Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemn Structured version   Unicode version

Theorem pntlemn 21286
 Description: Lemma for pnt 21300. The "naive" base bound, which we will slightly improve. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ψ
pntlem1.a
pntlem1.b
pntlem1.l
pntlem1.d
pntlem1.f ;
pntlem1.u
pntlem1.u2
pntlem1.e
pntlem1.k
pntlem1.y
pntlem1.x
pntlem1.c
pntlem1.w ;
pntlem1.z
pntlem1.m
pntlem1.n
pntlem1.U
Assertion
Ref Expression
pntlemn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   ()   (,)   ()   ()   (,)   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pntlemn
StepHypRef Expression
1 pntlem1.u . . . . . 6
21adantr 452 . . . . 5
32rpred 10640 . . . 4
4 simprl 733 . . . 4
53, 4nndivred 10040 . . 3
6 pntlem1.r . . . . . . . . . . 11 ψ
7 pntlem1.a . . . . . . . . . . 11
8 pntlem1.b . . . . . . . . . . 11
9 pntlem1.l . . . . . . . . . . 11
10 pntlem1.d . . . . . . . . . . 11
11 pntlem1.f . . . . . . . . . . 11 ;
12 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . 11
13 pntlem1.e . . . . . . . . . . 11
14 pntlem1.k . . . . . . . . . . 11
15 pntlem1.y . . . . . . . . . . 11
16 pntlem1.x . . . . . . . . . . 11
17 pntlem1.c . . . . . . . . . . 11
18 pntlem1.w . . . . . . . . . . 11 ;
19 pntlem1.z . . . . . . . . . . 11
206, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pntlemb 21283 . . . . . . . . . 10 ;
2120simp1d 969 . . . . . . . . 9
2221adantr 452 . . . . . . . 8
234nnrpd 10639 . . . . . . . 8
2422, 23rpdivcld 10657 . . . . . . 7
256pntrf 21249 . . . . . . . 8
2625ffvelrni 5861 . . . . . . 7
2724, 26syl 16 . . . . . 6
2827, 22rerpdivcld 10667 . . . . 5
2928recnd 9106 . . . 4
3029abscld 12230 . . 3
315, 30resubcld 9457 . 2
3223relogcld 20510 . 2
3327recnd 9106 . . . . . . . . 9
3422rpcnne0d 10649 . . . . . . . . 9
3523rpcnne0d 10649 . . . . . . . . 9
36 divdiv2 9718 . . . . . . . . 9
3733, 34, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . 8
384nncnd 10008 . . . . . . . . 9
39 div23 9689 . . . . . . . . 9
4033, 38, 34, 39syl3anc 1184 . . . . . . . 8
4137, 40eqtrd 2467 . . . . . . 7
4241fveq2d 5724 . . . . . 6
4329, 38absmuld 12248 . . . . . 6
4423rprege0d 10647 . . . . . . . 8
45 absid 12093 . . . . . . . 8
4644, 45syl 16 . . . . . . 7
4746oveq2d 6089 . . . . . 6
4842, 43, 473eqtrd 2471 . . . . 5
4924rpred 10640 . . . . . . 7
50 simprr 734 . . . . . . . . 9
5123rpred 10640 . . . . . . . . . 10
5222rpred 10640 . . . . . . . . . 10
5315simpld 446 . . . . . . . . . . 11
5453adantr 452 . . . . . . . . . 10
5551, 52, 54lemuldiv2d 10686 . . . . . . . . 9
5650, 55mpbird 224 . . . . . . . 8
5754rpred 10640 . . . . . . . . 9
5857, 52, 23lemuldivd 10685 . . . . . . . 8
5956, 58mpbid 202 . . . . . . 7
60 elicopnf 10992 . . . . . . . 8
6157, 60syl 16 . . . . . . 7
6249, 59, 61mpbir2and 889 . . . . . 6
63 pntlem1.U . . . . . . 7
6463adantr 452 . . . . . 6
65 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
66 id 20 . . . . . . . . . 10
6765, 66oveq12d 6091 . . . . . . . . 9
6867fveq2d 5724 . . . . . . . 8
6968breq1d 4214 . . . . . . 7
7069rspcv 3040 . . . . . 6
7162, 64, 70sylc 58 . . . . 5
7248, 71eqbrtrrd 4226 . . . 4
7330, 3, 23lemuldivd 10685 . . . 4
7472, 73mpbid 202 . . 3
755, 30subge0d 9608 . . 3
7674, 75mpbird 224 . 2
77 log1 20472 . . 3
78 nnge1 10018 . . . . 5
7978ad2antrl 709 . . . 4
80 1rp 10608 . . . . 5
81 logleb 20490 . . . . 5
8280, 23, 81sylancr 645 . . . 4
8379, 82mpbid 202 . . 3
8477, 83syl5eqbrr 4238 . 2
8531, 32, 76, 84mulge0d 9595 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697   class class class wbr 4204   cmpt 4258  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cpnf 9109   clt 9112   cle 9113   cmin 9283   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  c3 10042  c4 10043  ;cdc 10374  crp 10604  cioo 10908  cico 10910  cfl 11193  cexp 11374  csqr 12030  cabs 12031  ce 12656  ceu 12657  clog 20444  ψcchp 20867 This theorem is referenced by:  pntlemj  21289  pntlemf  21291 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-e 12663  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-vma 20872  df-chp 20873
 Copyright terms: Public domain W3C validator