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Theorem pntpbnd1a 21281
Description: Lemma for pntpbnd 21284. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntpbnd1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntpbnd1.x  |-  X  =  ( exp `  (
2  /  E ) )
pntpbnd1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,)  +oo ) )
pntpbnd1a.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
pntpbnd1a.2  |-  ( ph  ->  ( Y  <  N  /\  N  <_  ( K  x.  Y ) ) )
pntpbnd1a.3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
) ) )
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  <_  E )
Distinct variable group:    N, a
Allowed substitution hints:    ph( a)    R( a)    E( a)    K( a)    X( a)    Y( a)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnrpd 10649 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
43pntrf 21259 . . . . . . 7  |-  R : RR+
--> RR
54ffvelrni 5871 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( R `
 N )  e.  RR )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R `  N
)  e.  RR )
76, 2rerpdivcld 10677 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R `  N )  /  N
)  e.  RR )
87recnd 9116 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R `  N )  /  N
)  e.  CC )
98abscld 12240 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
102relogcld 20520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
1110, 2rerpdivcld 10677 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
12 ioossre 10974 . . 3  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
13 pntpbnd1.e . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
1412, 13sseldi 3348 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
156recnd 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R `  N
)  e.  CC )
161nnred 10017 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1716recnd 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
181nnne0d 10046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
1915, 17, 18absdivd 12259 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  =  ( ( abs `  ( R `
 N ) )  /  ( abs `  N
) ) )
201nnnn0d 10276 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2120nn0ge0d 10279 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  N )
2216, 21absidd 12227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  N
)  =  N )
2322oveq2d 6099 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( R `  N )
)  /  ( abs `  N ) )  =  ( ( abs `  ( R `  N )
)  /  N ) )
2419, 23eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  =  ( ( abs `  ( R `
 N ) )  /  N ) )
2515abscld 12240 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  e.  RR )
261peano2nnd 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
27 vmacl 20903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
29 peano2rem 9369 . . . . . . . 8  |-  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
3130recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
3231abscld 12240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(Λ `  ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  e.  RR )
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
) ) )
3426nnrpd 10649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
353pntrval 21258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  ( N  +  1 ) ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R `  ( N  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  ( N  +  1 ) ) )
373pntrval 21258 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( R `
 N )  =  ( (ψ `  N
)  -  N ) )
382, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R `  N
)  =  ( (ψ `  N )  -  N
) )
3936, 38oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
)  =  ( ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  ( N  + 
1 ) )  -  ( (ψ `  N )  -  N ) ) )
40 peano2re 9241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
4116, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
42 chpcl 20909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4443recnd 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
4541recnd 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
46 chpcl 20909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (ψ `  N )  e.  RR )
4716, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ψ `  N )  e.  RR )
4847recnd 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (ψ `  N )  e.  CC )
4944, 45, 48, 17sub4d 9462 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  ( N  +  1
) )  -  ( N  +  1 ) )  -  ( (ψ `  N )  -  N
) )  =  ( ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  (ψ `  N ) )  -  ( ( N  + 
1 )  -  N
) ) )
50 chpp1 20940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  (ψ `  ( N  +  1
) )  =  ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) ) )
5120, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  =  ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) ) )
5251oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  (ψ `  N ) )  =  ( ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )  -  (ψ `  N ) ) )
5328recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
5448, 53pncan2d 9415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )  -  (ψ `  N ) )  =  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
5552, 54eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  (ψ `  N ) )  =  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
56 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
57 pncan2 9314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  N
)  =  1 )
5817, 56, 57sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  N
)  =  1 )
5955, 58oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  ( N  +  1
) )  -  (ψ `  N ) )  -  ( ( N  + 
1 )  -  N
) )  =  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) )
6039, 49, 593eqtrd 2474 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
)  =  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) )
6160fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  ( N  +  1 ) )  -  ( R `
 N ) ) )  =  ( abs `  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) ) )
6233, 61breqtrd 4238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( abs `  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) ) )
63 1re 9092 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6564, 10resubcld 9467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( log `  N ) )  e.  RR )
66 0re 9093 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
6766a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
68 2re 10071 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
69 eliooord 10972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
7013, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
7170simpld 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  E )
7214, 71elrpd 10648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
73 rerpdivcl 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( 2  /  E
)  e.  RR )
7468, 72, 73sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  RR )
7568a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
76 1lt2 10144 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  2
