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Theorem pntlemr 20767
Description: Lemma for pntlemj 20768. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
pntlem1.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
pntlem1.n  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
pntlem1.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
pntlem1.K  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( K  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
pntlem1.o  |-  O  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ J
) ) ) )
pntlem1.v  |-  ( ph  ->  V  e.  RR+ )
pntlem1.V  |-  ( ph  ->  ( ( ( K ^ J )  < 
V  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  < 
( K  x.  ( K ^ J ) ) )  /\  A. u  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
)
pntlem1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M..^ N ) )
pntlem1.i  |-  I  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )
Assertion
Ref Expression
pntlemr  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  ( ( # `  I )  x.  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, C    y, z, J    y, u, z, L    y, K, z   
z, M    z, O    z, N    u, R, y, z    u, V    z, U    z, W    y, X, z    z, Y    u, a,
y, z, E    u, Z, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, u, a)    A( y, z, u, a)    B( y, z, u, a)    C( y, u, a)    D( y, z, u, a)    R( a)    U( y, u, a)    F( y, z, u, a)    I( y, z, u, a)    J( u, a)    K( u, a)    L( a)    M( y, u, a)    N( y, u, a)    O( y, u, a)    V( y, z, a)    W( y, u, a)    X( u, a)    Y( y, u, a)    Z( y, a)

Proof of Theorem pntlemr
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2 pntlem1.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3 pntlem1.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4 pntlem1.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
5 pntlem1.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( A  +  1 )
6 pntlem1.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 20759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR+  /\  D  e.  RR+  /\  F  e.  RR+ ) )
87simp1d 967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  RR+ )
9 pntlem1.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
10 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
11 pntlem1.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( U  /  D
)
12 pntlem1.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12pntlemc 20760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR+  /\  K  e.  RR+  /\  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E )  e.  RR+ ) ) )
1413simp1d 967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
158, 14rpmulcld 10422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR+ )
16 4re 9835 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR
17 4pos 9848 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  4
1816, 17elrpii 10373 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
19 rpdivcl 10392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
( L  x.  E
)  /  4 )  e.  RR+ )
2015, 18, 19sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  4
)  e.  RR+ )
2120rpred 10406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  4
)  e.  RR )
22 pntlem1.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
23 pntlem1.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
24 pntlem1.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
25 pntlem1.w . . . . . . . . . . . 12  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
26 pntlem1.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
271, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26pntlemb 20762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
2827simp1d 967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
29 pntlem1.v . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  V  e.  RR+ )
3028, 29rpdivcld 10423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Z  /  V
)  e.  RR+ )
3130rpred 10406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z  /  V
)  e.  RR )
3221, 31remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
33 pntlem1.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )
34 fzfid 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  e.  Fin )
3533, 34syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
36 hashcl 11366 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( # `
 I )  e. 
