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Theorem pntlemr 21298
Description: Lemma for pntlemj 21299. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
pntlem1.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
pntlem1.n  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
pntlem1.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
pntlem1.K  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( K  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
pntlem1.o  |-  O  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ J
) ) ) )
pntlem1.v  |-  ( ph  ->  V  e.  RR+ )
pntlem1.V  |-  ( ph  ->  ( ( ( K ^ J )  < 
V  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  < 
( K  x.  ( K ^ J ) ) )  /\  A. u  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
)
pntlem1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M..^ N ) )
pntlem1.i  |-  I  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )
Assertion
Ref Expression
pntlemr  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  ( ( # `  I )  x.  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, C    y, z, J    y, u, z, L    y, K, z   
z, M    z, O    z, N    u, R, y, z    u, V    z, U    z, W    y, X, z    z, Y    u, a,
y, z, E    u, Z, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, u, a)    A( y, z, u, a)    B( y, z, u, a)    C( y, u, a)    D( y, z, u, a)    R( a)    U( y, u, a)    F( y, z, u, a)    I( y, z, u, a)    J( u, a)    K( u, a)    L( a)    M( y, u, a)    N( y, u, a)    O( y, u, a)    V( y, z, a)    W( y, u, a)    X( u, a)    Y( y, u, a)    Z( y, a)

Proof of Theorem pntlemr
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2 pntlem1.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3 pntlem1.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4 pntlem1.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
5 pntlem1.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( A  +  1 )
6 pntlem1.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 21290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR+  /\  D  e.  RR+  /\  F  e.  RR+ ) )
87simp1d 970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  RR+ )
9 pntlem1.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
10 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
11 pntlem1.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( U  /  D
)
12 pntlem1.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12pntlemc 21291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR+  /\  K  e.  RR+  /\  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E )  e.  RR+ ) ) )
1413simp1d 970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
158, 14rpmulcld 10666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR+ )
16 4re 10075 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR
17 4pos 10088 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  4
1816, 17elrpii 10617 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
19 rpdivcl 10636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
( L  x.  E
)  /  4 )  e.  RR+ )
2015, 18, 19sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  4
)  e.  RR+ )
2120rpred 10650 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  4
)  e.  RR )
22 pntlem1.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
23 pntlem1.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
24 pntlem1.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
25 pntlem1.w . . . . . . . . . . . 12  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
26 pntlem1.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
271, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26pntlemb 21293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
2827simp1d 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
29 pntlem1.v . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  V  e.  RR+ )
3028, 29rpdivcld 10667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Z  /  V
)  e.  RR+ )
3130rpred 10650 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z  /  V
)  e.  RR )
3221, 31remulcld 9118 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
33 pntlem1.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )
34 fzfid 11314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  e.  Fin )
3533, 34syl5eqel 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
36 hashcl 11641 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( # `
 I )  e. 
