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Theorem pntpbnd1a 20734
Description: Lemma for pntpbnd 20737. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntpbnd1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntpbnd1.x  |-  X  =  ( exp `  (
2  /  E ) )
pntpbnd1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,)  +oo ) )
pntpbnd1a.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
pntpbnd1a.2  |-  ( ph  ->  ( Y  <  N  /\  N  <_  ( K  x.  Y ) ) )
pntpbnd1a.3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
) ) )
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  <_  E )
Distinct variable group:    N, a
Allowed substitution hints:    ph( a)    R( a)    E( a)    K( a)    X( a)    Y( a)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnrpd 10389 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
43pntrf 20712 . . . . . . 7  |-  R : RR+
--> RR
54ffvelrni 5664 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( R `
 N )  e.  RR )
62, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R `  N
)  e.  RR )
76, 2rerpdivcld 10417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R `  N )  /  N
)  e.  RR )
87recnd 8861 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R `  N )  /  N
)  e.  CC )
98abscld 11918 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
102relogcld 19974 . . 3  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
1110, 2rerpdivcld 10417 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
12 ioossre 10712 . . 3  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
13 pntpbnd1.e . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
1412, 13sseldi 3178 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
156recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R `  N
)  e.  CC )
161nnred 9761 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1716recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
181nnne0d 9790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
1915, 17, 18absdivd 11937 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  =  ( ( abs `  ( R `
 N ) )  /  ( abs `  N
) ) )
201nnnn0d 10018 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2120nn0ge0d 10021 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  N )
2216, 21absidd 11905 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  N
)  =  N )
2322oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( R `  N )
)  /  ( abs `  N ) )  =  ( ( abs `  ( R `  N )
)  /  N ) )
2419, 23eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  =  ( ( abs `  ( R `
 N ) )  /  N ) )
2515abscld 11918 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  e.  RR )
261peano2nnd 9763 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
27 vmacl 20356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
29 peano2rem 9113 . . . . . . . 8  |-  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
3028, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
3130recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
3231abscld 11918 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(Λ `  ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  e.  RR )
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
) ) )
3426nnrpd 10389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
353pntrval 20711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  ( N  +  1 ) ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R `  ( N  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  ( N  +  1 ) ) )
373pntrval 20711 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( R `
 N )  =  ( (ψ `  N
)  -  N ) )
382, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R `  N
)  =  ( (ψ `  N )  -  N
) )
3936, 38oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
)  =  ( ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  ( N  + 
1 ) )  -  ( (ψ `  N )  -  N ) ) )
40 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
4116, 40syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
42 chpcl 20362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4443recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
4541recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
46 chpcl 20362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (ψ `  N )  e.  RR )
4716, 46syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ψ `  N )  e.  RR )
4847recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (ψ `  N )  e.  CC )
4944, 45, 48, 17sub4d 9206 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  ( N  +  1
) )  -  ( N  +  1 ) )  -  ( (ψ `  N )  -  N
) )  =  ( ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  (ψ `  N ) )  -  ( ( N  + 
1 )  -  N
) ) )
50 chpp1 20393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  (ψ `  ( N  +  1
) )  =  ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) ) )
5120, 50syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  =  ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) ) )
5251oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  (ψ `  N ) )  =  ( ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )  -  (ψ `  N ) ) )
5328recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
5448, 53pncan2d 9159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )  -  (ψ `  N ) )  =  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
5552, 54eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  (ψ `  N ) )  =  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
56 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
57 pncan2 9058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  N
)  =  1 )
5817, 56, 57sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  N
)  =  1 )
5955, 58oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  ( N  +  1
) )  -  (ψ `  N ) )  -  ( ( N  + 
1 )  -  N
) )  =  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) )
6039, 49, 593eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
)  =  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) )
6160fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  ( N  +  1 ) )  -  ( R `
 N ) ) )  =  ( abs `  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) ) )
6233, 61breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( abs `  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) ) )
63 1re 8837 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
6463a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6564, 10resubcld 9211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( log `  N ) )  e.  RR )
66 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
6766a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
68 2re 9815 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
69 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
7013, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
7170simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  E )
7214, 71elrpd 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
73 rerpdivcl 10381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( 2  /  E
)  e.  RR )
7468, 72, 73sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  RR )