NN0 )
3735, 36syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  e.  NN0 )
3837nn0red 10035 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  e.  RR )
3932recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  e.  CC )
40 1rp 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR+
41 rpaddcl 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  ( L  x.  E )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
4240, 15, 41sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
4342, 29rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  e.  RR+ )
4428, 43rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR+ )
4544rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR )
46 reflcl 10944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  e.  RR )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  e.  RR )
4847recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  e.  CC )
49 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
5049a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
5139, 48, 50add32d 9050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  +  1 )  =  ( ( ( ( ( L  x.  E )  /  4
)  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) ) )
52 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4
)  x.  ( Z  /  V ) )  e.  RR  ->  (
( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 )  e.  RR )
5332, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  1 )  e.  RR )
5453, 47readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  e.  RR )
55 reflcl 10944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  /  V )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
5631, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
57 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 )  e.  RR )
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  V
) )  +  1 )  e.  RR )
5915rphalfcld 10418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  2
)  e.  RR+ )
6059, 30rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
2 )  x.  ( Z  /  V ) )  e.  RR+ )
6160rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
2 )  x.  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
6261, 45readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  e.  RR )
63 rpdivcl 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( L  x.  E )  e.  RR+ )  ->  (
4  /  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
6418, 15, 63sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  e.  RR+ )
6564rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  e.  RR )
6628rpsqrcld 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR+ )
6766rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR )
6827simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
( L  x.  E
) )  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  /\  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <_  ( (
( U  -  E
)  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) )
6968simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z ) )
7043rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  e.  RR )
7113simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
72 pntlem1.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M..^ N ) )
73 elfzoelz 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ZZ )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
7574peano2zd 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ZZ )
7671, 75rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  e.  RR+ )
7776rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  e.  RR )
78 pntlem1.V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( ( ( K ^ J )  < 
V  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  < 
( K  x.  ( K ^ J ) ) )  /\  A. u  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
)
7978simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ J )  <  V  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( K  x.  ( K ^ J
) ) ) )
8079simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( K  x.  ( K ^ J
) ) )
8171rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
8271, 74rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  ( K ^ J
)  e.  RR+ )
8382rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( K ^ J
)  e.  CC )
8481, 83mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( K ^ J ) )  =  ( ( K ^ J )  x.  K ) )
85 pntlem1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
86 pntlem1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
871, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 85, 86pntlemg 20763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  <_  ( N  -  M )
) )
8887simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
89 elfzouz 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9072, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= `  M ) )
91 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9291uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( M  e.  NN  /\  J  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  J  e.  NN )
9388, 90, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
9493nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
9581, 94expp1d 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  =  ( ( K ^ J )  x.  K ) )
9684, 95eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( K ^ J ) )  =  ( K ^
( J  +  1 ) ) )
9780, 96breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) )
9870, 77, 97ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <_  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) )
99 fzofzp1 10932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  ( J  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
10072, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
1011, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 85, 86pntlemh 20764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( J  +  1 )  e.  ( M ... N
) )  ->  ( X  <  ( K ^
( J  +  1 ) )  /\  ( K ^ ( J  + 
1 ) )  <_ 
( sqr `  Z
) ) )
102100, 101mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( X  <  ( K ^ ( J  + 
1 ) )  /\  ( K ^ ( J  +  1 ) )  <_  ( sqr `  Z
) ) )
103102simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  <_  ( sqr `  Z ) )
10470, 77, 67, 98, 103letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <_  ( sqr `  Z ) )
10570, 67, 66lemul2d 10446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  <_  ( sqr `  Z )  <->  ( ( sqr `  Z )  x.  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) )  <_  (
( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) ) ) )
106104, 105mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  ( ( sqr `  Z )  x.  ( sqr `  Z ) ) )
10728rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )
)
108 remsqsqr 11758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
109107, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
110106, 109breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  Z )
11128rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
11267, 111, 43lemuldivd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  Z )  x.  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  Z  <->  ( sqr `  Z )  <_  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )
113110, 112mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
11429rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  V  e.  CC )
115114mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  V
)  =  V )
116 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  RR
117116a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
11842rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR )
119 ltaddrp 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( L  x.  E
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) )
120116, 15, 119sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  <  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) )
121117, 118, 29, 120ltmul1dd 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  V
)  <  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )
122115, 121eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  V  <  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )
12329, 43, 28ltdiv2d 10429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( V  <  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  <-> 
( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <  ( Z  /  V ) ) )
124122, 123mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <  ( Z  /  V ) )
12545, 31, 124ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  ( Z  /  V ) )
12667, 45, 31, 113, 125letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( Z  /  V ) )
12765, 67, 31, 69, 126letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( Z  /  V ) )
12865, 31, 31, 127leadd2dd 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V )  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  <_  ( ( Z  /  V )  +  ( Z  /  V
) ) )
12930rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Z  /  V
)  e.  CC )
1301292timesd 9970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Z  /  V ) )  =  ( ( Z  /  V )  +  ( Z  /  V
) ) )
131128, 130breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V )  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  <_  ( 2  x.  ( Z  /  V ) ) )
13231, 65readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V )  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR )
133 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
134 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Z  /  V
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( Z  /  V
) )  e.  RR )
135133, 31, 134sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
136132, 135, 20lemul2d 10446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( Z  /  V )  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) )  <_  (
2  x.  ( Z  /  V ) )  <-> 
( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( Z  /  V
)  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) )  <_  ( (
( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( 2  x.  ( Z  /  V
) ) ) ) )
137131, 136mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( Z  /  V
)  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) )  <_  ( (
( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( 2  x.  ( Z  /  V
) ) ) )
13820rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  4
)  e.  CC )
13964rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  e.  CC )
140138, 129, 139adddid 8875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( Z  /  V
)  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) )  =  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4
)  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ) )
14115rpcnne0d 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  e.  CC  /\  ( L  x.  E
)  =/=  0 ) )
142 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
14318, 142mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
144 divcan6 9483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( L  x.  E )  e.  CC  /\  ( L  x.  E
)  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
4  /  ( L  x.  E ) ) )  =  1 )
145141, 143, 144syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
4  /  ( L  x.  E ) ) )  =  1 )
146145oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  ( ( ( L  x.  E )  /  4
)  x.  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) )  =  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4
)  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 ) )
147140, 146eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( Z  /  V
)  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) )  =  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4
)  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 ) )
148 2rp 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR+
149 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
150148, 149mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
151150simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
152138, 151, 129mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  2 )  x.  ( Z  /  V ) )  =  ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( 2  x.  ( Z  /  V ) ) ) )
15315rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  CC )
154 divdiv1 9487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( L  x.  E )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( L  x.  E )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
155153, 150, 150, 154syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( L  x.  E )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
156 2t2e4 9887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
157156oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  x.  E )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( L  x.  E )  /  4
)