NN0 )
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  e.  NN0 )
3837nn0red 10277 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  e.  RR )
3932recnd 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  e.  CC )
40 1rp 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR+
41 rpaddcl 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  ( L  x.  E )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
4240, 15, 41sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
4342, 29rpmulcld 10666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  e.  RR+ )
4428, 43rpdivcld 10667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR+ )
4544rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR )
46 reflcl 11207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  e.  RR )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  e.  RR )
4847recnd 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  e.  CC )
49 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
5139, 48, 50add32d 9290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  +  1 )  =  ( ( ( ( ( L  x.  E )  /  4
)  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) ) )
52 peano2re 9241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4
)  x.  ( Z  /  V ) )  e.  RR  ->  (
( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 )  e.  RR )
5332, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  1 )  e.  RR )
5453, 47readdcld 9117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  e.  RR )
55 reflcl 11207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  /  V )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
5631, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
57 peano2re 9241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 )  e.  RR )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  V
) )  +  1 )  e.  RR )
5915rphalfcld 10662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  2
)  e.  RR+ )
6059, 30rpmulcld 10666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
2 )  x.  ( Z  /  V ) )  e.  RR+ )
6160rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
2 )  x.  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
6261, 45readdcld 9117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  e.  RR )
63 rpdivcl 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( L  x.  E )  e.  RR+ )  ->  (
4  /  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
6418, 15, 63sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  e.  RR+ )
6564rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  e.  RR )
6628rpsqrcld 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR+ )
6766rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR )
6827simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
( L  x.  E
) )  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  /\  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <_  ( (
( U  -  E
)  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) )
6968simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z ) )
7043rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  e.  RR )
7113simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
72 pntlem1.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M..^ N ) )
73 elfzoelz 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ZZ )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
7574peano2zd 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ZZ )
7671, 75rpexpcld 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  e.  RR+ )
7776rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  e.  RR )
78 pntlem1.V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( ( ( K ^ J )  < 
V  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  < 
( K  x.  ( K ^ J ) ) )  /\  A. u  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
)
7978simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ J )  <  V  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( K  x.  ( K ^ J
) ) ) )
8079simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( K  x.  ( K ^ J
) ) )
8171rpcnd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
8271, 74rpexpcld 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  ( K ^ J
)  e.  RR+ )
8382rpcnd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( K ^ J
)  e.  CC )
8481, 83mulcomd 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( K ^ J ) )  =  ( ( K ^ J )  x.  K ) )
85 pntlem1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
86 pntlem1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
871, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 85, 86pntlemg 21294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  <_  ( N  -  M )
) )
8887simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
89 elfzouz 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9072, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= `  M ) )
91 nnuz 10523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9291uztrn2 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( M  e.  NN  /\  J  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  J  e.  NN )
9388, 90, 92syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
9493nnnn0d 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
9581, 94expp1d 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  =  ( ( K ^ J )  x.  K ) )
9684, 95eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( K ^ J ) )  =  ( K ^
( J  +  1 ) ) )
9780, 96breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) )
9870, 77, 97ltled 9223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <_  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) )
99 fzofzp1 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  ( J  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
10072, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
1011, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 85, 86pntlemh 21295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( J  +  1 )  e.  ( M ... N
) )  ->  ( X  <  ( K ^
( J  +  1 ) )  /\  ( K ^ ( J  + 
1 ) )  <_ 
( sqr `  Z
) ) )
102100, 101mpdan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( X  <  ( K ^ ( J  + 
1 ) )  /\  ( K ^ ( J  +  1 ) )  <_  ( sqr `  Z
) ) )
103102simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  <_  ( sqr `  Z ) )
10470, 77, 67, 98, 103letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <_  ( sqr `  Z ) )