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
78 2cn 10072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
7978div1i 9744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
8070simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
81 0lt1 9552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  1
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
83 2pos 10084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
85 ltdiv2OLD 9898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  /\  ( 0  <  E  /\  0  <  1  /\  0  <  2
) )  ->  ( E  <  1  <->  ( 2  /  1 )  < 
( 2  /  E
) ) )
8614, 64, 75, 71, 82, 84, 85syl33anc 1200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  <  1  <->  ( 2  /  1 )  <  ( 2  /  E ) ) )
8780, 86mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  /  1
)  <  ( 2  /  E ) )
8879, 87syl5eqbrr 4248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <  ( 2  /  E ) )
8964, 75, 74, 77, 88lttrd 9233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2  /  E ) )
90 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( exp `  (
2  /  E ) )
9174rpefcld 12708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  e.  RR+ )
9290, 91syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
9392rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
94 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,)  +oo ) )
9592rpxrd 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
96 elioopnf 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  RR*  ->  ( Y  e.  ( X (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  < 
Y ) ) )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y ) ) )
9894, 97mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y ) )
9998simpld 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
10098simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
101 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  <  N  /\  N  <_  ( K  x.  Y ) ) )
102101simpld 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  <  N )
10393, 99, 16, 100, 102lttrd 9233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  <  N )
10490, 103syl5eqbrr 4248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  <  N )
1052reeflogd 20521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  N ) )  =  N )
106104, 105breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  <  ( exp `  ( log `  N
) ) )
107 eflt 12720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  /  E
)  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( 2  /  E )  <  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( 2  /  E
) )  <  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
10874, 10, 107syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  <  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( 2  /  E
) )  <  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
109106, 108mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  <  ( log `  N ) )
11064, 74, 10, 89, 109lttrd 9233 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( log `  N ) )
11164, 10, 110ltled 9223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  ( log `  N ) )
112 suble0 9544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( 1  -  ( log `  N
) )  <_  0  <->  1  <_  ( log `  N
) ) )
11363, 10, 112sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( log `  N
) )  <_  0  <->  1  <_  ( log `  N
) ) )
114111, 113mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( log `  N ) )  <_  0 )
115 vmage0 20906 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
11626, 115syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
11765, 67, 28, 114, 116letrd 9229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( log `  N ) )  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
11834relogcld 20520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
119 readdcl 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( log `  N ) )  e.  RR )
12063, 10, 119sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( log `  N ) )  e.  RR )
121 vmalelog 20991 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( N  + 
1 ) ) )
12226, 121syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( N  +  1 ) ) )
12375, 16remulcld 9118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
124 epr 12809 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
125 rpmulcl 10635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
_e  x.  N )  e.  RR+ )
126124, 2, 125sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  N
)  e.  RR+ )
127126rpred 10650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  N
)  e.  RR )
1281nnge1d 10044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  N )
12964, 16, 16, 128leadd2dd 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  <_  ( N  +  N ) )
130172timesd 10212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  =  ( N  +  N ) )
131129, 130breqtrrd 4240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
132 ere 12693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
133 egt2lt3 12807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
134133simpli 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  <  _e
13568, 132, 134ltleii 9198 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <_  _e
136135a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <_  _e )
137132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
1381nngt0d 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  N )
139 lemul1 9864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  _e  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( 2  <_  _e  <->  ( 2  x.  N )  <_  ( _e  x.  N ) ) )
14075, 137, 16, 138, 139syl112anc 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  <_  _e  <->  ( 2  x.  N )  <_  ( _e  x.  N ) ) )
141136, 140mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  <_  ( _e  x.  N ) )
14241, 123, 127, 131, 141letrd 9229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  <_  ( _e  x.  N ) )
14334, 126logled 20524 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  (
_e  x.  N )  <->  ( log `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  (
_e  x.  N )
) ) )
144142, 143mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( _e  x.  N
) ) )
145 relogmul 20488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( _e  x.  N ) )  =  ( ( log `  _e )  +  ( log `  N ) ) )
146124, 2, 145sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  (
_e  x.  N )
)  =  ( ( log `  _e )  +  ( log `  N
) ) )
147 loge 20483 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  _e )  =  1
148147oveq1i 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  _e )  +  ( log `  N
) )  =  ( 1  +  ( log `  N ) )
149146, 148syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
_e  x.  N )
)  =  ( 1  +  ( log `  N
) ) )
150144, 149breqtrd 4238 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  +  1 ) )  <_  ( 1  +  ( log `  N
) ) )
15128, 118, 120, 122, 150letrd 9229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  ( 1  +  ( log `  N
) ) )
15228, 64, 10absdifled 12239 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
