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Theorem pntlemp 21172
Description: Lemma for pnt 21176. Wrapping up more quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem3.A  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntlemp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlemp.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlemp.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlemp.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlemp.K  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )
pntlemp.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlemp.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlemp.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlemp.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlemp.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlemp.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
Assertion
Ref Expression
pntlemp  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  ( U  -  ( F  x.  ( U ^ 3 ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v, x, y, z, A    e,
a, k, u, v, w, x, y, z, D    v, F, w, y, z    e, K, k, v, w, x, y, z    R, e, k, u, v, w, x, y, z    E, a, e, k, u, v, w, x, y, z    Y, a, k, v, w, y, z    e, L, k, u, v, w, x, y, z    ph, v, w, x, y    B, e, k, v, w, x, y, z    v, U, w, z
Allowed substitution hints:    ph( z, u, e, k, a)    A( u, e, k, a)    B( u, a)    R( a)    U( x, y, u, e, k, a)    F( x, u, e, k, a)    K( u, a)    L( a)    Y( x, u, e)

Proof of Theorem pntlemp
Dummy variables  t 
c  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem3.r . . . . . 6  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2 pntlem3.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3 pntlemp.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4 pntlemp.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
5 pntlemp.d . . . . . 6  |-  D  =  ( A  +  1 )
6 pntlemp.f . . . . . 6  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
7 pntlemp.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
8 pntlemp.u2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
9 pntlemp.e . . . . . 6  |-  E  =  ( U  /  D
)
10 pntlemp.k . . . . . 6  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 21157 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR+  /\  K  e.  RR+  /\  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E )  e.  RR+ ) ) )
1211simp3d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
)
1312simp1d 969 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
14 pntlemp.K . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )
15 oveq2 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  ( B  /  e )  =  ( B  /  E
) )
1615fveq2d 5673 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  E  ->  ( exp `  ( B  / 
e ) )  =  ( exp `  ( B  /  E ) ) )
1716, 10syl6eqr 2438 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  E  ->  ( exp `  ( B  / 
e ) )  =  K )
1817oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( e  =  E  ->  (
( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo )  =  ( K [,)  +oo )
)
19 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  E  ->  ( L  x.  e )  =  ( L  x.  E ) )
2019oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  E  ->  (
1  +  ( L  x.  e ) )  =  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) )
2120oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  E  ->  (
( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  =  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) )
2221breq1d 4164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) ) )
2322anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) ) ) )
2421oveq2d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  (
z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) )  =  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) )
25 breq2 4158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  (
( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
2624, 25raleqbidv 2860 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  ( A. u  e.  (
z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  A. u  e.  ( z [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
)
2723, 26anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
2827rexbidv 2671 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  E  ->  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
2928ralbidv 2670 . . . . . . 7  |-  ( e  =  E  ->  ( A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
3018, 29raleqbidv 2860 . . . . . 6  |-  ( e  =  E  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
3130rexbidv 2671 . . . . 5  |-  ( e  =  E  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
32 oveq1 6028 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  (
x (,)  +oo )  =  ( t (,)  +oo ) )
3332raleqdv 2854 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  ( A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  <->  A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
3433ralbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  <->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
3534cbvrexv 2877 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  <->  E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
3631, 35syl6bb 253 . . . 4  |-  ( e  =  E  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
3736rspcva 2994 . . 3  |-  ( ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )  ->  E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
3813, 14, 37syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
39 pntlemp.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
4039simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
4140rpred 10581 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4239simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  1  <_  Y )
431pntrlog2bnd 21146 . . 3  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  1  <_  Y )  ->  E. c  e.  RR+  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )
4441, 42, 43syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )
45 reeanv 2819 . . 3  |-  ( E. t  e.  RR+  E. c  e.  RR+  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )  <->  ( E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  /\  E. c  e.  RR+  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) )
462adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
473adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
484adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
497adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  U  e.  RR+ )
508adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  U  <_  A
)
5139adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y
) )
52 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR+ )
53 rpaddcl 10565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( Y  +  t )  e.  RR+ )
5440, 52, 53syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  ( Y  +  t )  e.  RR+ )
55 ltaddrp 10577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  t  e.  RR+ )  ->  Y  <  ( Y  +  t ) )
5641, 52, 55syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  Y  <  ( Y  +  t ) )
5754, 56jca 519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  (
( Y  +  t )  e.  RR+  /\  Y  <  ( Y  +  t ) ) )
5857adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  ( ( Y  +  t )  e.  RR+  /\  Y  <  ( Y  +  t )
) )
59 simprlr 740 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
60 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( Y  +  t )  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  c ) ) ) ) )  =  ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( Y  +  t )  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  c ) ) ) ) )
61 pntlemp.U . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
6261adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
63 rpxr 10552 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR+  ->  t  e. 
RR* )
6463ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  t  e.  RR* )
65 rpre 10551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  RR+  ->  t  e.  RR )
6665ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  t  e.  RR )
6754rpred 10581 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  ( Y  +  t )  e.  RR )
6840adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  Y  e.  RR+ )
6966, 68ltaddrp2d 10611 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  t  <  ( Y  +  t ) )
7066, 67, 69ltled 9154 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  t  <_  ( Y  +  t ) )
71 iooss1 10884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  RR*  /\  t  <_  ( Y  +  t ) )  ->  (
( Y  +  t ) (,)  +oo )  C_  ( t (,)  +oo ) )
7264, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  (
( Y  +  t ) (,)  +oo )  C_  ( t (,)  +oo ) )
7372adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  ( ( Y  +  t ) (,) 
+oo )  C_  (
t (,)  +oo ) )
74 simprrl 741 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
75 ssralv 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  +  t ) (,)  +oo )  C_  ( t (,)  +oo )  ->  ( A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  ->  A. y  e.  ( ( Y  +  t ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
7675ralimdv 2729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  +  t ) (,)  +oo )  C_  ( t (,)  +oo )  ->  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  ->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( ( Y  +  t ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
7773, 74, 76sylc 58 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
( Y  +  t ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
78 simprrr 742 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo )
( ( ( ( abs `  ( R `
 z ) )  x.  ( log `  z
) )  -  (
( 2  /  ( log `  z ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )
791, 46, 47, 48, 5, 6, 49, 50, 9, 10, 51, 58, 59, 60, 62, 77, 78pntleme 21170 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  ( U  -  ( F  x.  ( U ^ 3 ) ) ) )
8079expr 599 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  (
( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
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)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
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8180rexlimdvva 2781 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  RR+  E. c  e.  RR+  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
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( log `  z
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z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
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8245, 81syl5bir 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
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8338, 44, 82mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651    C_ wss 3264   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    +oocpnf 9051   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224    / cdiv 9610   2c2 9982   3c3 9983   4c4 9984  ;cdc 10315   RR+crp 10545   (,)cioo 10849   [,)cico 10851   [,]cicc 10852   ...cfz 10976   |_cfl 11129   ^cexp 11310   abscabs 11967   sum_csu 12407   expce 12592   logclog 20320  ψcchp 20743
This theorem is referenced by:  pntleml  21173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-o1 12212  df-lo1 12213  df-sum 12408  df-ef 12598  df-e 12599  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-dvds 12781  df-gcd 12935  df-prm 13008  df-pc 13139  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622  df-log 20322  df-cxp 20323  df-em 20699  df-cht 20747  df-vma 20748  df-chp 20749  df-ppi 20750  df-mu 20751
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