10570, 67, 66lemul2d 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  <_  ( sqr `  Z )  <->  ( ( sqr `  Z )  x.  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) )  <_  (
( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) ) ) )
106104, 105mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  ( ( sqr `  Z )  x.  ( sqr `  Z ) ) )
10728rprege0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )
)
108 remsqsqr 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
110106, 109breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  Z )
11128rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
11267, 111, 43lemuldivd 10695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  Z )  x.  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  Z  <->  ( sqr `  Z )  <_  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )
113110, 112mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
11429rpcnd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  V  e.  CC )
115114mulid2d 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  V
)  =  V )
116 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  RR
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
11842rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR )
119 ltaddrp 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( L  x.  E
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) )
120116, 15, 119sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  <  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) )
121117, 118, 29, 120ltmul1dd 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  V
)  <  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )
122115, 121eqbrtrrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  V  <  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )
12329, 43, 28ltdiv2d 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( V  <  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  <-> 
( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <  ( Z  /  V ) ) )
124122, 123mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <  ( Z  /  V ) )
12545, 31, 124ltled 9223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  ( Z  /  V ) )
12667, 45, 31, 113, 125letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( Z  /  V ) )
12765, 67, 31, 69, 126letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( Z  /  V ) )
12865, 31, 31, 127leadd2dd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V )  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  <_  ( ( Z  /  V )  +  ( Z  /  V
) ) )
12930rpcnd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Z  /  V
)  e.  CC )
1301292timesd 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Z  /  V ) )  =  ( ( Z  /  V )  +  ( Z  /  V
) ) )
131128, 130breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V )  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  <_  ( 2  x.  ( Z  /  V ) ) )
13231, 65readdcld 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V )  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR )
133 2re 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
134 remulcl 9077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Z  /  V
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( Z  /  V
) )  e.  RR )
135133, 31, 134sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
136132, 135, 20lemul2d 10690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( Z  /  V )  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) )  <_  (
2  x.  ( Z  /  V ) )  <-> 
( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( Z  /  V
)  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) )  <_  ( (
( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( 2  x.  ( Z  /  V
) ) ) ) )
137131, 136mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( Z  /  V
)  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) )  <_  ( (
( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( 2  x.  ( Z  /  V
) ) ) )
13820rpcnd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  4
)  e.  CC )
13964rpcnd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  e.  CC )
140138, 129, 139adddid 9114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( Z  /  V
)  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) )  =  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4
)  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ) )
14115rpcnne0d 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  e.  CC  /\  ( L  x.  E
)  =/=  0 ) )
142 rpcnne0 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
14318, 142mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
144 divcan6 9723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( L  x.  E )  e.  CC  /\  ( L  x.  E
)  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
4  /  ( L  x.  E ) ) )  =  1 )
145141, 143, 144syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
4  /  ( L  x.  E ) ) )  =  1 )
146145oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  ( ( ( L  x.  E )  /  4
)  x.  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) )  =  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4
)  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 ) )
147140, 146eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( Z  /  V
)  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) )  =  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4
)  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 ) )
148 2rp 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR+
149 rpcnne0 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
150148, 149mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
151150simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
152138, 151, 129mulassd 9113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  2 )  x.  ( Z  /  V ) )  =  ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( 2  x.  ( Z  /  V ) ) ) )
15315rpcnd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  CC )
154 divdiv1 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( L  x.  E )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( L  x.  E )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
155153, 150, 150, 154syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( L  x.  E )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
156 2t2e4 10129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
157156oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  x.  E )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( L  x.  E )  /  4
