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Theorem pntpbnd1a 20787
Description: Lemma for pntpbnd 20790. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntpbnd1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntpbnd1.x  |-  X  =  ( exp `  (
2  /  E ) )
pntpbnd1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,)  +oo ) )
pntpbnd1a.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
pntpbnd1a.2  |-  ( ph  ->  ( Y  <  N  /\  N  <_  ( K  x.  Y ) ) )
pntpbnd1a.3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
) ) )
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  <_  E )
Distinct variable group:    N, a
Allowed substitution hints:    ph( a)    R( a)    E( a)    K( a)    X( a)    Y( a)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnrpd 10436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
43pntrf 20765 . . . . . . 7  |-  R : RR+
--> RR
54ffvelrni 5702 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( R `
 N )  e.  RR )
62, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R `  N
)  e.  RR )
76, 2rerpdivcld 10464 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R `  N )  /  N
)  e.  RR )
87recnd 8906 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R `  N )  /  N
)  e.  CC )
98abscld 11965 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
102relogcld 20027 . . 3  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
1110, 2rerpdivcld 10464 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
12 ioossre 10759 . . 3  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
13 pntpbnd1.e . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
1412, 13sseldi 3212 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
156recnd 8906 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R `  N
)  e.  CC )
161nnred 9806 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1716recnd 8906 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
181nnne0d 9835 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
1915, 17, 18absdivd 11984 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  =  ( ( abs `  ( R `
 N ) )  /  ( abs `  N
) ) )
201nnnn0d 10065 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2120nn0ge0d 10068 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  N )
2216, 21absidd 11952 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  N
)  =  N )
2322oveq2d 5916 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( R `  N )
)  /  ( abs `  N ) )  =  ( ( abs `  ( R `  N )
)  /  N ) )
2419, 23eqtrd 2348 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  =  ( ( abs `  ( R `
 N ) )  /  N ) )
2515abscld 11965 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  e.  RR )
261peano2nnd 9808 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
27 vmacl 20409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
29 peano2rem 9158 . . . . . . . 8  |-  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
3028, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
3130recnd 8906 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
3231abscld 11965 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(Λ `  ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  e.  RR )
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
) ) )
3426nnrpd 10436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
353pntrval 20764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  ( N  +  1 ) ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R `  ( N  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  ( N  +  1 ) ) )
373pntrval 20764 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( R `
 N )  =  ( (ψ `  N
)  -  N ) )
382, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R `  N
)  =  ( (ψ `  N )  -  N
) )
3936, 38oveq12d 5918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
)  =  ( ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  ( N  + 
1 ) )  -  ( (ψ `  N )  -  N ) ) )
40 peano2re 9030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
4116, 40syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
42 chpcl 20415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4443recnd 8906 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
4541recnd 8906 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
46 chpcl 20415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (ψ `  N )  e.  RR )
4716, 46syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ψ `  N )  e.  RR )
4847recnd 8906 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (ψ `  N )  e.  CC )
4944, 45, 48, 17sub4d 9251 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  ( N  +  1
) )  -  ( N  +  1 ) )  -  ( (ψ `  N )  -  N
) )  =  ( ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  (ψ `  N ) )  -  ( ( N  + 
1 )  -  N
) ) )
50 chpp1 20446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  (ψ `  ( N  +  1
) )  =  ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) ) )
5120, 50syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  =  ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) ) )
5251oveq1d 5915 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  (ψ `  N ) )  =  ( ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )  -  (ψ `  N ) ) )
5328recnd 8906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
5448, 53pncan2d 9204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )  -  (ψ `  N ) )  =  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
5552, 54eqtrd 2348 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  (ψ `  N ) )  =  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
56 ax-1cn 8840 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
57 pncan2 9103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  N
)  =  1 )
5817, 56, 57sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  N
)  =  1 )
5955, 58oveq12d 5918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  ( N  +  1
) )  -  (ψ `  N ) )  -  ( ( N  + 
1 )  -  N
) )  =  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) )
6039, 49, 593eqtrd 2352 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
)  =  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) )
6160fveq2d 5567 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  ( N  +  1 ) )  -  ( R `
 N ) ) )  =  ( abs `  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) ) )
6233, 61breqtrd 4084 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( abs `  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) ) )
63 1re 8882 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
6463a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6564, 10resubcld 9256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( log `  N ) )  e.  RR )
66 0re 8883 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
6766a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
68 2re 9860 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
69 eliooord 10757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
7013, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
7170simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  E )
7214, 71elrpd 10435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
73 rerpdivcl 10428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( 2  /  E
)  e.  RR )
7468, 72, 73sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  RR )
7568a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
76 1lt2 9933 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  2
7776a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
78 2cn 9861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