158155, 157syl6req 2345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  4
)  =  ( ( ( L  x.  E
)  /  2 )  /  2 ) )
159158oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  2 )  =  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2
)  /  2 )  x.  2 ) )
160153halfcld 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  2
)  e.  CC )
161150simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
162160, 151, 161divcan1d 9553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  / 
2 )  x.  2 )  =  ( ( L  x.  E )  /  2 ) )
163159, 162eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  2 )  =  ( ( L  x.  E )  /  2 ) )
164163oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  2 )  x.  ( Z  /  V ) )  =  ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  x.  ( Z  /  V
) ) )
165152, 164eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
2  x.  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( ( L  x.  E
)  /  2 )  x.  ( Z  /  V ) ) )
166137, 147, 1653brtr3d 4068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  1 )  <_  ( (
( L  x.  E
)  /  2 )  x.  ( Z  /  V ) ) )
167 flle 10947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  <_ 
( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
16845, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  <_  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )
16953, 47, 61, 45, 166, 168le2addd 9406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  <_  ( (
( ( L  x.  E )  /  2
)  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) ) )
17059rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  2
)  e.  RR )
17142rprecred 10417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR )
172170, 171readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
2 )  +  ( 1  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  e.  RR )
17315rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR )
17414rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
1758rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
176 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  L  /\  L  <  1 ) )
1774, 176syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 0  <  L  /\  L  <  1
) )
178177simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  L  <  1 )
179175, 117, 14, 178ltmul1dd 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  ( 1  x.  E ) )
18014rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
181180mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  =  E )
182179, 181breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  E )
18313simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
)
184183simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
185 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
186184, 185syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
187186simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
188173, 174, 117, 182, 187lttrd 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  1 )
189173, 117, 117, 188ltadd2dd 8991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  <  ( 1  +  1 ) )
190 df-2 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
191189, 190syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  <  2 )
19242rpregt0d 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) )
193133a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
194 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  2
195194a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
19615rpregt0d 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  e.  RR  /\  0  <  ( L  x.  E ) ) )
197 ltdiv2 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )  /\  (
( L  x.  E
)  e.  RR  /\  0  <  ( L  x.  E ) ) )  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  <  2  <->  ( ( L  x.  E )  / 
2 )  <  (
( L  x.  E
)  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
198192, 193, 195, 196, 197syl121anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  <  2  <->  ( ( L  x.  E
)  /  2 )  <  ( ( L  x.  E )  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
199191, 198mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  2
)  <  ( ( L  x.  E )  /  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) ) )
20042rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  CC )
20142rpcnne0d 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  =/=  0 ) )
202 divsubdir 9472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  -  1 )  /  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  -  (
1  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
203200, 50, 201, 202syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  - 
1 )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  -  ( 1  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
204 pncan2 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( L  x.  E
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  - 
1 )  =  ( L  x.  E ) )
20549, 153, 204sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  -  1 )  =  ( L  x.  E ) )
206205oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  - 
1 )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  ( ( L  x.  E )  /  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) ) )
207 divid 9467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  =/=  0 )  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  1 )
208201, 207syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  1 )
209208oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  -  (
1  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
210203, 206, 2093eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
211199, 210breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  2
)  <  ( 1  -  ( 1  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
212170, 171, 117ltaddsubd 9388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  +  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  <  1  <->  ( ( L  x.  E
)  /  2 )  <  ( 1  -  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) ) )
213211, 212mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
2 )  +  ( 1  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  <  1 )
214172, 117, 30, 213ltmul1dd 10457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  +  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  x.  ( Z  /  V ) )  <  ( 1  x.  ( Z  /  V
) ) )
215 reccl 9447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  e.  CC )