)
158155, 157syl6req 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  4
)  =  ( ( ( L  x.  E
)  /  2 )  /  2 ) )
159158oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  2 )  =  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2
)  /  2 )  x.  2 ) )
160153halfcld 10214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  2
)  e.  CC )
161150simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
162160, 151, 161divcan1d 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  / 
2 )  x.  2 )  =  ( ( L  x.  E )  /  2 ) )
163159, 162eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  2 )  =  ( ( L  x.  E )  /  2 ) )
164163oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  2 )  x.  ( Z  /  V ) )  =  ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  x.  ( Z  /  V
) ) )
165152, 164eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
2  x.  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( ( L  x.  E
)  /  2 )  x.  ( Z  /  V ) ) )
166137, 147, 1653brtr3d 4243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  1 )  <_  ( (
( L  x.  E
)  /  2 )  x.  ( Z  /  V ) ) )
167 flle 11210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  <_ 
( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
16845, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  <_  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )
16953, 47, 61, 45, 166, 168le2addd 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  <_  ( (
( ( L  x.  E )  /  2
)  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) ) )
17059rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  2
)  e.  RR )
17142rprecred 10661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR )
172170, 171readdcld 9117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
2 )  +  ( 1  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  e.  RR )
17315rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR )
17414rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
1758rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
176 eliooord 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  L  /\  L  <  1 ) )
1774, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 0  <  L  /\  L  <  1
) )
178177simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  L  <  1 )
179175, 117, 14, 178ltmul1dd 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  ( 1  x.  E ) )
18014rpcnd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
181180mulid2d 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  =  E )
182179, 181breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  E )
18313simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
)
184183simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
185 eliooord 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
186184, 185syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
187186simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
188173, 174, 117, 182, 187lttrd 9233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  1 )
189173, 117, 117, 188ltadd2dd 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  <  ( 1  +  1 ) )
190 df-2 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
191189, 190syl6breqr 4254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  <  2 )
19242rpregt0d 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) )
193133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
194 2pos 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  2
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
19615rpregt0d 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  e.  RR  /\  0  <  ( L  x.  E ) ) )
197 ltdiv2 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )  /\  (
( L  x.  E
)  e.  RR  /\  0  <  ( L  x.  E ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  <  2  <->  ( ( L  x.  E )  / 
2 )  <  (
( L  x.  E
)  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
198192, 193, 195, 196, 197syl121anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  <  2  <->  ( ( L  x.  E
)  /  2 )  <  ( ( L  x.  E )  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
199191, 198mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  2
)  <  ( ( L  x.  E )  /  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) ) )
20042rpcnd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  CC )
20142rpcnne0d 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  =/=  0 ) )
202 divsubdir 9712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  -  1 )  /  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  -  (
1  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
203200, 50, 201, 202syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  - 
1 )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  -  ( 1  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
204 pncan2 9314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( L  x.  E
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  - 
1 )  =  ( L  x.  E ) )
20549, 153, 204sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  -  1 )  =  ( L  x.  E ) )
206205oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  - 
1 )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  ( ( L  x.  E )  /  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) ) )
207 divid 9707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  =/=  0 )  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  1 )
208201, 207syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  1 )
209208oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  -  (
1  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
210203, 206, 2093eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
211199, 210breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  2
)  <  ( 1  -  ( 1  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
212170, 171, 117ltaddsubd 9628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  +  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  <  1  <->  ( ( L  x.  E
)  /  2 )  <  ( 1  -  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) ) )
213211, 212mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
2 )  +  ( 1  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  <  1 )
214172, 117, 30, 213ltmul1dd 10701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  +  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  x.  ( Z  /  V ) )  <  ( 1  x.  ( Z  /  V
) ) )