7568a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
76 1lt2 9886 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  2
7776a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
78 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
7978div1i 9488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
8070simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
81 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  1
8281a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
83 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
8483a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
85 ltdiv2OLD 9642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  /\  ( 0  <  E  /\  0  <  1  /\  0  <  2
) )  ->  ( E  <  1  <->  ( 2  /  1 )  < 
( 2  /  E
) ) )
8614, 64, 75, 71, 82, 84, 85syl33anc 1197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  <  1  <->  ( 2  /  1 )  <  ( 2  /  E ) ) )
8780, 86mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  /  1
)  <  ( 2  /  E ) )
8879, 87syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <  ( 2  /  E ) )
8964, 75, 74, 77, 88lttrd 8977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2  /  E ) )
90 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( exp `  (
2  /  E ) )
9174rpefcld 12385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  e.  RR+ )
9290, 91syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
9392rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
94 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,)  +oo ) )
9592rpxrd 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
96 elioopnf 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  RR*  ->  ( Y  e.  ( X (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  < 
Y ) ) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y ) ) )
9894, 97mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y ) )
9998simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
10098simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
101 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  <  N  /\  N  <_  ( K  x.  Y ) ) )
102101simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  <  N )
10393, 99, 16, 100, 102lttrd 8977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  <  N )
10490, 103syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  <  N )
1052reeflogd 19975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  N ) )  =  N )
106104, 105breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  <  ( exp `  ( log `  N
) ) )
107 eflt 12397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  /  E
)  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( 2  /  E )  <  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( 2  /  E
) )  <  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
10874, 10, 107syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  <  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( 2  /  E
) )  <  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
109106, 108mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  <  ( log `  N ) )
11064, 74, 10, 89, 109lttrd 8977 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( log `  N ) )
11164, 10, 110ltled 8967 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  ( log `  N ) )
112 suble0 9288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( 1  -  ( log `  N
) )  <_  0  <->  1  <_  ( log `  N
) ) )
11363, 10, 112sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( log `  N
) )  <_  0  <->  1  <_  ( log `  N
) ) )
114111, 113mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( log `  N ) )  <_  0 )
115 vmage0 20359 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
11626, 115syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
11765, 67, 28, 114, 116letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( log `  N ) )  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
11834relogcld 19974 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
119 readdcl 8820 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( log `  N ) )  e.  RR )
12063, 10, 119sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( log `  N ) )  e.  RR )
121 vmalelog 20444 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( N  + 
1 ) ) )
12226, 121syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( N  +  1 ) ) )
12375, 16remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
124 epr 12486 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
125 rpmulcl 10375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
_e  x.  N )  e.  RR+ )
126124, 2, 125sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  N
)  e.  RR+ )
127126rpred 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  N
)  e.  RR )
1281nnge1d 9788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  N )
12964, 16, 16, 128leadd2dd 9387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  <_  ( N  +  N ) )
130172timesd 9954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  =  ( N  +  N ) )
131129, 130breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
132 ere 12370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
133 egt2lt3 12484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
134133simpli 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  <  _e
13568, 132, 134ltleii 8941 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <_  _e
136135a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <_  _e )
137132a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
1381nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  N )
139 lemul1 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  _e  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( 2  <_  _e  <->  ( 2  x.  N )  <_  ( _e  x.  N ) ) )
14075, 137, 16, 138, 139syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  <_  _e  <->  ( 2  x.  N )  <_  ( _e  x.  N ) ) )
141136, 140mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  <_  ( _e  x.  N ) )
14241, 123, 127, 131, 141letrd 8973 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  <_  ( _e  x.  N ) )
14334, 126logled 19978 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  (
_e  x.  N )  <->  ( log `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  (
_e  x.  N )
) ) )
144142, 143mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( _e  x.  N
) ) )
145 relogmul 19945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( _e  x.  N ) )  =  ( ( log `  _e )  +  ( log `  N ) ) )
146124, 2, 145sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  (
_e  x.  N )
)  =  ( ( log `  _e )  +  ( log `  N
) ) )
147 loge 19940 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  _e )  =  1
148147oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  _e )  +  ( log `  N
) )  =  ( 1  +  ( log `  N ) )
149146, 148syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
_e  x.  N )
)  =  ( 1  +  ( log `  N
) ) )
150144, 149breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  +  1 ) )  <_  ( 1  +  ( log `  N
) ) )
15128, 118, 120, 122, 150letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  ( 1  +  ( log `  N
