y  x.  J
)  <_  Z )
5754rpred 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Y  e.  RR )
5857, 52, 23lemuldivd 10435 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( Y  x.  J )  <_  Z  <->  Y  <_  ( Z  /  J ) ) )
5956, 58mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Y  <_  ( Z  /  J ) )
60 elicopnf 10739 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  RR  ->  (
( Z  /  J
)  e.  ( Y [,)  +oo )  <->  ( ( Z  /  J )  e.  RR  /\  Y  <_ 
( Z  /  J
) ) ) )
6157, 60syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( Z  /  J )  e.  ( Y [,)  +oo )  <->  ( ( Z  /  J
)  e.  RR  /\  Y  <_  ( Z  /  J ) ) ) )
6249, 59, 61mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  /  J
)  e.  ( Y [,)  +oo ) )
63 pntlem1.U . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
6463adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  U
)
65 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  ( R `  z )  =  ( R `  ( Z  /  J
) ) )
66 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  z  =  ( Z  /  J ) )
6765, 66oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  (
( R `  z
)  /  z )  =  ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  / 
( Z  /  J
) ) )
6867fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  =  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) ) )
6968breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) ) )  <_  U )
)
7069rspcv 2880 . . . . . 6  |-  ( ( Z  /  J )  e.  ( Y [,)  +oo )  ->  ( A. z  e.  ( Y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  U  ->  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  <_  U ) )
7162, 64, 70sylc 56 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  <_  U )
7248, 71eqbrtrrd 4045 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  J )  <_  U )
7330, 3, 23lemuldivd 10435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  x.  J
)  <_  U  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  <_  ( U  /  J ) ) )
7472, 73mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  <_  ( U  /  J ) )
755, 30subge0d 9362 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( 0  <_  (
( U  /  J
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  <_  ( U  /  J ) ) )
7674, 75mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( ( U  /  J )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) ) ) )
77 log1 19939 . . 3  |-  ( log `  1 )  =  0
78 nnge1 9772 . . . . 5  |-  ( J  e.  NN  ->  1  <_  J )
7978ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
1  <_  J )
80 1rp 10358 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
81 logleb 19957 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  J  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  J  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  J ) ) )
8280, 23, 81sylancr 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( 1  <_  J  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  J
) ) )
8379, 82mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( log `  1
)  <_  ( log `  J ) )
8477, 83syl5eqbrr 4057 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( log `  J ) )
8531, 32, 76, 84mulge0d 9349 1  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( (
( U  /  J
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797  ;cdc 10124   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   |_cfl 10924   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   expce 12343   _eceu 12344   logclog 19912  ψcchp 20330
This theorem is referenced by:  pntlemj  20752  pntlemf  20754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-vma 20335  df-chp 20336
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