216201, 215syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  e.  CC )
217160, 216, 129adddird 8876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  +  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  x.  ( Z  /  V ) )  =  ( ( ( ( L  x.  E
)  /  2 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( ( 1  / 
( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  x.  ( Z  /  V ) ) ) )
218200, 114mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  =  ( V  x.  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) ) )
219218oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  =  ( Z  /  ( V  x.  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
22028rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
22129rpcnne0d 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( V  e.  CC  /\  V  =/=  0 ) )
222 divdiv1 9487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Z  e.  CC  /\  ( V  e.  CC  /\  V  =/=  0 )  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( Z  /  V )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  ( Z  /  ( V  x.  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
223220, 221, 201, 222syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  ( Z  /  ( V  x.  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) ) ) )
22442rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  =/=  0 )
225129, 200, 224divrec2d 9556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V )  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) )  =  ( ( 1  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  x.  ( Z  /  V ) ) )
226219, 223, 2253eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  =  ( ( 1  /  ( 1  +  ( L  x.  E ) ) )  x.  ( Z  /  V ) ) )
227226oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  =  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2
)  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( ( 1  /  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) )  x.  ( Z  /  V
) ) ) )
228217, 227eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  +  ( 1  /  (
1  +  ( L  x.  E ) ) ) )  x.  ( Z  /  V ) )  =  ( ( ( ( L  x.  E
)  /  2 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )
229129mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( Z  /  V ) )  =  ( Z  /  V ) )
230214, 228, 2293brtr3d 4068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  2 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  <  ( Z  /  V ) )
23154, 62, 31, 169, 230lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  <  ( Z  /  V ) )
232 fllep1 10949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  /  V )  e.  RR  ->  ( Z  /  V )  <_ 
( ( |_ `  ( Z  /  V
) )  +  1 ) )
23331, 232syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Z  /  V
)  <_  ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) )
23454, 31, 58, 231, 233ltletrd 8992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  1 )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  <  ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) )
23551, 234eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  +  1 )  <  ( ( |_
`  ( Z  /  V ) )  +  1 ) )
23632, 47readdcld 8878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  e.  RR )
237236, 56, 117ltadd1d 9381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  <  ( |_
`  ( Z  /  V ) )  <->  ( (
( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  +  1 )  <  (
( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) )
238235, 237mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( Z  /  V
) )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  <  ( |_
`  ( Z  /  V ) ) )
23932, 47, 56ltaddsubd 9388 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  +  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )  <  ( |_
`  ( Z  /  V ) )  <->  ( (
( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( Z  /  V ) )  < 
( ( |_ `  ( Z  /  V
) )  -  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) ) ) ) )
240238, 239mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  <  ( ( |_
`  ( Z  /  V ) )  -  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) ) )
24131flcld 10946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  ZZ )
242 fzval3 10927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  ZZ  ->  (
( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ... ( |_
`  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )..^ ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) )
243241, 242syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )..^ ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) )
24433, 243syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  =  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )..^ ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) )
245244fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  =  ( # `  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 )..^ ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) ) )
246 flword2 10959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR  /\  ( Z  /  V
)  e.  RR  /\  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  ( Z  /  V ) )  -> 
( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) ) ) )
24745, 31, 125, 246syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) ) ) )
248 eluzp1p1 10269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( Z  /  V ) )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ) )
249247, 248syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  V
) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ) )
250 hashfzo 11399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) )  -> 
( # `  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )..^ ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 )  -  ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ) )
251249, 250syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )..^ ( ( |_
`  ( Z  /  V ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  +  1 )  -  ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ) )
25256recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Z  /  V ) )  e.  CC )
253252, 48, 50pnpcan2d 9211 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Z  /  V ) )  +  1 )  -  (
( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( |_
`  ( Z  /  V ) )  -  ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) ) )