) ) )
15228, 64, 10absdifled 11917 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
(Λ `  ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
( log `  N
)  <->  ( ( 1  -  ( log `  N
) )  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) )  /\  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  (
1  +  ( log `  N ) ) ) ) )
153117, 151, 152mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(Λ `  ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
( log `  N
) )
15425, 32, 10, 62, 153letrd 8973 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( log `  N ) )
15525, 10, 2, 154lediv1dd 10444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( R `  N )
)  /  N )  <_  ( ( log `  N )  /  N
) )
15624, 155eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  <_  ( ( log `  N )  /  N ) )
15792relogcld 19974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR )
158157, 92rerpdivcld 10417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  X )  e.  RR )
15964, 74, 89ltled 8967 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  ( 2  /  E ) )
160 efle 12398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  /  E
)  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( 2  /  E
)  <->  ( exp `  1
)  <_  ( exp `  ( 2  /  E
) ) ) )
16163, 74, 160sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  (
2  /  E )  <-> 
( exp `  1
)  <_  ( exp `  ( 2  /  E
) ) ) )
162159, 161mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  1
)  <_  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
163 df-e 12350 . . . . . . 7  |-  _e  =  ( exp `  1 )
164162, 163, 903brtr4g 4055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  <_  X )
165147, 111syl5eqbr 4056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  _e )  <_  ( log `  N
) )
166 logleb 19957 . . . . . . . 8  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
_e  <_  N  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  N ) ) )
167124, 2, 166sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  N  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  N
) ) )
168165, 167mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  <_  N )
169 logdivlt 19972 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  RR  /\  _e  <_  X )  /\  ( N  e.  RR  /\  _e  <_  N )
)  ->  ( X  <  N  <->  ( ( log `  N )  /  N
)  <  ( ( log `  X )  /  X ) ) )
17093, 164, 16, 168, 169syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  <  N  <->  ( ( log `  N
)  /  N )  <  ( ( log `  X )  /  X
) ) )
171103, 170mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  <  ( ( log `  X )  /  X
) )
17290fveq2i 5528 . . . . . . 7  |-  ( log `  X )  =  ( log `  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
17374relogefd 19979 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  /  E ) ) )  =  ( 2  /  E ) )
174172, 173syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  =  ( 2  /  E ) )
175174oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  X )  =  ( ( 2  /  E )  /  X ) )
176 2rp 10359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
177 rpdivcl 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  E  e.  RR+ )  ->  (
2  /  E )  e.  RR+ )
178176, 72, 177sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  RR+ )
179178rpcnd 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  CC )
180179sqvald 11242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  =  ( ( 2  /  E )  x.  ( 2  /  E ) ) )
18178a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
18272rpcnne0d 10399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
183 div12 9446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  /  E
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  /  E )  x.  (
2  /  E ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) ) )
184179, 181, 182, 183syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  x.  (
2  /  E ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) ) )
185180, 184eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) ) )
186185oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) )  /  2 ) )
187178, 72rpdivcld 10407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  E
)  e.  RR+ )
188187rpcnd 10392 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  E
)  e.  CC )
189 2ne0 9829 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
190189a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
191188, 181, 190divcan3d 9541 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E
) )  /  2
)  =  ( ( 2  /  E )  /  E ) )
192186, 191eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  =  ( ( 2  /  E )  /  E ) )
19374resqcld 11271 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  e.  RR )
194193rehalfcld 9958 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
195 1rp 10358 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
196 rpaddcl 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
2  /  E )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 2  /  E ) )  e.  RR+ )
197195, 178, 196sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( 2  /  E ) )  e.  RR+ )
198197rpred 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( 2  /  E ) )  e.  RR )
199198, 194readdcld 8862 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E
) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  /  2 ) )  e.  RR )
200194, 197ltaddrp2d 10420 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  <  ( (
1  +  ( 2  /  E ) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
201 efgt1p2 12394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  E )  e.  RR+  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E ) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  / 
2 ) )  < 
( exp `  (
2  /  E ) ) )
202178, 201syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E
) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  /  2 ) )  <  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
203202, 90syl6breqr 4063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E
) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  /  2 ) )  <  X )
204194, 199, 93, 200, 203lttrd 8977 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  <  X )
205192, 204eqbrtrrd 4045 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  E
)  <  X )
20674, 72, 92, 205ltdiv23d 10446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  X
)  <  E )
207175, 206eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  X )  <  E )
20811, 158, 14, 171, 207lttrd 8977 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  <  E )
20911, 14, 208ltled 8967 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  <_  E )
2109, 11, 14, 156, 209letrd 8973 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  <_  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   NN0cn0 9965   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ^cexp 11104   abscabs 11719   expce 12343   _eceu 12344   logclog 19912  Λcvma 20329  ψcchp 20330
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-vma 20335  df-chp 20336
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