215 reccl 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  e.  CC )
216201, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  e.  CC )
217160, 216, 129adddird 9115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  +  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  x.  ( Z  /  V ) )  =  ( ( ( ( L  x.  E
)  /  2 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( ( 1  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  x.  ( Z  /  V ) ) ) )
218200, 114mulcomd 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  =  ( V  x.  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) ) )
219218oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  =  ( Z  /  ( V  x.  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
22028rpcnd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
22129rpcnne0d 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( V  e.  CC  /\  V  =/=  0 ) )
222 divdiv1 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Z  e.  CC  /\  ( V  e.  CC  /\  V  =/=  0 )  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( Z  /  V )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  ( Z  /  ( V  x.  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
223220, 221, 201, 222syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  ( Z  /  ( V  x.  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
22442rpne0d 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  =/=  0 )
225129, 200, 224divrec2d 9796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  ( ( 1  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  x.  ( Z  /  V ) ) )
226219, 223, 2253eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  =  ( ( 1  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  x.  ( Z  /  V ) ) )
227226oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  =  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2
)  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( ( 1  /  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) )  x.  ( Z  /  V
) ) ) )
228217, 227eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  +  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  x.  ( Z  /  V ) )  =  ( ( ( ( L  x.  E
)  /  2 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )
229129mulid2d 9108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( Z  /  V ) )  =  ( Z  /  V ) )
230214, 228, 2293brtr3d 4243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  <  ( Z  /  V ) )
23154, 62, 31, 169, 230lelttrd 9230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  <  ( Z  /  V ) )
232 fllep1 11212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  /  V )  e.  RR  ->  ( Z  /  V )  <_ 
( ( |_ `  ( Z  /  V
) )  +  1 ) )
23331, 232syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Z  /  V
)  <_  ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) )
23454, 31, 58, 231, 233ltletrd 9232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  <  ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) )
23551, 234eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  +  1 )  <  ( ( |_
`  ( Z  /  V ) )  +  1 ) )
23632, 47readdcld 9117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  e.  RR )
237236, 56, 117ltadd1d 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  <  ( |_
`  ( Z  /  V ) )  <->  ( (
( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  +  1 )  <  (
( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) )
238235, 237mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  <  ( |_
`  ( Z  /  V ) ) )
23932, 47, 56ltaddsubd 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  <  ( |_
`  ( Z  /  V ) )  <->  ( (
( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  < 
( ( |_ `  ( Z  /  V
) )  -  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) ) ) ) )
240238, 239mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  <  ( ( |_
`  ( Z  /  V ) )  -  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) ) )
24131flcld 11209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  ZZ )
242 fzval3 11182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  ZZ  ->  (
( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ... ( |_
`  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )..^ ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) )
243241, 242syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )..^ ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) )
24433, 243syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  =  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )..^ ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) )
245244fveq2d 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  =  ( # `  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 )..^ ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) ) )
246 flword2 11222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR  /\  ( Z  /  V
)  e.  RR  /\  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  ( Z  /  V ) )  -> 
( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) ) ) )
24745, 31, 125, 246syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) ) ) )
248 eluzp1p1 10513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( Z  /  V ) )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ) )
249247, 248syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  V
) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ) )
250 hashfzo 11696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) )  -> 
( # `  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )..^ ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 )  -  ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ) )
251249, 250syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )..^ ( ( |_
`  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 )  -  ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ) )
25256recnd 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  CC )
253252, 48, 50pnpcan2d 9451 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Z  /  V ) )  +  1 )  -  (
( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( |_
`  ( Z  /  V ) )  -  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) ) )
254245, 251, 2533eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  =  ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  -  ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) ) )
255240, 254breqtrrd 4240 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  <  ( # `  I