254245, 251, 2533eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  =  ( ( |_ `  ( Z  /  V ) )  -  ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) ) )
255240, 254breqtrrd 4065 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  <  ( # `  I
) )
25632, 38, 255ltled 8983 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  ( Z  /  V ) )  <_  ( # `  I
) )
25721, 38, 30lemuldivd 10451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( Z  /  V
) )  <_  ( # `
 I )  <->  ( ( L  x.  E )  /  4 )  <_ 
( ( # `  I
)  /  ( Z  /  V ) ) ) )
258256, 257mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  4
)  <_  ( ( # `
 I )  / 
( Z  /  V
) ) )
25929rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V  e.  RR )
26070, 77, 67, 97, 103ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( sqr `  Z ) )
261259, 70, 67, 122, 260lttrd 8993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V  <  ( sqr `  Z ) )
262259, 67, 261ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  V  <_  ( sqr `  Z ) )
26329rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( V  e.  RR  /\  0  <_  V )
)
26466rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z
) ) )
265 le2sq 11194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  RR  /\  0  <_  V )  /\  ( ( sqr `  Z
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z
) ) )  -> 
( V  <_  ( sqr `  Z )  <->  ( V ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
266263, 264, 265syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( V  <_  ( sqr `  Z )  <->  ( V ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
267262, 266mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( V ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  Z ) ^
2 ) )
268 resqrth 11757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 )  =  Z )
269107, 268syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
) ^ 2 )  =  Z )
270267, 269breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( V ^ 2 )  <_  Z )
271 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
272 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( V ^ 2 )  e.  RR+ )
27329, 271, 272sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( V ^ 2 )  e.  RR+ )
274273rpred 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( V ^ 2 )  e.  RR )
275274, 111, 28lemul2d 10446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( V ^
2 )  <_  Z  <->  ( Z  x.  ( V ^ 2 ) )  <_  ( Z  x.  Z ) ) )
276270, 275mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z  x.  ( V ^ 2 ) )  <_  ( Z  x.  Z ) )
277220sqvald 11258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z ^ 2 )  =  ( Z  x.  Z ) )
278276, 277breqtrrd 4065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  x.  ( V ^ 2 ) )  <_  ( Z ^
2 ) )
279111resqcld 11287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z ^ 2 )  e.  RR )
280111, 279, 273lemuldivd 10451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Z  x.  ( V ^ 2 ) )  <_  ( Z ^ 2 )  <->  Z  <_  ( ( Z ^ 2 )  /  ( V ^ 2 ) ) ) )
281278, 280mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  <_  ( ( Z ^ 2 )  / 
( V ^ 2 ) ) )
28229rpne0d 10411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  V  =/=  0 )
283220, 114, 282sqdivd 11274 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V ) ^ 2 )  =  ( ( Z ^ 2 )  /  ( V ^
2 ) ) )
284281, 283breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  <_  ( ( Z  /  V ) ^
2 ) )
285 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  /  V
)  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( Z  /  V
) ^ 2 )  e.  RR+ )
28630, 271, 285sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V ) ^ 2 )  e.  RR+ )
28728, 286logled 19994 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z  <_  (
( Z  /  V
) ^ 2 )  <-> 
( log `  Z
)  <_  ( log `  ( ( Z  /  V ) ^ 2 ) ) ) )
288284, 287mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  <_  ( log `  ( ( Z  /  V ) ^ 2 ) ) )
289 relogexp 19965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Z  /  V
)  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( ( Z  /  V ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
29030, 271, 289sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( Z  /  V
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
291288, 290breqtrd 4063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  <_  ( 2  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
29228relogcld 19990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR )
29330relogcld 19990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
294 ledivmul 9645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  Z
)  e.  RR  /\  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( log `  Z )  /  2 )  <_ 
( log `  ( Z  /  V ) )  <-> 
( log `  Z
)  <_  ( 2  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) ) )
295292, 293, 193, 195, 294syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  2
)  <_  ( log `  ( Z  /  V
) )  <->  ( log `  Z )  <_  (
2  x.  ( log `  ( Z  /  V
) ) ) ) )
296291, 295mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  2 )  <_  ( log `  ( Z  /  V ) ) )
29720rprege0d 10413 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( L  x.  E )  /  4 ) ) )
29838, 30rerpdivcld 10433 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  I
)  /  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
29927simp2d 968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
300299simp1d 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  Z )
301111, 300rplogcld 19996 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR+ )
302301rphalfcld 10418 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  2 )  e.  RR+ )
303302rprege0d 10413 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  Z )  /  2
) ) )
304 lemul12a 9630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( L  x.  E )  /  4
) )  /\  (
( # `  I )  /  ( Z  /  V ) )  e.  RR )  /\  (
( ( ( log `  Z )  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  Z )  /  2
) )  /\  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  <_ 
( ( # `  I
)  /  ( Z  /  V ) )  /\  ( ( log `  Z )  /  2
)  <_  ( log `  ( Z  /  V
) ) )  -> 
( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( log `  Z
)  /  2 ) )  <_  ( (
( # `  I )  /  ( Z  /  V ) )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) ) )
305297, 298, 303, 293, 304syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  <_ 
( ( # `  I