(Λ `  ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
( log `  N
)  <->  ( ( 1  -  ( log `  N
) )  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) )  /\  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  (
1  +  ( log `  N ) ) ) ) )
153117, 151, 152mpbir2and 890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(Λ `  ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
( log `  N
) )
15425, 32, 10, 62, 153letrd 9229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( log `  N ) )
15525, 10, 2, 154lediv1dd 10704 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( R `  N )
)  /  N )  <_  ( ( log `  N )  /  N
) )
15624, 155eqbrtrd 4234 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  <_  ( ( log `  N )  /  N ) )
15792relogcld 20520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR )
158157, 92rerpdivcld 10677 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  X )  e.  RR )
15964, 74, 89ltled 9223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  ( 2  /  E ) )
160 efle 12721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  /  E
)  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( 2  /  E
)  <->  ( exp `  1
)  <_  ( exp `  ( 2  /  E
) ) ) )
16163, 74, 160sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  (
2  /  E )  <-> 
( exp `  1
)  <_  ( exp `  ( 2  /  E
) ) ) )
162159, 161mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  1
)  <_  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
163 df-e 12673 . . . . . . 7  |-  _e  =  ( exp `  1 )
164162, 163, 903brtr4g 4246 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  <_  X )
165147, 111syl5eqbr 4247 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  _e )  <_  ( log `  N
) )
166 logleb 20500 . . . . . . . 8  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
_e  <_  N  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  N ) ) )
167124, 2, 166sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  N  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  N
) ) )
168165, 167mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  <_  N )
169 logdivlt 20518 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  RR  /\  _e  <_  X )  /\  ( N  e.  RR  /\  _e  <_  N )
)  ->  ( X  <  N  <->  ( ( log `  N )  /  N
)  <  ( ( log `  X )  /  X ) ) )
17093, 164, 16, 168, 169syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  <  N  <->  ( ( log `  N
)  /  N )  <  ( ( log `  X )  /  X
) ) )
171103, 170mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  <  ( ( log `  X )  /  X
) )
17290fveq2i 5733 . . . . . . 7  |-  ( log `  X )  =  ( log `  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
17374relogefd 20525 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  /  E ) ) )  =  ( 2  /  E ) )
174172, 173syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  =  ( 2  /  E ) )
175174oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  X )  =  ( ( 2  /  E )  /  X ) )
176 2rp 10619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
177 rpdivcl 10636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  E  e.  RR+ )  ->  (
2  /  E )  e.  RR+ )
178176, 72, 177sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  RR+ )
179178rpcnd 10652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  CC )
180179sqvald 11522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  =  ( ( 2  /  E )  x.  ( 2  /  E ) ) )
18178a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
18272rpcnne0d 10659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
183 div12 9702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  /  E
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  /  E )  x.  (
2  /  E ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) ) )
184179, 181, 182, 183syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  x.  (
2  /  E ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) ) )
185180, 184eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) ) )
186185oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) )  /  2 ) )
187178, 72rpdivcld 10667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  E
)  e.  RR+ )
188187rpcnd 10652 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  E
)  e.  CC )
189 2ne0 10085 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
190189a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
191188, 181, 190divcan3d 9797 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E
) )  /  2
)  =  ( ( 2  /  E )  /  E ) )
192186, 191eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  =  ( ( 2  /  E )  /  E ) )
19374resqcld 11551 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  e.  RR )
194193rehalfcld 10216 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
195 1rp 10618 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
196 rpaddcl 10634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
2  /  E )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 2  /  E ) )  e.  RR+ )
197195, 178, 196sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( 2  /  E ) )  e.  RR+ )
198197rpred 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( 2  /  E ) )  e.  RR )
199198, 194readdcld 9117 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E
) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  /  2 ) )  e.  RR )
200194, 197ltaddrp2d 10680 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  <  ( (
1  +  ( 2  /  E ) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
201 efgt1p2 12717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  E )  e.  RR+  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E ) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  / 
2 ) )  < 
( exp `  (
2  /  E ) ) )
202178, 201syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E
) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  /  2 ) )  <  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
203202, 90syl6breqr 4254 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E
) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  /  2 ) )  <  X )
204194, 199, 93, 200, 203lttrd 9233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  <  X )
205192, 204eqbrtrrd 4236 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  E
)  <  X )
20674, 72, 92, 205ltdiv23d 10706 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  X
)  <  E )
207175, 206eqbrtrd 4234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  X )  <  E )
20811, 158, 14, 171, 207lttrd 9233 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  <  E )
20911, 14, 208ltled 9223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  <_  E )
2109, 11, 14, 156, 209letrd 9229 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  <_  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   3c3 10052   NN0cn0 10223   RR+crp 10614   (,)cioo 10918   ^cexp 11384   abscabs 12041   expce 12666   _eceu 12667   logclog 20454  Λcvma 20876  ψcchp 20877
This theorem is referenced by:  pntpbnd1  21282
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-e 12673  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-vma 20882  df-chp 20883
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