7978div1i 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
8070simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
81 0lt1 9341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  1
8281a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
83 2pos 9873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
8483a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
85 ltdiv2OLD 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  /\  ( 0  <  E  /\  0  <  1  /\  0  <  2
) )  ->  ( E  <  1  <->  ( 2  /  1 )  < 
( 2  /  E
) ) )
8614, 64, 75, 71, 82, 84, 85syl33anc 1197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  <  1  <->  ( 2  /  1 )  <  ( 2  /  E ) ) )
8780, 86mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  /  1
)  <  ( 2  /  E ) )
8879, 87syl5eqbrr 4094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <  ( 2  /  E ) )
8964, 75, 74, 77, 88lttrd 9022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2  /  E ) )
90 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( exp `  (
2  /  E ) )
9174rpefcld 12432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  e.  RR+ )
9290, 91syl5eqel 2400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
9392rpred 10437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
94 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,)  +oo ) )
9592rpxrd 10438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
96 elioopnf 10784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  RR*  ->  ( Y  e.  ( X (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  < 
Y ) ) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y ) ) )
9894, 97mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y ) )
9998simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
10098simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
101 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  <  N  /\  N  <_  ( K  x.  Y ) ) )
102101simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  <  N )
10393, 99, 16, 100, 102lttrd 9022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  <  N )
10490, 103syl5eqbrr 4094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  <  N )
1052reeflogd 20028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  N ) )  =  N )
106104, 105breqtrrd 4086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  <  ( exp `  ( log `  N
) ) )
107 eflt 12444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  /  E
)  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( 2  /  E )  <  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( 2  /  E
) )  <  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
10874, 10, 107syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  <  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( 2  /  E
) )  <  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
109106, 108mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  <  ( log `  N ) )
11064, 74, 10, 89, 109lttrd 9022 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( log `  N ) )
11164, 10, 110ltled 9012 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  ( log `  N ) )
112 suble0 9333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( 1  -  ( log `  N
) )  <_  0  <->  1  <_  ( log `  N
) ) )
11363, 10, 112sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( log `  N
) )  <_  0  <->  1  <_  ( log `  N
) ) )
114111, 113mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( log `  N ) )  <_  0 )
115 vmage0 20412 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
11626, 115syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
11765, 67, 28, 114, 116letrd 9018 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( log `  N ) )  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
11834relogcld 20027 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
119 readdcl 8865 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( log `  N ) )  e.  RR )
12063, 10, 119sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( log `  N ) )  e.  RR )
121 vmalelog 20497 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( N  + 
1 ) ) )
12226, 121syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( N  +  1 ) ) )
12375, 16remulcld 8908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
124 epr 12533 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
125 rpmulcl 10422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
_e  x.  N )  e.  RR+ )
126124, 2, 125sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  N
)  e.  RR+ )
127126rpred 10437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  N
)  e.  RR )
1281nnge1d 9833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  N )
12964, 16, 16, 128leadd2dd 9432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  <_  ( N  +  N ) )
130172timesd 10001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  =  ( N  +  N ) )
131129, 130breqtrrd 4086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
132 ere 12417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
133 egt2lt3 12531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
134133simpli 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  <  _e
13568, 132, 134ltleii 8986 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <_  _e
136135a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <_  _e )
137132a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
1381nngt0d 9834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  N )
139 lemul1 9653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  _e  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( 2  <_  _e  <->  ( 2  x.  N )  <_  ( _e  x.  N ) ) )
14075, 137, 16, 138, 139syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  <_  _e  <->  ( 2  x.  N )  <_  ( _e  x.  N ) ) )
141136, 140mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  <_  ( _e  x.  N ) )
14241, 123, 127, 131, 141letrd 9018 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  <_  ( _e  x.  N ) )
14334, 126logled 20031 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  (
_e  x.  N )  <->  ( log `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  (
_e  x.  N )
) ) )
144142, 143mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( _e  x.  N
) ) )
145 relogmul 19998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( _e  x.  N ) )  =  ( ( log `  _e )  +  ( log `  N ) ) )
146124, 2, 145sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  (
_e  x.  N )
)  =  ( ( log `  _e )  +  ( log `  N
) ) )
147 loge 19993 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  _e )  =  1
148147oveq1i 5910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  _e )  +  ( log `  N
) )  =  ( 1  +  ( log `  N ) )
149146, 148syl6eq 2364 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
_e  x.  N )
)  =  ( 1  +  ( log `  N
) ) )
150144, 149breqtrd 4084 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  +  1 ) )  <_  ( 1  +  ( log `  N
) ) )
15128, 118, 120, 122, 150letrd 9018 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  ( 1  +  ( log `  N
) ) )
15228, 64, 10absdifled 11964 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
(Λ `  ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
( log `  N
)  <->  ( ( 1  -  ( log `  N
) )  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) )  /\  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  (
1  +  ( log `  N ) ) ) ) )
153117, 151, 152mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(Λ `  ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
( log `  N
) )