) )
25632, 38, 255ltled 9223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  <_  ( # `  I
) )
25721, 38, 30lemuldivd 10695 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( Z  /  V
) )  <_  ( # `
 I )  <->  ( ( L  x.  E )  /  4 )  <_ 
( ( # `  I
)  /  ( Z  /  V ) ) ) )
258256, 257mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  4
)  <_  ( ( # `
 I )  / 
( Z  /  V
) ) )
25929rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V  e.  RR )
26070, 77, 67, 97, 103ltletrd 9232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( sqr `  Z ) )
261259, 70, 67, 122, 260lttrd 9233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V  <  ( sqr `  Z ) )
262259, 67, 261ltled 9223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  V  <_  ( sqr `  Z ) )
26329rprege0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( V  e.  RR  /\  0  <_  V )
)
26466rprege0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z
) ) )
265 le2sq 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  RR  /\  0  <_  V )  /\  ( ( sqr `  Z
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z
) ) )  -> 
( V  <_  ( sqr `  Z )  <->  ( V ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
266263, 264, 265syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( V  <_  ( sqr `  Z )  <->  ( V ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
267262, 266mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( V ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  Z ) ^
2 ) )
268 resqrth 12063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 )  =  Z )
269107, 268syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
) ^ 2 )  =  Z )
270267, 269breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( V ^ 2 )  <_  Z )
271 2z 10314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
272 rpexpcl 11402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( V ^ 2 )  e.  RR+ )
27329, 271, 272sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( V ^ 2 )  e.  RR+ )
274273rpred 10650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( V ^ 2 )  e.  RR )
275274, 111, 28lemul2d 10690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( V ^
2 )  <_  Z  <->  ( Z  x.  ( V ^ 2 ) )  <_  ( Z  x.  Z ) ) )
276270, 275mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z  x.  ( V ^ 2 ) )  <_  ( Z  x.  Z ) )
277220sqvald 11522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z ^ 2 )  =  ( Z  x.  Z ) )
278276, 277breqtrrd 4240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  x.  ( V ^ 2 ) )  <_  ( Z ^
2 ) )
279111resqcld 11551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z ^ 2 )  e.  RR )
280111, 279, 273lemuldivd 10695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Z  x.  ( V ^ 2 ) )  <_  ( Z ^ 2 )  <->  Z  <_  ( ( Z ^ 2 )  /  ( V ^ 2 ) ) ) )
281278, 280mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  <_  ( ( Z ^ 2 )  / 
( V ^ 2 ) ) )
28229rpne0d 10655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  V  =/=  0 )
283220, 114, 282sqdivd 11538 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V ) ^ 2 )  =  ( ( Z ^ 2 )  /  ( V ^
2 ) ) )
284281, 283breqtrrd 4240 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  <_  ( ( Z  /  V ) ^
2 ) )
285 rpexpcl 11402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  /  V
)  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( Z  /  V
) ^ 2 )  e.  RR+ )
28630, 271, 285sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V ) ^ 2 )  e.  RR+ )
28728, 286logled 20524 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z  <_  (
( Z  /  V
) ^ 2 )  <-> 
( log `  Z
)  <_  ( log `  ( ( Z  /  V ) ^ 2 ) ) ) )
288284, 287mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  <_  ( log `  ( ( Z  /  V ) ^ 2 ) ) )
289 relogexp 20492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Z  /  V
)  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( ( Z  /  V ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
29030, 271, 289sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( Z  /  V
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
291288, 290breqtrd 4238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  <_  ( 2  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
29228relogcld 20520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR )
29330relogcld 20520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
294 ledivmul 9885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  Z
)  e.  RR  /\  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( log `  Z )  /  2 )  <_ 
( log `  ( Z  /  V ) )  <-> 
( log `  Z
)  <_  ( 2  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) ) )
295292, 293, 193, 195, 294syl112anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  2
)  <_  ( log `  ( Z  /  V
) )  <->  ( log `  Z )  <_  (
2  x.  ( log `  ( Z  /  V
) ) ) ) )
296291, 295mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  2 )  <_  ( log `  ( Z  /  V ) ) )
29720rprege0d 10657 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( L  x.  E )  /  4 ) ) )
29838, 30rerpdivcld 10677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  I
)  /  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
29927simp2d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
300299simp1d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  Z )
301111, 300rplogcld 20526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR+ )
302301rphalfcld 10662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  2 )  e.  RR+ )
303302rprege0d 10657 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  Z )  /  2
) ) )
304 lemul12a 9870 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( L  x.  E )  /  4
) )  /\  (
( # `  I )  /  ( Z  /  V ) )  e.  RR )  /\  (
( ( ( log `  Z )  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  Z )  /  2
) )  /\  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  <_ 
( ( # `  I
)  /  ( Z  /  V ) )  /\  ( ( log `  Z )  /  2
)  <_  ( log `  ( Z  /  V
) ) )  -> 
( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( log `  Z
)  /  2 ) )  <_  ( (
( # `  I )  /  ( Z  /  V ) )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) ) )
305297, 298, 303, 293, 304syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  <_ 
( ( # `  I
)  /  ( Z  /  V ) )  /\  ( ( log `  Z )  /  2
)  <_  ( log `  ( Z  /  V
) ) )  -> 
( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( log `  Z
)  /  2 ) )  <_  ( (
