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Theorem pntlemp 20759
Description: Lemma for pnt 20763. Wrapping up more quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem3.A  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntlemp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlemp.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlemp.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlemp.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlemp.K  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )
pntlemp.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlemp.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlemp.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlemp.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlemp.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlemp.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
Assertion
Ref Expression
pntlemp  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  ( U  -  ( F  x.  ( U ^ 3 ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v, x, y, z, A    e,
a, k, u, v, w, x, y, z, D    v, F, w, y, z    e, K, k, v, w, x, y, z    R, e, k, u, v, w, x, y, z    E, a, e, k, u, v, w, x, y, z    Y, a, k, v, w, y, z    e, L, k, u, v, w, x, y, z    ph, v, w, x, y    B, e, k, v, w, x, y, z    v, U, w, z
Allowed substitution hints:    ph( z, u, e, k, a)    A( u, e, k, a)    B( u, a)    R( a)    U( x, y, u, e, k, a)    F( x, u, e, k, a)    K( u, a)    L( a)    Y( x, u, e)

Proof of Theorem pntlemp
Dummy variables  t 
c  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem3.r . . . . . 6  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2 pntlem3.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3 pntlemp.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4 pntlemp.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
5 pntlemp.d . . . . . 6  |-  D  =  ( A  +  1 )
6 pntlemp.f . . . . . 6  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
7 pntlemp.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
8 pntlemp.u2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
9 pntlemp.e . . . . . 6  |-  E  =  ( U  /  D
)
10 pntlemp.k . . . . . 6  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 20744 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR+  /\  K  e.  RR+  /\  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E )  e.  RR+ ) ) )
1211simp3d 969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
)
1312simp1d 967 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
14 pntlemp.K . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )
15 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  ( B  /  e )  =  ( B  /  E
) )
1615fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  E  ->  ( exp `  ( B  / 
e ) )  =  ( exp `  ( B  /  E ) ) )
1716, 10syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  E  ->  ( exp `  ( B  / 
e ) )  =  K )
1817oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( e  =  E  ->  (
( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo )  =  ( K [,)  +oo )
)
19 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  E  ->  ( L  x.  e )  =  ( L  x.  E ) )
2019oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  E  ->  (
1  +  ( L  x.  e ) )  =  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) )
2120oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  E  ->  (
( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  =  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) )
2221breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) ) )
2322anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) ) ) )
2421oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  (
z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) )  =  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) )
25 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  (
( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
2624, 25raleqbidv 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  ( A. u  e.  (
z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  A. u  e.  ( z [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
)
2723, 26anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
2827rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  E  ->  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
2928ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( e  =  E  ->  ( A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
3018, 29raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( e  =  E  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
3130rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( e  =  E  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
32 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  (
x (,)  +oo )  =  ( t (,)  +oo ) )
3332raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  ( A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  <->  A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
3433ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  <->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
3534cbvrexv 2765 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  <->  E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
3631, 35syl6bb 252 . . . 4  |-  ( e  =  E  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
3736rspcva 2882 . . 3  |-  ( ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )  ->  E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
3813, 14, 37syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
39 pntlemp.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
4039simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
4140rpred 10390 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4239simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  1  <_  Y )
431pntrlog2bnd 20733 . . 3  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  1  <_  Y )  ->  E. c  e.  RR+  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )
4441, 42, 43syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )
45 reeanv 2707 . . 3  |-  ( E. t  e.  RR+  E. c  e.  RR+  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )  <->  ( E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  /\  E. c  e.  RR+  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) )
462adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
473adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
484adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
497adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  U  e.  RR+ )
508adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  U  <_  A
)
5139adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y
) )
52 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR+ )
53 rpaddcl 10374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( Y  +  t )  e.  RR+ )
5440, 52, 53syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  ( Y  +  t )  e.  RR+ )
55 ltaddrp 10386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  t  e.  RR+ )  ->  Y  <  ( Y  +  t ) )
5641, 52, 55syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  Y  <  ( Y  +  t ) )
5754, 56jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  (
( Y  +  t )  e.  RR+  /\  Y  <  ( Y  +  t ) ) )
5857adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  ( ( Y  +  t )  e.  RR+  /\  Y  <  ( Y  +  t )
) )
59 simprlr 739 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
60 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( Y  +  t )  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  c ) ) ) ) )  =  ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( Y  +  t )  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  c ) ) ) ) )
61 pntlemp.U . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
6261adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
63 rpxr 10361 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR+  ->  t  e. 
RR* )
6463ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  t  e.  RR* )
65 rpre 10360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  RR+  ->  t  e.  RR )
6665ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  t  e.  RR )
6754rpred 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  ( Y  +  t )  e.  RR )
6840adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  Y  e.  RR+ )
6966, 68ltaddrp2d 10420 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  t  <  ( Y  +  t ) )
7066, 67, 69ltled 8967 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  t  <_  ( Y  +  t ) )
71 iooss1 10691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  RR*  /\  t  <_  ( Y  +  t ) )  ->  (
( Y  +  t ) (,)  +oo )  C_  ( t (,)  +oo ) )
7264, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  (
( Y  +  t ) (,)  +oo )  C_  ( t (,)  +oo ) )
7372adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  ( ( Y  +  t ) (,) 
+oo )  C_  (
t (,)  +oo ) )
74 simprrl 740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
75 ssralv 3237 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  +  t ) (,)  +oo )  C_  ( t (,)  +oo )  ->  ( A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  ->  A. y  e.  ( ( Y  +  t ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
7675ralimdv 2622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  +  t ) (,)  +oo )  C_  ( t (,)  +oo )  ->  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  ->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( ( Y  +  t ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
7773, 74, 76sylc 56 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
( Y  +  t ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
78 simprrr 741 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo )
( ( ( ( abs `  ( R `
 z ) )  x.  ( log `  z
) )  -  (
( 2  /  ( log `  z ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )
791, 46, 47, 48, 5, 6, 49, 50, 9, 10, 51, 58, 59, 60, 62, 77, 78pntleme 20757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  ( U  -  ( F  x.  ( U ^ 3 ) ) ) )
8079expr 598 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  (
( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
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)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
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8180rexlimdvva 2674 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  RR+  E. c  e.  RR+  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
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( log `  z
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z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
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8245, 81syl5bir 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
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c )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
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8338, 44, 82mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797  ;cdc 10124   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   [,]cicc 10659   ...cfz 10782   |_cfl 10924   ^cexp 11104   abscabs 11719   sum_csu 12158   expce 12343   logclog 19912  ψcchp 20330
This theorem is referenced by:  pntleml  20760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-em 20287  df-cht 20334  df-vma 20335  df-chp 20336  df-ppi 20337  df-mu 20338
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