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Theorem pntlemn 21286
Description: Lemma for pnt 21300. The "naive" base bound, which we will slightly improve. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
pntlem1.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
pntlem1.n  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
pntlem1.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
Assertion
Ref Expression
pntlemn  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( (
( U  /  J
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  J
) ) )
Distinct variable groups:    z, C    z, J    z, L    z, K    z, M    z, N    z, R    z, U    z, W    z, X    z, Y    z, a, E    z, Z
Allowed substitution hints:    ph( z, a)    A( z, a)    B( z, a)    C( a)    D( z, a)    R( a)    U( a)    F( z, a)    J( a)    K( a)    L( a)    M( a)    N( a)    W( a)    X( a)    Y( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntlemn
StepHypRef Expression
1 pntlem1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  U  e.  RR+ )
32rpred 10640 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  U  e.  RR )
4 simprl 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  NN )
53, 4nndivred 10040 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( U  /  J
)  e.  RR )
6 pntlem1.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
7 pntlem1.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
8 pntlem1.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
9 pntlem1.l . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
10 pntlem1.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( A  +  1 )
11 pntlem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
12 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
13 pntlem1.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( U  /  D
)
14 pntlem1.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
15 pntlem1.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
16 pntlem1.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
17 pntlem1.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
18 pntlem1.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
19 pntlem1.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
206, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pntlemb 21283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
2120simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
2221adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Z  e.  RR+ )
234nnrpd 10639 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  RR+ )
2422, 23rpdivcld 10657 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  /  J
)  e.  RR+ )
256pntrf 21249 . . . . . . . 8  |-  R : RR+
--> RR
2625ffvelrni 5861 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  /  J )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( Z  /  J ) )  e.  RR )
2724, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( R `  ( Z  /  J ) )  e.  RR )
2827, 22rerpdivcld 10667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  e.  RR )
2928recnd 9106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  e.  CC )
3029abscld 12230 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  e.  RR )
315, 30resubcld 9457 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( U  /  J )  -  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  /  Z ) ) )  e.  RR )
3223relogcld 20510 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( log `  J
)  e.  RR )
3327recnd 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( R `  ( Z  /  J ) )  e.  CC )
3422rpcnne0d 10649 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 ) )
3523rpcnne0d 10649 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( J  e.  CC  /\  J  =/=  0 ) )
36 divdiv2 9718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  e.  CC  /\  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 )  /\  ( J  e.  CC  /\  J  =/=  0 ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z ) )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z ) )
384nncnd 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  CC )
39 div23 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z
)  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z )  x.  J ) )
4033, 38, 34, 39syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z
)  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z )  x.  J ) )
4137, 40eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z )  x.  J ) )
4241fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  =  ( abs `  (
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  x.  J ) ) )
4329, 38absmuld 12248 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  x.  J ) )  =  ( ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  ( abs `  J
) ) )
4423rprege0d 10647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( J  e.  RR  /\  0  <_  J )
)
45 absid 12093 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J )  -> 
( abs `  J
)  =  J )
4644, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  J
)  =  J )
4746oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  ( abs `  J
) )  =  ( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  J ) )
4842, 43, 473eqtrd 2471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  x.  J
) )
4924rpred 10640 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  /  J
)  e.  RR )
50 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  <_  ( Z  /  Y ) )
5123rpred 10640 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  RR )
5222rpred 10640 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Z  e.  RR )
5315simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
5453adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Y  e.  RR+ )
5551, 52, 54lemuldiv2d 10686 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( Y  x.  J )  <_  Z  <->  J  <_  ( Z  /  Y ) ) )
5650, 55mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Y  x.  J
)  <_  Z )
5754rpred 10640 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Y  e.  RR )
5857, 52, 23lemuldivd 10685 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( Y  x.  J )  <_  Z  <->  Y  <_  ( Z  /  J ) ) )
5956, 58mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Y  <_  ( Z  /  J ) )
60 elicopnf 10992 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  RR  ->  (
( Z  /  J
)  e.  ( Y [,)  +oo )  <->  ( ( Z  /  J )  e.  RR  /\  Y  <_ 
( Z  /  J
) ) ) )
6157, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( Z  /  J )  e.  ( Y [,)  +oo )  <->  ( ( Z  /  J
)  e.  RR  /\  Y  <_  ( Z  /  J ) ) ) )
6249, 59, 61mpbir2and 889 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  /  J
)  e.  ( Y [,)  +oo ) )
63 pntlem1.U . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
6463adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  U
)
65 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  ( R `  z )  =  ( R `  ( Z  /  J
) ) )
66 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  z  =  ( Z  /  J ) )
6765, 66oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  (
( R `  z
)  /  z )  =  ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  / 
( Z  /  J
) ) )
6867fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  =  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) ) )
6968breq1d 4214 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) ) )  <_  U )
)
7069rspcv 3040 . . . . . 6  |-  ( ( Z  /  J )  e.  ( Y [,)  +oo )  ->  ( A. z  e.  ( Y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  U  ->  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  <_  U ) )
7162, 64, 70sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  <_  U )
7248, 71eqbrtrrd 4226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  J )  <_  U )
7330, 3, 23lemuldivd 10685 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  x.  J
)  <_  U  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  <_  ( U  /  J ) ) )
7472, 73mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  <_  ( U  /  J ) )
755, 30subge0d 9608 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( 0  <_  (
( U  /  J
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  <_  ( U  /  J ) ) )
7674, 75mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( ( U  /  J )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) ) ) )
77 log1 20472 . . 3  |-  ( log `  1 )  =  0
78 nnge1 10018 . . . . 5  |-  ( J  e.  NN  ->  1  <_  J )
7978ad2antrl 709 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
1  <_  J )
80 1rp 10608 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
81 logleb 20490 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  J  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  J  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  J ) ) )
8280, 23, 81sylancr 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( 1  <_  J  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  J
) ) )
8379, 82mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( log `  1
)  <_  ( log `  J ) )
8477, 83syl5eqbrr 4238 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( log `  J ) )
8531, 32, 76, 84mulge0d 9595 1  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( (
( U  /  J
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    +oocpnf 9109    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   3c3 10042   4c4 10043  ;cdc 10374   RR+crp 10604   (,)cioo 10908   [,)cico 10910   |_cfl 11193   ^cexp 11374   sqrcsqr 12030   abscabs 12031   expce 12656   _eceu 12657   logclog 20444  ψcchp 20867
This theorem is referenced by:  pntlemj  21289  pntlemf  21291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-e 12663  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-vma 20872  df-chp 20873
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