)  /  ( Z  /  V ) )  /\  ( ( log `  Z )  /  2
)  <_  ( log `  ( Z  /  V
) ) )  -> 
( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( log `  Z
)  /  2 ) )  <_  ( (
( # `  I )  /  ( Z  /  V ) )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) ) )
306258, 296, 305mp2and 660 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( log `  Z
)  /  2 ) )  <_  ( (
( # `  I )  /  ( Z  /  V ) )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
307301rpcnd 10408 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  CC )
308 8nn 9899 . . . . . . . 8  |-  8  e.  NN
309 nnrp 10379 . . . . . . . 8  |-  ( 8  e.  NN  ->  8  e.  RR+ )
310308, 309ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  8  e.  RR+
311 rpcnne0 10387 . . . . . . 7  |-  ( 8  e.  RR+  ->  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 ) )
312310, 311mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 ) )
313 div23 9459 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  CC  /\  ( log `  Z )  e.  CC  /\  (
8  e.  CC  /\  8  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( L  x.  E )  x.  ( log `  Z
) )  /  8
)  =  ( ( ( L  x.  E
)  /  8 )  x.  ( log `  Z
) ) )
314153, 307, 312, 313syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  x.  ( log `  Z
) )  /  8
)  =  ( ( ( L  x.  E
)  /  8 )  x.  ( log `  Z
) ) )
315 divmuldiv 9476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L  x.  E )  e.  CC  /\  ( log `  Z
)  e.  CC )  /\  ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( ( log `  Z )  /  2
) )  =  ( ( ( L  x.  E )  x.  ( log `  Z ) )  /  ( 4  x.  2 ) ) )
316153, 307, 143, 150, 315syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
4 )  x.  (
( log `  Z
)  /  2 ) )  =  ( ( ( L  x.  E
)  x.  ( log `  Z ) )  / 
( 4  x.  2 ) ) )
317 4t2e8 9890 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
318317oveq2i 5885 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  x.  E
)  x.  ( log `  Z ) )  / 
( 4  x.  2 ) )  =  ( ( ( L  x.  E )  x.  ( log `  Z ) )  /  8 )
319316, 318syl6req 2345 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  x.  ( log `  Z
) )  /  8
)  =  ( ( ( L  x.  E
)  /  4 )  x.  ( ( log `  Z )  /  2
) ) )
320314, 319eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
8 )  x.  ( log `  Z ) )  =  ( ( ( L  x.  E )  /  4 )  x.  ( ( log `  Z
)  /  2 ) ) )
32138recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  e.  CC )
322293recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  CC )
32330rpcnne0d 10415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  V )  e.  CC  /\  ( Z  /  V
)  =/=  0 ) )
324 divass 9458 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  I
)  e.  CC  /\  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  CC  /\  (
( Z  /  V
)  e.  CC  /\  ( Z  /  V
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( # `  I )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) )  /  ( Z  /  V ) )  =  ( ( # `  I )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) )
325 div23 9459 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  I
)  e.  CC  /\  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  CC  /\  (
( Z  /  V
)  e.  CC  /\  ( Z  /  V
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( # `  I )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) )  /  ( Z  /  V ) )  =  ( ( (
# `  I )  /  ( Z  /  V ) )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
326324, 325eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  I
)  e.  CC  /\  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  CC  /\  (
( Z  /  V
)  e.  CC  /\  ( Z  /  V
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( # `
 I )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( (
# `  I )  /  ( Z  /  V ) )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
327321, 322, 323, 326syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  I
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( (
# `  I )  /  ( Z  /  V ) )  x.  ( log `  ( Z  /  V ) ) ) )
328306, 320, 3273brtr4d 4069 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
8 )  x.  ( log `  Z ) )  <_  ( ( # `  I )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) )
329 rpdivcl 10392 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
( L  x.  E
)  /  8 )  e.  RR+ )
33015, 310, 329sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  8
)  e.  RR+ )
331330, 301rpmulcld 10422 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
8 )  x.  ( log `  Z ) )  e.  RR+ )
332331rpred 10406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
8 )  x.  ( log `  Z ) )  e.  RR )
333293, 30rerpdivcld 10433 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
33438, 333remulcld 8879 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  I
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  RR )
335183simp3d 969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
336332, 334, 335lemul2d 10446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  E )  /  8 )  x.  ( log `  Z
) )  <_  (
( # `  I )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <->  ( ( U  -  E )  x.  ( ( ( L  x.  E )  / 
8 )  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  ( ( U  -  E )  x.  ( ( # `  I
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) ) )
337328, 336mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  ( ( U  -  E )  x.  ( ( # `  I
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
338335rpcnd 10408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  CC )
339333recnd 8877 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  e.  CC )
340338, 321, 339mul12d 9037 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( # `  I )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) ) ) )  =  ( ( # `  I
)  x.  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
341337, 340breqtrd 4063 1  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  ( ( # `  I )  x.  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   8c8 9817   NN0cn0 9981   ZZcz 10040  ;cdc 10140   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   [,]cicc 10675   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886   |_cfl 10940   ^cexp 11120   #chash 11353   sqrcsqr 11734   abscabs 11735   expce 12359   _eceu 12360   logclog 19928  ψcchp 20346
This theorem is referenced by:  pntlemj  20768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930
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