( # `  I )  /  ( Z  /  V ) )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) ) )
306258, 296, 305mp2and 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( log `  Z
)  /  2 ) )  <_  ( (
( # `  I )  /  ( Z  /  V ) )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
307301rpcnd 10652 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  CC )
308 8nn 10141 . . . . . . . 8  |-  8  e.  NN
309 nnrp 10623 . . . . . . . 8  |-  ( 8  e.  NN  ->  8  e.  RR+ )
310308, 309ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  8  e.  RR+
311 rpcnne0 10631 . . . . . . 7  |-  ( 8  e.  RR+  ->  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 ) )
312310, 311mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 ) )
313 div23 9699 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  CC  /\  ( log `  Z )  e.  CC  /\  (
8  e.  CC  /\  8  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( L  x.  E )  x.  ( log `  Z
) )  /  8
)  =  ( ( ( L  x.  E
)  /  8 )  x.  ( log `  Z
) ) )
314153, 307, 312, 313syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  x.  ( log `  Z
) )  /  8
)  =  ( ( ( L  x.  E
)  /  8 )  x.  ( log `  Z
) ) )
315 divmuldiv 9716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L  x.  E )  e.  CC  /\  ( log `  Z
)  e.  CC )  /\  ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( ( log `  Z )  /  2
) )  =  ( ( ( L  x.  E )  x.  ( log `  Z ) )  /  ( 4  x.  2 ) ) )
316153, 307, 143, 150, 315syl22anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( log `  Z
)  /  2 ) )  =  ( ( ( L  x.  E
)  x.  ( log `  Z ) )  / 
( 4  x.  2 ) ) )
317 4t2e8 10132 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
318317oveq2i 6094 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  x.  E
)  x.  ( log `  Z ) )  / 
( 4  x.  2 ) )  =  ( ( ( L  x.  E )  x.  ( log `  Z ) )  /  8 )
319316, 318syl6req 2487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  x.  ( log `  Z
) )  /  8
)  =  ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( ( log `  Z )  /  2
) ) )
320314, 319eqtr3d 2472 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
8 )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( ( log `  Z
)  /  2 ) ) )
32138recnd 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  e.  CC )
322293recnd 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  CC )
32330rpcnne0d 10659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V )  e.  CC  /\  ( Z  /  V
)  =/=  0 ) )
324 divass 9698 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  I
)  e.  CC  /\  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  CC  /\  (
( Z  /  V
)  e.  CC  /\  ( Z  /  V
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( # `  I )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) )  /  ( Z  /  V ) )  =  ( ( # `  I )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) )
325 div23 9699 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  I
)  e.  CC  /\  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  CC  /\  (
( Z  /  V
)  e.  CC  /\  ( Z  /  V
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( # `  I )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) )  /  ( Z  /  V ) )  =  ( ( (
# `  I )  /  ( Z  /  V ) )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
326324, 325eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  I
)  e.  CC  /\  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  CC  /\  (
( Z  /  V
)  e.  CC  /\  ( Z  /  V
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( # `
 I )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( (
# `  I )  /  ( Z  /  V ) )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
327321, 322, 323, 326syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  I
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( (
# `  I )  /  ( Z  /  V ) )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
328306, 320, 3273brtr4d 4244 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
8 )  x.  ( log `  Z ) )  <_  ( ( # `  I )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) )
329 rpdivcl 10636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
( L  x.  E
)  /  8 )  e.  RR+ )
33015, 310, 329sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  8
)  e.  RR+ )
331330, 301rpmulcld 10666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
8 )  x.  ( log `  Z ) )  e.  RR+ )
332331rpred 10650 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
8 )  x.  ( log `  Z ) )  e.  RR )
333293, 30rerpdivcld 10677 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
33438, 333remulcld 9118 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  I
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  RR )
335183simp3d 972 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
336332, 334, 335lemul2d 10690 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  8 )  x.  ( log `  Z
) )  <_  (
( # `  I )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <->  ( ( U  -  E )  x.  ( ( ( L  x.  E )  / 
8 )  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  ( ( U  -  E )  x.  ( ( # `  I
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) ) )
337328, 336mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  ( ( U  -  E )  x.  ( ( # `  I
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
338335rpcnd 10652 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  CC )
339333recnd 9116 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  e.  CC )
340338, 321, 339mul12d 9277 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( # `  I )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) ) ) )  =  ( ( # `  I
)  x.  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
341337, 340breqtrd 4238 1  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  ( ( # `  I )  x.  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    +oocpnf 9119    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   3c3 10052   4c4 10053   8c8 10057   NN0cn0 10223   ZZcz 10284  ;cdc 10384   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   (,)cioo 10918   [,)cico 10920   [,]cicc 10921   ...cfz 11045  ..^cfzo 11137   |_cfl 11203   ^cexp 11384   #chash 11620   sqrcsqr 12040   abscabs 12041   expce 12666   _eceu 12667   logclog 20454  ψcchp 20877
This theorem is referenced by:  pntlemj  21299
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-e 12673  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456
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