15425, 32, 10, 62, 153letrd 9018 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( log `  N ) )
15525, 10, 2, 154lediv1dd 10491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( R `  N )
)  /  N )  <_  ( ( log `  N )  /  N
) )
15624, 155eqbrtrd 4080 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  <_  ( ( log `  N )  /  N ) )
15792relogcld 20027 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR )
158157, 92rerpdivcld 10464 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  X )  e.  RR )
15964, 74, 89ltled 9012 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  ( 2  /  E ) )
160 efle 12445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  /  E
)  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( 2  /  E
)  <->  ( exp `  1
)  <_  ( exp `  ( 2  /  E
) ) ) )
16163, 74, 160sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  (
2  /  E )  <-> 
( exp `  1
)  <_  ( exp `  ( 2  /  E
) ) ) )
162159, 161mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  1
)  <_  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
163 df-e 12397 . . . . . . 7  |-  _e  =  ( exp `  1 )
164162, 163, 903brtr4g 4092 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  <_  X )
165147, 111syl5eqbr 4093 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  _e )  <_  ( log `  N
) )
166 logleb 20010 . . . . . . . 8  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
_e  <_  N  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  N ) ) )
167124, 2, 166sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  N  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  N
) ) )
168165, 167mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  <_  N )
169 logdivlt 20025 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  RR  /\  _e  <_  X )  /\  ( N  e.  RR  /\  _e  <_  N )
)  ->  ( X  <  N  <->  ( ( log `  N )  /  N
)  <  ( ( log `  X )  /  X ) ) )
17093, 164, 16, 168, 169syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  <  N  <->  ( ( log `  N
)  /  N )  <  ( ( log `  X )  /  X
) ) )
171103, 170mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  <  ( ( log `  X )  /  X
) )
17290fveq2i 5566 . . . . . . 7  |-  ( log `  X )  =  ( log `  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
17374relogefd 20032 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  /  E ) ) )  =  ( 2  /  E ) )
174172, 173syl5eq 2360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  =  ( 2  /  E ) )
175174oveq1d 5915 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  X )  =  ( ( 2  /  E )  /  X ) )
176 2rp 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
177 rpdivcl 10423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  E  e.  RR+ )  ->  (
2  /  E )  e.  RR+ )
178176, 72, 177sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  RR+ )
179178rpcnd 10439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  CC )
180179sqvald 11289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  =  ( ( 2  /  E )  x.  ( 2  /  E ) ) )
18178a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
18272rpcnne0d 10446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
183 div12 9491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  /  E
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  /  E )  x.  (
2  /  E ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) ) )
184179, 181, 182, 183syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  x.  (
2  /  E ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) ) )
185180, 184eqtrd 2348 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) ) )
186185oveq1d 5915 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) )  /  2 ) )
187178, 72rpdivcld 10454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  E
)  e.  RR+ )
188187rpcnd 10439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  E
)  e.  CC )
189 2ne0 9874 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
190189a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
191188, 181, 190divcan3d 9586 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E
) )  /  2
)  =  ( ( 2  /  E )  /  E ) )
192186, 191eqtrd 2348 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  =  ( ( 2  /  E )  /  E ) )
19374resqcld 11318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  e.  RR )
194193rehalfcld 10005 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
195 1rp 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
196 rpaddcl 10421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
2  /  E )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 2  /  E ) )  e.  RR+ )
197195, 178, 196sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( 2  /  E ) )  e.  RR+ )
198197rpred 10437 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( 2  /  E ) )  e.  RR )
199198, 194readdcld 8907 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E
) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  /  2 ) )  e.  RR )
200194, 197ltaddrp2d 10467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  <  ( (
1  +  ( 2  /  E ) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
201 efgt1p2 12441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  E )  e.  RR+  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E ) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  / 
2 ) )  < 
( exp `  (
2  /  E ) ) )
202178, 201syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E
) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  /  2 ) )  <  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
203202, 90syl6breqr 4100 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E
) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  /  2 ) )  <  X )
204194, 199, 93, 200, 203lttrd 9022 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  <  X )
205192, 204eqbrtrrd 4082 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  E
)  <  X )
20674, 72, 92, 205ltdiv23d 10493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  X
)  <  E )
207175, 206eqbrtrd 4080 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  X )  <  E )
20811, 158, 14, 171, 207lttrd 9022 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  <  E )
20911, 14, 208ltled 9012 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  <_  E )
2109, 11, 14, 156, 209letrd 9018 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  <_  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    +oocpnf 8909   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082    / cdiv 9468   NNcn 9791   2c2 9840   3c3 9841   NN0cn0 10012   RR+crp 10401   (,)cioo 10703   ^cexp 11151   abscabs 11766   expce 12390   _eceu 12391   logclog 19965  Λcvma 20382  ψcchp 20383
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-ioc 10708  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-fac 11336  df-bc 11363  df-hash 11385  df-shft 11609  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-limsup 11992  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-ef 12396  df-e 12397  df-sin 12398  df-cos 12399  df-pi 12401  df-dvds 12579  df-gcd 12733  df-prm 12806  df-pc 12937  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-mulg 14541  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-lp 16924  df-perf 16925  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-haus 17099  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-fil 17593  df-fm 17685  df-flim 17686  df-flf 17687  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-cncf 18434  df-limc 19269  df-dv 19270  df-log 19967  df-vma 20388  df-chp 20389
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